Exercícios: Conceito

No sistema de numeração decimal, o valor de um algarismo depende da posição que ocupa. Considere o número de seguidores de um famoso streamer, que é exatamente $452\,807$. Escreva a sua decomposição polinomial utilizando potências de $10$.

Escreva com algarismos e utilizando potências de $10$ os seguintes números:

1. a) Oito milhões e trezentas mil unidades.
2. b) Trinta e dois mil milhões de unidades.
3. c) Uma centena de milhar.

Observe a seguinte reta numérica na qual foram representados vários pontos. Indique qual é o número natural que corresponde a cada uma das letras marcadas.

Ordene do menor para o maior os seguintes números naturais utilizando os símbolos $<$ ou $>$ conforme corresponder:

A Leonor tem de escrever a decomposição polinomial do número $30\,540$, correspondente à lotação de um estádio municipal de atletismo. No seu caderno, escreveu a seguinte igualdade:

1. a) Identifica os dois erros cometidos pela Leonor ao associar os algarismos às suas potências de $10$.
2. b) Explica por que razão o expoente de cada potência de $10$ depende da posição que o algarismo ocupa no sistema decimal e não do número de zeros que se observam à primeira vista.
3. c) Corrige o exercício escrevendo a decomposição polinomial correta usando potências de $10$ para todos os algarismos diferentes de zero.

Um número natural secreto de cinco algarismos distintos cumpre simultaneamente estas quatro pistas baseadas no valor posicional:

1. O algarismo das dezenas de milhar é o menor número primo.

2. O valor posicional do algarismo das centenas é exatamente $700$ unidades.

3. O algarismo das unidades é o dobro do algarismo das dezenas.

4. A soma de todos os algarismos que compõem o número é igual a $18$.

Deduz de que número se trata, fundamentando passo a passo o valor de cada um dos seus algarismos, e escreve depois a sua decomposição polinomial completa através de potências de $10$.

Num videojogo de estratégia, o número de recursos de madeira acumulados por um jogador é expresso pela seguinte decomposição polinómica:

$4 \cdot 10^6 + 2 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0$

Escreve o número de recursos no Sistema de Numeração Decimal e indica que valor o algarismo $2$ representa dentro desse número (unidades de milhar, dezenas de milhar, centenas de milhar, etc.).

Os números naturais podem ser representados por meio de formas retangulares. Por exemplo, o número $12$ pode ser representado como um retângulo de $3 \times 4$ ou de $2 \times 6$.

1. a) Desenhe todas as formas retangulares possíveis (excluindo a de uma única linha) para o número $18$.
2. b) Que relação têm as dimensões desses retângulos com os divisores do número $18$?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Justifique se as seguintes afirmações sobre o conjunto dos números naturais são verdadeiras ou falsas:

1. a) Entre dois números naturais quaisquer, existe sempre outro número natural.
2. b) O sistema de numeração decimal é posicional porque o valor de um algarismo depende do lugar que ocupa.
3. c) Qualquer número natural pode ser expresso como uma soma de potências de base $10$ distintas (sem repetir nenhuma).
4. d) O número romano VV é uma forma válida de escrever o número decimal $10$.

De acordo com os dados do recenseamento do Instituto Nacional de Estatística (INE), um concelho rural conta com $3\,480$ habitantes recenseados.

1. a) Para organizar uma assembleia de cidadãos ao ar livre, pretende-se sentar todos os habitantes formando uma única grelha retangular compacta de pontos (cadeiras em filas e colunas completas, sem espaços vazios). Se a largura do recinto apenas permite colocar entre $50$ e $65$ cadeiras por cada fila, calcula quantas filas e quantas cadeiras por fila se devem colocar exatamente para que não sobre nem falte ninguém.
2. b) Numa votação concelhia posterior, a opção A recebe $3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0$ votos e a opção B recebe $3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$ votos. Justifica qual das duas opções ganhou aplicando o critério de comparação do sistema de numeração decimal, sem necessidade de calcular a soma total de cada número.

Uma estação meteorológica do IPMA registou ao longo do ano um total de $48\,725$ litros por metro quadrado acumulados entre todos os udómetros de uma bacia hidrográfica.

1. a) Antes de realizar cálculos, estima o total de litros arredondando aos milhares mais próximos e justifica se a tua estimativa é maior ou menor do que o dado exato, observando o algarismo das centenas.
2. b) Ao registar o dado no servidor central, uma pessoa troca acidentalmente o algarismo das dezenas de milhar com o algarismo das centenas, guardando um número incorreto. Estima fundamentadamente de que ordem de grandeza (centenas, milhares ou dezenas de milhar) será a diferença entre o dado real e o errado antes de efetuar os cálculos.
3. c) Calcula a diferença exata entre ambos os números e avalia se a estimativa prévia foi acertada, explicando como influencia a posição dos algarismos trocados na magnitude do erro.

