Exercícios: Frações. Frações equivalentes.

Numa barra de chocolate como a da imagem, consumimos os pedaços que estão coloridos a laranja.

1. a) Escreva a fração que representa os pedaços consumidos em relação ao total da barra.
2. b) Simplifique a fração anterior até chegar à sua fração irredutível.

Um grupo de amigos está a comparar o sucesso das suas publicações nas redes sociais. A Beatriz diz que $2$ de cada $5$ seguidores colocaram "gosto" na sua última fotografia.

1. a) Escreve a fração de "gostos" da Beatriz.
2. b) Obtém uma fração equivalente por amplificação, multiplicando ambos os termos por $3$.
3. c) Obtém outra fração equivalente se a Beatriz tivesse um total de $50$ seguidores.

Num videojogo, conseguiste $45$ moedas de um total de $60$ que havia no nível. Por outro lado, o teu irmão conseguiu $15$ de um total de $20$ na sua partida.

Utiliza a regra dos produtos cruzados para verificar se as duas frações de moedas conseguidas são equivalentes.

Observe os seguintes retângulos do mesmo tamanho. O primeiro está dividido em $4$ partes iguais e o segundo em $8$ partes iguais.

1. a) Escreva a fração sombreada da Figura A.
2. b) Escreva a fração sombreada da Figura B.
3. c) São equivalentes? Justifique a sua resposta observando o desenho e realizando o cálculo.

Para preparar um batido de frutas, a receita indica que devemos usar $\frac{3}{4}$ de litro de leite. Se queremos preparar uma quantidade maior mantendo a proporção e o novo recipiente graduado marca oitavos de litro ($8$ partes):

Encontra o valor de $x$ para que as frações sejam equivalentes:

Na biblioteca da escola, o encarregado diz-nos que $\frac{12}{30}$ dos livros são de aventura. Ajuda-o a simplificar esta fração para a colocar num cartaz:

1. a) Divide o numerador e o denominador por $2$.
2. b) Divide o resultado anterior por $3$.
3. c) A fração obtida na alínea b é uma fração irredutível? Porquê?

Copia no teu caderno e completa o termo que falta em cada caso para que os pares de frações sejam equivalentes:

1. a) $\frac{1}{3} = \frac{\Box}{12}$

1. b) $\frac{10}{15} = \frac{2}{\Box}$

1. c) $\frac{\Box}{7} = \frac{20}{28}$

Identifique, entre a seguinte lista, quais das frações são equivalentes a $\frac{2}{3}$:

Num teste de Matemática, a Leonor tem de encontrar uma fração equivalente a $\frac{4}{9}$ cujo numerador seja $12$. A Leonor escreve na sua folha:

«Como para passar de $4$ a $12$ tenho de somar $8$, faço o mesmo no denominador: $\frac{4}{9} = \frac{4+8}{9+8} = \frac{12}{17}$. Portanto, $\frac{12}{17}$ é equivalente a $\frac{4}{9}$».

1. a) Explica detalhadamente por que razão o procedimento da Leonor é incorreto, apoiando-te na definição de amplificação de frações e verificando o produto cruzado de ambas as frações.
2. b) Corrige o seu exercício calculando a verdadeira fração equivalente a $\frac{4}{9}$ com numerador $12$.

Observa as frações $\frac{12}{24}$ e $\frac{21}{40}$.

1. a) Estima: Sem realizares produtos cruzados nem simplificações por escrito, compara mentalmente cada uma delas com o valor de referência $\frac{1}{2}$ e deduz se podem ser equivalentes ou não. Explica por palavras tuas o teu raciocínio inicial.
2. b) Verifica: Realiza a verificação matemática rigorosa através da regra dos produtos cruzados para confirmares se a tua estimativa estava correta.

Dois designers gráficos estão a trabalhar com quadrículas para criar um logótipo. O primeiro designer sombreou $\frac{12}{20}$ da sua quadrícula, enquanto o segundo sombreou $\frac{18}{30}$ da sua. Observa as seguintes representações gráficas e raciocina se ambos sombrearam a mesma proporção de superfície, verificando se as frações são equivalentes.

Numa competição de e-sports, um jogador completou $42$ dos $60$ níveis de um videojogo. Outro jogador completou a mesma proporção de níveis, mas o jogo em que ele está a jogar tem um total de $90$ níveis. Quantos níveis superou o segundo jogador? Resolve procurando o termo desconhecido $x$ na igualdade de frações equivalentes.

