Exercícios: Operações com números racionais

Num inquérito realizado na sua turma sobre a rede social favorita, $\frac{12}{30}$ dos alunos escolheram uma plataforma de vídeos curtos. Obtenha a fração irredutível para saber que parte do total esse grupo representa.

Observe a seguinte figura que representa um bolo de chocolate dividido em fatias iguais. Escreva a fração que representa a parte que falta e calcule a fração simétrica e a fração inversa dessa quantidade.

Um adolescente dedica $\frac{1}{3}$ do seu tempo livre da tarde a praticar desporto e $\frac{2}{5}$ a estudar matemática.

1. a) Calcule que fração do seu tempo livre total essas duas atividades ocupam.
2. b) Que fração de tempo lhe resta livre para jogar videojogos?

A bateria do seu telemóvel tem uma capacidade total de $4500$ mAh. Se neste momento o ecrã indica que resta exatamente $\frac{4}{9}$ da sua capacidade:

1. a) Quantos mAh estão disponíveis?
2. b) Se o modo de poupança de energia é ativado quando resta $\frac{1}{5}$ do total, quantos mAh representam esse limite?

Para preparar um "smoothie" saudável, misturaste $\frac{3}{4}$ de litro de leite de aveia com $\frac{1}{2}$ litro de sumo de laranja. Ao servir, derramam-se $\frac{1}{8}$ de litro. Realiza a operação passo a passo para saberes que quantidade de mistura resta na jarra.

Numa prateleira de uma loja de bandas desenhadas, $\frac{2}{3}$ dos exemplares são de super-heróis. Desses livros de banda desenhada de super-heróis, metade ($\frac{1}{2}$) pertence a uma famosa editora americana. Calcule a fração do total da prateleira que as bandas desenhadas dessa editora específica representam, realizando uma multiplicação de frações.

Queremos repartir $\frac{3}{2}$ de quilo de gomas em saquinhos. Se em cada saquinho colocarmos $\frac{1}{10}$ de quilo:

1. a) Quantos saquinhos poderemos encher completamente?
2. b) Realize a operação utilizando a divisão de frações: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Resolva a seguinte operação combinada respeitando a ordem das operações:

A Beatriz está a resolver uma tarefa das aulas e afirma o seguinte: «Para calcular $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$, como dividir é repartir, divido o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador: $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Como não dá exato, então simplesmente mudo o sinal da segunda fração e multiplico em linha: $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$».

1. a) Identifica os dois erros conceptuais que a Beatriz comete no seu raciocínio e explica a diferença fundamental entre a «fração inversa» e a «fração oposta».
2. b) Resolve a operação de forma correta passo a passo, deixando o resultado final como uma fração irredutível.

Antes de realizares cálculos longos com denominadores diferentes, é muito útil estimar o tamanho do resultado para antecipar a resposta e detetar possíveis erros. Tens a seguinte operação: $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Sem realizares o cálculo exato, estima fundamentadamente o resultado respondendo a estas perguntas-guia:

• O fator $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ é maior ou menor do que $1$? Está perto de $1$?

• Sabendo que $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, a fração $\frac{5}{11}$ é maior ou menor do que $\frac{1}{2}$? Os segundos parênteses somarão mais ou menos do que $1$?

• Com base no anterior, deduz fundamentadamente se o produto final $E$ será ligeiramente menor do que $1$, exatamente $1$ ou visivelmente maior do que $1$.

1. b) Realiza agora o cálculo exato de $E$ resolvendo os parênteses e multiplicando as frações. Expressa o resultado sob a forma de fração irredutível.
2. c) Obtém a expressão decimal do teu resultado exato (com duas casas decimais) e verifica se a tua estimativa inicial foi acertada.

Resolva a seguinte expressão combinada, simplificando o resultado até obter a fração irredutível:

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, simplificando o resultado até obter a fração irredutível:

Três amigos decidem comprar uma prenda para um colega que vai mudar de escola. O primeiro contribui com $\frac{2}{5}$ do preço total, o segundo contribui com $\frac{1}{3}$ do que resta e o terceiro completa o pagamento com $16$ €.

1. a) Que fração do total representa a quantia com que o segundo amigo contribuiu?
2. b) Qual é o preço total da prenda?
3. c) Quanto dinheiro pôs cada um?

Um arquiteto está a projetar uma área de jogos num parque retangular. Decidiu dividir o terreno como mostrado no seguinte esquema:

Se a área de "Relvado" ocupa exatamente metade do terreno e a área de "Balancés" é $\frac{3}{10}$ do total do parque:

1. a) Que fração do total representa a área de "Areia"?
2. b) Se o parque tem uma superfície total de $1200$ $m^2$, quantos metros quadrados mede a área de "Areia"?

