Exercícios: Equações do segundo grau

Para cada uma das seguintes equações do segundo grau, identifique os coeficientes $a$, $b$ e $c$ e indique se se trata de uma equação completa ou incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Verifique, sem resolver a equação, se os valores de $x$ propostos são solução da igualdade $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resolve as seguintes equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + c = 0$. Lembra-te de que, se o resultado da raiz quadrada não for um número real, deves indicá-lo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + bx = 0$ pondo o fator comum em evidência:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Aplique a fórmula resolvente $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para determinar as soluções das seguintes equações completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

A área da base quadrada de uma caixa de arrumação de jogos eletrónicos é de $144\text{ cm}^2$. Calcule quanto mede o lado da base formulando uma equação do segundo grau.

Calcule o valor do discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada equação e indique se tem duas soluções, uma solução dupla ou nenhuma solução real (não é necessário calcular as soluções):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Se ao quadrado de um número inteiro somarmos o seu triplo, obtemos como resultado zero. De que números poderia tratar-se? Formula a equação e encontra as possíveis soluções.

A Beatriz tem de resolver na aula a equação incompleta $3x^2 - 12x = 0$. O seu desenvolvimento no quadro foi o seguinte:

1.º) Como o $x$ se repete em ambos os termos, divide os dois membros por $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, de onde escreve $3x - 12 = 0$.

2.º) Isola a incógnita: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

A Beatriz conclui que a equação tem uma única solução: $x = 4$. Localiza e explica detalhadamente o erro conceptual que cometeu, argumenta por que razão não é matematicamente válido dividir por uma incógnita sem tomar precauções e resolve corretamente a equação encontrando todas as suas soluções.

Constrói, em cada caso, uma equação do segundo grau que cumpra as condições requeridas (com todos os termos agrupados no primeiro membro e igualada a zero):

1. a) Uma equação incompleta sem termo em $b = 0$ cujo coeficiente de grau dois seja $a = 2$ e cujas soluções sejam $x = 3$ e $x = -3$.
2. b) Uma equação incompleta sem termo independente ($c = 0$) cujo coeficiente de grau dois seja $a = 2$ e cujas soluções sejam $x = 0$ e $x = -5$.

Verifica em ambos os casos a validade das tuas equações resolvendo-as pelo método específico adequado para cada tipo de equação incompleta.

Resolva a seguinte equação do segundo grau simplificando primeiro as expressões algébricas por meio do desenvolvimento dos casos notáveis:

Lembra-te de que, para aplicar a fórmula resolvente, primeiro deves reduzir a equação à forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Estuda o discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) das seguintes equações e determina, sem as resolver, quantas soluções reais cada uma possui. Justifica a tua resposta em cada caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Que valor deveria assumir o termo independente na equação a) para que deixasse de ter solução?

Um programador de jogos eletrónicos está a projetar uma interface para uma nova aplicação. Ele precisa de criar um botão retangular cuja base seja $5\text{ cm}$ mais longa do que a sua altura. Se a área total que o botão deve ocupar no ecrã é de $84\text{ cm}^2$, quais devem ser as dimensões (base e altura) do botão?

Formula uma equação do segundo grau e resolve-a.

O produto de dois números naturais consecutivos é igual à sua soma aumentada em $19$ unidades. De que números estamos a falar?

Resolve as seguintes equações do segundo grau incompletas utilizando o método mais rápido (fatorização por fator comum ou isolamento direto da raiz):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

As equações bi-quadráticas podem ser resolvidas fazendo uma mudança de variável $t = x^2$. Utilize essa técnica para encontrar as quatro soluções reais da seguinte equação:

Dada a equação do segundo grau $x^2 + kx + 12 = 0$, calcule o valor do coeficiente $k$ sabendo que uma das soluções da equação é $x = 3$. Depois de determinado $k$, determine a outra solução da equação.

Queremos colocar uma moldura de madeira de largura constante $x$ à volta de uma fotografia retangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Sabendo que a área total (fotografia mais moldura) deve ser de $300\text{ cm}^2$, qual deve ser a largura $x$ da moldura?

Observa a seguinte equação do segundo grau: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Descreve duas estratégias algébricas distintas para a resolver: a primeira, desenvolvendo o caso notável, reduzindo à forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ e aplicando a fórmula resolvente; a segunda, isolando a potência quadrática $(2x - 1)^2$ e aplicando a raiz quadrada a ambos os membros da igualdade.
2. b) Resolve a equação utilizando a estratégia que consideres mais direta e com menor risco de erro operatório, justificando a tua escolha com argumentos matemáticos.