Os números triangulares ($T_n$) podem visualizar-se como pontos que formam um triângulo equilátero. Uma propriedade fascinante é que a soma de dois números triangulares consecutivos dá sempre como resultado um quadrado perfeito ($C_n$).

Na figura podes ver como se colocam os pontos de $T_4$ e de $T_5$.

Sabendo que a fórmula para encontrar o n-ésimo número triangular é $T_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$, demonstra graficamente e por cálculo numérico que a soma do quarto número triangular ($T_4$) e do quinto número triangular ($T_5$) é igual ao quinto número quadrado ($C_5$), isto é, ao número de pontos de um quadrado de $5 \times 5$.

1. a) Faz o desenho: coloca os pontos de $T_5$ e de $T_4$ de modo que, juntos, formem um quadrado de $5 \times 5$ pontos (usa duas cores diferentes).

1. b) Calcula $T_4$, $T_5$ e $C_5 = 5^2$ com as fórmulas e verifica que $T_4 + T_5 = C_5$.

Um colecionador de arte quer organizar a sua galeria de modo que os seus $144$ quadros formem um quadrado perfeito. No entanto, decide comprar mais quadros para que a galeria seja um retângulo onde o comprimento seja o dobro da largura.

Qual é o número mínimo de quadros adicionais que deve comprar para formar esse retângulo se quiser que a largura seja maior do que o lado do quadrado original?

Deseja-se projetar um jardim botânico circular. O orçamento permite comprar sementes suficientes para cobrir uma superfície de $31\,400$ metros quadrados.

1. a) Se utilizarmos o valor aproximado de $\pi \approx 3,14$, qual será o raio do jardim?
2. b) A câmara municipal decide que o jardim deve ser vedado por uma vedação quadrada cujo lado seja exatamente igual ao diâmetro do jardim circular. Quantos metros de vedação são necessários?
3. c) Qual é a área do terreno quadrado que fica fora do círculo, mas dentro da vedação?

Pretende-se distribuir $180$ participantes num desfile formando um bloco retangular compacto de pontos (filas e colunas completas, com mais de uma pessoa por lado). Dois coordenadores debatem como encontrar todas as formações possíveis:

• O Carlos propõe dividir $180$ sucessivamente por todos os números naturais desde o $2$ até ao $179$ para verificar quais dão divisão exata.

• A Elena propõe decompor $180$ e verificar divisões exatas unicamente desde o $2$ até à raiz quadrada estimada de $180$ (que é aproximadamente $13,4$), deduzindo a partir daí os pares de divisores.

1. a) Compara ambos os procedimentos: justifica por que razão o método da Elena poupa cálculos e por que razão não é necessário testar números maiores do que a raiz quadrada para encontrar todos os pares de fatores.
2. b) Aplica o método mais eficaz para determinar todas as possíveis dimensões $(a \times b$, com $a \le b$ e $a > 1)$ que o retângulo de participantes pode ter.
3. c) Se ao desfile se juntasse mais uma pessoa, havendo no total $181$ participantes, quantos retângulos de pontos distintos com lados maiores do que $1$ se poderiam formar? Justifica a tua resposta a partir da natureza do número $181$.

Considera qualquer número natural de três algarismos, $N$, no qual o algarismo das centenas seja estritamente maior do que o das unidades. Se escrevermos a sua decomposição polinomial, temos $N = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$ com $a > c$. Se invertermos a ordem dos seus algarismos, obtemos o número menor $M = c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$.

1. a) Desenvolve a subtração $D = N - M$ utilizando a decomposição polinomial e demonstra que o resultado pode ser sempre expresso como $99 \cdot (a - c)$, o que prova que a diferença é sempre múltiplo de $99$, independentemente do algarismo das dezenas.
2. b) Se num caso concreto sabemos que o resultado da diferença $D$ é um número de três algarismos cujo algarismo das centenas é $4$, deduz de forma fundamentada qual é o valor exato e completo de $D$ (centenas, dezenas e unidades) sem conhecer o número $N$ de partida.
3. c) Se representarmos o resultado $D$ obtido na alínea anterior como um retângulo de pontos no qual um dos lados mede $11$, quanto medirá o outro lado? Justifica a tua resposta utilizando as propriedades do produto.