Encontre o valor da seguinte expressão tendo em conta a hierarquia das operações e as regras dos sinais:

Um criador de conteúdos gravou um vídeo para o seu canal. Durante a edição, cortou $\frac{1}{6}$ da filmagem total por erros de som. Depois, eliminou $\frac{2}{5}$ do que restava porque o ritmo estava muito lento. No final, o vídeo editado tem uma duração de $18$ minutos.

1. a) Que fração da filmagem original representa o vídeo final de $18$ minutos?
2. b) Quanto durava a gravação original antes de começar a editar?

Calcule o valor da seguinte operação combinada com potências de expoente negativo e simplifique o resultado:

Num laboratório de química, um recipiente contém $2,4$ litros de uma solução ácida. Para uma experiência, retiram-se primeiro $\frac{2}{3}$ do conteúdo. Depois, adicionam-se $0,5$ litros de água destilada para diluir a mistura. Finalmente, utilizam-se $\frac{3}{5}$ da mistura resultante.

1. a) Realize todas as operações trabalhando exclusivamente com frações.
2. b) Quantos litros de mistura restam no final no recipiente? Exprima o resultado tanto em fração como em número decimal.

Para preparar um teste em pares na aula de Matemática, deves propor um enigma numérico com a seguinte igualdade incompleta:

1. a) Aplicando as propriedades das operações inversas e respeitando a prioridade das operações, isola passo a passo e calcula que fração irredutível deve ser colocada no quadrado $\Box$.
2. b) Explica, a partir da regra dos sinais da multiplicação, por que razão o conteúdo dos parênteses tinha de ser necessariamente negativo e justifica por que razão a fração procurada $\Box$ tem de ser maior do que $\frac{2}{5}$.
3. c) Verifica a solução substituindo a fração obtida na expressão original e resolvendo-a passo a passo.

No final da primavera, uma albufeira da bacia hidrográfica do Tejo encontra-se cheia até $\frac{4}{5}$ da sua capacidade total. Durante o verão, devido à evaporação e à rega agrícola, consome-se $\frac{3}{8}$ da água que a albufeira continha. Em setembro, graças às primeiras tempestades de outono, entra uma quantidade de água equivalente a $\frac{1}{10}$ da capacidade total da albufeira.

1. a) Que fração da capacidade total da albufeira representa a água consumida durante o verão?
2. b) Apresenta uma única expressão com frações que exprima a fração da capacidade total que a albufeira contém após as chuvas de setembro, e calcula-a simplificando até à fração irredutível.
3. c) Se a capacidade máxima total da albufeira for de $160\text{ hm}^3$, quantos hectómetros cúbicos de água ficam efetivamente armazenados no final de setembro?

Calcule o valor exato da seguinte expressão combinada, transformando previamente os números decimais nas respetivas frações geratrizes e simplificando os passos intermédios:

Uma jovem influencer está a organizar o seu orçamento mensal proveniente das suas colaborações. Destina $\frac{2}{5}$ do seu rendimento à renda do seu estúdio e $\frac{1}{4}$ do restante à edição de vídeo. Se, depois destas despesas, ainda lhe sobram $\frac{5}{9}$ do que restava para poupar e ainda dispõe de $480$ € para despesas pessoais, a quanto ascendem os seus rendimentos totais mensais?

Num laboratório de química, um tanque contém uma mistura de álcool e água. Inicialmente, $\frac{2}{7}$ do conteúdo é álcool. Retiram-se $12$ litros da mistura e substituem-se por $12$ litros de álcool puro. Se agora a mistura contém $\frac{2}{5}$ de álcool, quantos litros de líquido há no total no tanque?

Observe o design deste azulejo moderno para um centro cultural. O quadrado exterior tem uma área de $1$ m$^2$. Foram sombreadas diferentes regiões seguindo um padrão geométrico. Determine que fração do total representa a zona sombreada na cor laranja e calcule quantos cm$^2$ correspondem a ela.

Numa competição de eSports, o prémio total é repartido da seguinte forma: a equipa vencedora fica com $\frac{4}{7}$ do total, a segunda classificada com $\frac{2}{3}$ do que resta, e a terceira classificada com o restante. Se a diferença entre o prémio da segunda e o da terceira é de $3\,500$ €, calcula o valor total do prémio e quanto dinheiro cada uma das três equipas recebe.