A Câmara Municipal de Coimbra projeta uma parcela retangular destinada a hortas urbanas comunitárias. As especificações técnicas determinam que o comprimento do terreno deve medir mais $6\text{ m}$ do que a sua largura e que a área cultivável total tem de ser de $160\text{ m}^2$.

1. a) Atribui a incógnita $x$ à largura da parcela, escreve a expressão algébrica da sua área e formula a equação do segundo grau na sua forma canónica $ax^2 + bx + c = 0$.
2. b) Resolve a equação para determinar as dimensões (comprimento e largura) da horta. Explica detalhadamente que interpretação geométrica tem cada uma das duas soluções matemáticas obtidas e por que razão descartas ou conservas cada uma delas.

Resolva a seguinte equação efetuando previamente as operações para simplificar os membros e utilizando os casos notáveis onde for necessário:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Uma empresa de paisagismo quer cercar uma piscina retangular de $8 \text{ m}$ de comprimento por $6 \text{ m}$ de largura com uma borda de relva artificial de largura uniforme $x$. Se a área total do recinto (piscina mais borda de relva) deve ser exatamente de $80 \text{ m}^2$, calcule quanto deve medir a largura $x$ da borda.

Dada a equação do segundo grau $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determine quais os valores que o parâmetro $k$ deve assumir para que a equação tenha uma única solução real (solução dupla).

Um drone de vigilância descola e segue uma trajetória cuja altura em metros em relação ao tempo em segundos é dada pela expressão $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcule em que instantes de tempo o drone se encontra exatamente a $53 \text{ metros}$ de altura.

Duas impressoras 3D a trabalhar juntas levam $2$ horas a concluir uma maqueta complexa. Se trabalhassem separadamente, a impressora mais antiga levaria $3$ horas a mais do que a impressora nova. Quanto tempo levaria cada uma a fazer a maqueta sozinha? (Ajuda: lembra-te de que o trabalho realizado numa hora é o inverso do tempo total).

Calcule as dimensões de um triângulo retângulo sabendo que os seus lados são três números inteiros consecutivos.

Resolva a seguinte equação. Para isso, procure o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar as incógnitas dos mesmos e verifique se as soluções obtidas não anulam nenhum denominador:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Dispõe-se de um fio de $40 \text{ cm}$ de comprimento que é cortado em dois pedaços para formar dois quadrados diferentes. Se a soma das áreas dos dois quadrados é de $58 \text{ cm}^2$, quanto mede o lado de cada um desses quadrados?

Durante as festas populares de uma localidade do Alentejo, lança-se verticalmente um foguete pirotécnico. A altura $h$ (em metros) acima do solo após decorridos $t$ segundos é descrita pela fórmula $h = -5t^2 + 40t$. O detonador do dispositivo está programado para explodir em plena fase de subida ao atingir exatamente $60\text{ m}$ de altura.

1. a) Antes de operar formalmente, estima se o foguete demorará mais ou menos de $3\text{ segundos}$ a atingir essa altura. Para apoiar a tua estimativa, avalia mentalmente ou através de cálculos simples a altura do foguete aos $t = 1\text{ s}$ e aos $t = 2\text{ s}$.
2. b) Formula a equação quadrática $h = 60$, reduz-a à sua forma geral e resolve-a através da fórmula resolvente. Justifica o significado físico dos dois valores de $t$ obtidos, verifica se a tua estimativa prévia foi acertada e indica em que segundo exato ocorre a explosão programada.

Considera a família de equações do segundo grau $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, onde $k$ é um número real constante.

1. a) Analisa o que acontece se $k = 1$. Justifica se a equação resultante continua a ser do segundo grau e determina a sua solução nesse caso particular.
2. b) Supondo que $k \neq 1$, calcula a expressão do discriminante $\Delta$ em função de $k$. A partir dela, deduz de forma fundamentada para que valores de $k$ a equação terá duas soluções reais distintas, para que valor terá uma única solução real dupla e para quais não terá nenhuma solução real.
3. c) Escolhe um valor concreto de $k$ para o qual a equação não tenha solução real, de acordo com o teu estudo prévio, substitui-o na equação original e tenta resolvê-la através da fórmula resolvente para verificar que obstáculo aritmético surge.