Simplifique as seguintes frações até obter a sua fração irredutível. Para isso, utilize o método de dividir numerador e denominador pelo seu máximo divisor comum (m.d.c.):

1. a) $\dfrac{126}{180}$

1. b) $\dfrac{210}{315}$

1. c) $\dfrac{154}{198}$

Um influencer analisa o impacto dos seus vídeos. No primeiro, obteve $36$ "gostos" por cada $80$ visualizações. No segundo, obteve $45$ "gostos" por cada $100$ visualizações. Utilize a regra do produto cruzado para determinar se a proporção de sucesso é equivalente em ambos os vídeos.

Determina o valor da incógnita $n$ em cada uma das seguintes igualdades para que as frações sejam equivalentes:

1. a) $\dfrac{n}{15} = \dfrac{12}{45}$

1. b) $\dfrac{7}{n} = \dfrac{28}{36}$

1. c) $\dfrac{10}{18} = \dfrac{25}{n}$

Das seguintes frações, identifique qual é a que não pertence ao grupo de frações equivalentes. Justifique a sua resposta simplificando-as todas até à fração irredutível.

Para realizar uma experiência de química, um laboratório precisa de misturar líquidos numa proporção de $\frac{3}{8}$. Se dispõem de um recipiente com $120$ ml de capacidade total para a mistura, que quantidade de líquido ativo devem despejar se querem manter a mesma proporção? Represente a situação mediante duas frações equivalentes em que o denominador da segunda seja $120$.

Desenha no teu caderno uma reta numérica (marca o 0 e o 1, e usa uma unidade suficientemente grande, por exemplo 8 quadradinhos) e representa nela as seguintes frações. Demonstra graficamente que são equivalentes, observando que todas se situam no mesmo ponto da reta:

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Na linha C-5 dos comboios suburbanos de Lisboa, a CP realiza uma auditoria de pontualidade durante uma semana:

• No troço Sintra - Rossio, chegaram pontuais $72$ dos $90$ comboios programados.

• No troço Rossio - Azambuja, programaram-se $150$ comboios no total, e a empresa garante que a taxa de pontualidade foi exatamente equivalente à do primeiro troço.

1. a) Modela a proporção de pontualidade do primeiro troço através de uma fração e simplifica-a passo a passo até obteres a sua fração irredutível.
2. b) Formula uma igualdade de frações equivalentes para descobrires quantos comboios tiveram de chegar pontuais no segundo troço para que a afirmação da empresa seja verdadeira. Utiliza os produtos cruzados para o resolver.

Para verificar se as frações $\frac{84}{126}$ e $\frac{140}{210}$ são equivalentes, dois alunos do 2.º de ESO propõem caminhos diferentes:

• O Sergio propõe usar diretamente o critério do produto cruzado calculando $84 \cdot 210$ e $126 \cdot 140$.

• A Laura propõe simplificar previamente ambas as frações até à sua fração irredutível dividindo o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum ($\text{m.d.c.}\,$).

1. a) Analisa as vantagens e desvantagens de cada método tendo em conta a dimensão dos números e o risco de cometer erros de cálculo sem calculadora. Justifica qual dos dois métodos é mais conveniente neste caso.
2. b) Aplica o método da Laura para verificar se as frações são equivalentes, indicando o $\text{m.d.c.}\,$ dos termos de cada fração e a fração irredutível obtida em cada caso.

Numa competição de robótica, dois robôs devem percorrer a mesma distância, desde a Partida até à Chegada. O primeiro robô completou $\frac{42}{105}$ do trajeto. O segundo robô percorreu uma fração equivalente à anterior, mas o numerador e o denominador dela são números naturais cuja soma é exatamente $112$.

Que fração do trajeto percorreu o segundo robô? Justifica se os dois robôs se encontram no mesmo ponto da pista e calcula a fração irredutível que representa a posição de ambos.

Procura uma fração equivalente a $\frac{126}{198}$ que cumpra as seguintes condições em simultâneo:

1. O seu denominador é um número compreendido entre $50$ e $100$.

2. A soma dos algarismos do numerador e a soma dos algarismos do denominador são, cada uma separadamente, múltiplos de $9$.

3. É uma fração própria.

Explica passo a passo o processo de simplificação e amplificação que seguiste para a encontrar.

Um designer de interfaces está a trabalhar na resolução de um novo ecrã. A proporção do ecrã é de $16:9$ (o que significa que para cada $16$ unidades de largura há $9$ de altura). Desenhe o esquema no seu caderno. Se a largura do ecrã é definida por um número $x$ e a altura por um número $y$, encontre os valores de $x$ e $y$ sabendo que:

• $\frac{x}{y}$ é equivalente a $\frac{16}{9}$.