Determine o valor de $x$ na seguinte igualdade de potências com números racionais, aplicando as propriedades necessárias para simplificar a expressão:

Um drone de vigilância realiza um trajeto de ida e volta entre duas bases. Na ida, voa com o vento a favor a uma velocidade constante. Na volta, com o vento contra, a sua velocidade reduz-se a $\frac{3}{5}$ partes da velocidade de ida. Se o tempo total de voo foi de $1$ hora e $20$ minutos, que fração do tempo total empregou na viagem de volta? Exprime o resultado também em minutos e segundos.

Três sócios investem num negócio tecnológico. O primeiro entra com $12\,000$ €, o segundo entra com $\frac{2}{5}$ partes do total e o terceiro entra com a mesma quantia que os outros dois juntos menos $18\,000$ €.

1. a) Qual é o investimento total do negócio?
2. b) Que fração do total entra cada sócio? (Expresse as frações na forma irredutível).

Para calcular o valor exato da expressão $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$, a Sofia e o David debatem qual é o caminho mais inteligente:

• Método da Sofia (parênteses primeiro): calcula o m.m.c. de $9$ e $21$, resolve a subtração dentro dos parênteses e depois multiplica por $\frac{3}{4}$, simplificando a fração resultante.

• Método do David (propriedade distributiva): aplica a propriedade distributiva calculando $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, simplificando cada produto antes de realizar a subtração.

1. a) Resolve a expressão seguindo em detalhe o método proposto pela Sofia até chegares à fração irredutível.
2. b) Resolve a expressão seguindo o método do David, indicando com clareza as simplificações cruzadas prévias a cada multiplicação.
3. c) Analisa o tamanho dos denominadores e numeradores com que operaste em cada caminho. Justifica qual dos dois métodos é mais eficaz e apresenta menor risco de erro de cálculo neste caso concreto.

Numa exigente etapa de montanha da Volta a Espanha:

• No primeiro troço desiste $\frac{1}{12}$ dos ciclistas que partiram.

• No segundo troço, durante a subida a uma contagem de montanha de categoria especial, abandona $\frac{2}{11}$ dos corredores que ainda continuavam em prova.

• No terceiro troço, devido a uma intensa saraivada na descida, desiste $\frac{1}{3}$ dos ciclistas que superaram a contagem de montanha.

• No início da subida final até à meta restam unicamente $60$ corredores a disputar a etapa.

1. a) Expressa através de um produto encadeado de frações a parte do pelotão que continua em prova troço a troço, e simplifica cruzando fatores para demonstrar que os $60$ corredores representam exatamente $\frac{1}{2}$ do pelotão inicial.
2. b) Deduz quantos ciclistas partiram no início da etapa.
3. c) Na transmissão televisiva, um comentador afirma: «Como desistiu $\frac{1}{12}$ no início, $\frac{2}{11}$ na subida e $\frac{1}{3}$ na descida, somamos $\frac{1}{12} + \frac{2}{11} + \frac{1}{3} = \frac{79}{132}$, o que significa que quase $60\,\%$ do pelotão abandonou». Justifica com precisão matemática o grave erro conceptual do comentador e indica qual é a fração real do pelotão inicial que abandonou a corrida.

Desafio do tema. Como é que o tempo influencia o nosso meio ambiente? Torna-te analista meteorológico, analisando dados reais do teu distrito.

1. Recolha de dados: Acede ao site oficial do IPMA e regista as temperaturas máximas e mínimas (inteiros ou decimais com sinal) e a precipitação dos últimos $7$ dias.

2. Inteiros e frações: Calcula a oscilação térmica diária ($T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}}$) aplicando operações com números inteiros e decimais. Expressa através de uma fração os dias com chuva relativamente ao total semanal, determina a sua fração irredutível e encontra uma equivalente projetada para um mês de $28$ dias.

3. Cálculo e conclusões: Introduz os dados numa folha de cálculo para encontrar a temperatura média da semana e estima a poupança económica na rega sabendo que cada litro recolhido representa $0,18$ € (a precipitação em l/m² indica os litros recolhidos por metro quadrado, por isso exprime a poupança em €/m²). Redige um breve relatório fundamentando os teus resultados.

Será valorizado:

• Correção na aplicação de sinais e subtração de inteiros/decimais na oscilação térmica.

• Determinação rigorosa da fração irredutível e da sua equivalente.

• Precisão nas operações combinadas com decimais na folha de cálculo.

• Clareza e fundamentação matemática do relatório final.