• A área do retângulo formado ($x \cdot y$) é de $576$ unidades quadradas.

• $x$ e $y$ devem ser números naturais.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dada a fração $\frac{A}{B}$, sabemos que é equivalente a $\frac{4}{7}$. Se somarmos $12$ unidades ao numerador, para que a nova fração seja equivalente à original, o denominador deve aumentar $21$ unidades.

Demonstre se esta afirmação é verdadeira para qualquer valor inicial de $A$ e $B$ que mantenha a proporção $\frac{4}{7}$. Em seguida, encontre uma fração equivalente a $\frac{4}{7}$ tal que o produto dos seus termos ($A \cdot B$) seja $700$.

Num videojogo de estratégia, a vida de uma personagem é representada por uma barra. Atualmente, a personagem tem $\frac{15}{24}$ da sua vida total. O jogador consome uma poção que aumenta a vida atual numa quantidade tal que a nova fração de vida é equivalente a $\frac{11}{12}$ da vida total.

Se o denominador da vida total (a capacidade máxima) é de $120$ pontos, quantos pontos de vida exatos recuperou a personagem com a poção? Expressa todas as frações do problema com denominador $120$ antes de o resolveres.

Três irmãos dividem o prémio em dinheiro de um concurso de matemática da seguinte maneira: o mais velho recebe $\frac{24}{60}$ do total, o do meio recebe uma fração equivalente a $\frac{18}{45}$ e o mais novo o restante.

1. Calcule a fração irredutível do que cada um dos dois irmãos mais velhos recebe.

2. Quem recebe mais dinheiro, o mais velho ou o do meio?

3. Que fração do total recebe o irmão mais novo? É maior ou menor que as partes dos seus irmãos?

Determina o valor da incógnita $n$ para que as seguintes frações sejam equivalentes:

Depois de determinares $n$, encontra outra fração equivalente às anteriores cujo denominador seja o quadrado de $n$. É possível que o numerador desta última fração seja um número primo? Justifica a tua resposta.

Considera a dízima periódica simples $1,\widehat{36}$ e a dízima periódica mista $1,3\widehat{6}$.

1. Determina as frações geratrizes de ambos os números e simplifica-as até serem irredutíveis.

2. Alguma destas frações é equivalente a $\frac{60}{44}$?

3. Existe algum número natural pelo qual devas multiplicar o denominador da fração geratriz de $1,\widehat{36}$ para obter como resultado o denominador da fração geratriz de $1,3\widehat{6}$? Justifica a tua resposta.

Determina duas frações positivas $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ sabendo que ambas têm como fração irredutível comum $\frac{5}{8}$ e que cumprem os seguintes requisitos independentes:

1. a) Na fração $\frac{a}{b}$, o produto do seu numerador pelo seu denominador é exatamente $1000$. Deduz o fator natural pelo qual se ampliou a fração irredutível e escreve a fração $\frac{a}{b}$.
2. b) Na fração $\frac{c}{d}$, a soma do seu numerador e do seu denominador é igual ao menor múltiplo comum de $13$ e $3$ compreendido estritamente entre $100$ e $200$. Determina o fator de ampliação correspondente e escreve a fração $\frac{c}{d}$.
3. c) Verifica que as frações $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ obtidas são equivalentes entre si aplicando a regra dos produtos cruzados.

O Ministério para a Transição Ecológica (MITECO) publica os seguintes dados sobre duas albufeiras de uma mesma bacia hidrográfica:

• A albufeira de Valdecañas tem uma capacidade máxima de $160\text{ hm}^3$ e contém atualmente $64\text{ hm}^3$ de água.

• A albufeira de Alarcón tem uma capacidade total desconhecida $C$, mas sabe-se que se recebesse $15\text{ hm}^3$ adicionais atingiria um volume armazenado de $55\text{ hm}^3$. Além disso, os técnicos confirmam que a proporção atual de água em relação à sua capacidade total é exatamente a mesma que em Valdecañas (as suas frações de enchimento são equivalentes).

1. a) Modela a situação formulando a igualdade de frações entre ambas as albufeiras e calcula fundamentadamente a capacidade total $C$ de Alarcón através de produtos cruzados.
2. b) Durante o mês seguinte, as chuvas adicionam exatamente $20\text{ hm}^3$ de água a cada uma das duas albufeiras. Um porta-voz afirma: «Como entrou exatamente o mesmo volume de água nas duas albufeiras, as suas proporções de enchimento em relação às suas capacidades totais continuam a ser equivalentes». Demonstra matematicamente se a afirmação do porta-voz é verdadeira ou falsa calculando a fração irredutível do novo enchimento de cada albufeira.