Exercícios: Decomposição em fatores primos

Classifique os seguintes números naturais em primos ou compostos. Lembre-se de que os números primos são aqueles que têm apenas dois divisores: o $1$ e eles próprios.

$14, 17, 21, 23, 27, 29, 33, 37$

Preencha os espaços em branco da seguinte decomposição em fatores primos de um número utilizando a técnica da barra vertical:

Escreva o resultado final da decomposição utilizando potências.

Faz a decomposição em fatores primos dos seguintes números. Exprime o resultado final em forma de produto de potências:

1. a) $36$

1. b) $45$

1. c) $80$

Indique a que número correspondem as seguintes decomposições em fatores primos:

1. a) $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

1. b) $2^{3} \cdot 7$

1. c) $3^{2} \cdot 11$

Complete a seguinte árvore de fatores para o número $24$. Tens de encontrar dois números cujo produto seja o número do nível superior, até que todos os números das pontas sejam primos.

Escreva finalmente a decomposição de $24$ como produto dos seus fatores primos.

Observe a decomposição em fatores primos dos seguintes números:

$A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

$B = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$

Sem fazer as multiplicações, responda de forma fundamentada:

1. a) O número $A$ é múltiplo de $7$?
2. b) O número $B$ é divisível por $10$? (Dica: observa se tem os fatores necessários para formar o $10$).
3. c) O número $3$ é um divisor de $A$?

Um professor de Educação Física quer organizar os seus $28$ alunos em grupos iguais de mais de $2$ pessoas, mas menos de $10$, de modo que não sobre nenhum aluno.

Utiliza a decomposição em fatores primos de $28$ para encontrar todas as formas possíveis de formar os grupos.

Qual é o maior número de dois algarismos que tem apenas o $2$ e o $3$ como factores primos na sua decomposição?

Exemplo de ajuda: o número $6 = 2 \cdot 3$ cumpre a condição, mas não é o maior de dois algarismos.

João tem de decompor o número $540$ em fatores primos e utiliza o método da barra vertical escrevendo no seu caderno:

$540 \mid 10$

$\phantom{0}54 \mid 9$

$\phantom{00}6 \mid 6$

$\phantom{00}1$

Ao terminar, afirma: «Como $10 \cdot 9 \cdot 6 = 540$, a decomposição fatorial de $540$ é $10 \cdot 9 \cdot 6$ e demorei metade do tempo».

1. a) Explica que erro conceptual comete o João ao aplicar a definição de decomposição fatorial.
2. b) Por que razão não é válido utilizar números como $10$, $9$ ou $6$ na coluna da direita do método da barra?
3. c) Corrige o exercício do João: obtém a decomposição fatorial correta de $540$ expressa como produto de potências de números primos.

Para decompor em fatores primos o número $4200$, o Marcos e a Laura debatem qual é a melhor estratégia:

• O Marcos propõe aplicar o algoritmo da decomposição (a barra vertical tradicional), começando a dividir sistematicamente pelos números primos mais pequenos: $2, 2, 2, 3\dots$

• A Laura propõe usar uma árvore de fatores rápida: primeiro separa $4200$ mentalmente em $42 \cdot 100$, e depois decompõe $42$ e $100$ em ramos mais pequenos até chegar a primos.

1. a) Chegarão ambos ao mesmo resultado final? Que propriedade ou teorema dos números naturais garante isso?
2. b) Compara ambos os caminhos: qual resulta mais rápido e com menor risco de erro nas divisões para este número concreto? Justifica a tua escolha.
3. c) Aplica a estratégia da Laura para escrever a decomposição fatorial definitiva de $4200$ em forma de potências.

Faça a decomposição em fatores primos dos números $720$ e $1260$ utilizando o método da barra vertical. Depois de obtidas as expressões em forma de potência, indique quais os fatores primos que têm em comum e qual é o maior expoente com que cada um aparece nas duas decomposições.

Copie no seu caderno este esquema de decomposição em fatores primos e preencha os espaços vazios (marcados com a letra $x$) com os números correspondentes:

Um designer de videojogos quer organizar um armazém virtual de objetos. Para isso, precisa de saber quantos divisores tem o número de caixas disponíveis, que é $360$.

1. a) Faça a decomposição em fatores primos de $360$.
2. b) Utilizando a regra dos expoentes (somar um a cada expoente da decomposição e multiplicá-los), calcule o número total de divisores que $360$ tem.

Encontra o número cuja decomposição em fatores primos é $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$. Uma vez encontrado, explica se esse número é múltiplo de $6$ e de $22$ observando apenas os seus fatores primos (sem fazer divisões).

A partir da decomposição em fatores primos do número $150$, responda às seguintes questões justificando a sua resposta:

1. a) $150$ é divisível por $10$?
2. b) $150$ é divisível por $4$?
3. c) $150$ é divisível por $15$?

O volume de uma caixa com forma de cubo é exatamente $1728$ cm$^3$.

1. a) Faz a decomposição em fatores primos do número $1728$.
2. b) Sabendo que o volume de um cubo é calculado como $V = l^3$ (onde $l$ é a aresta), utiliza a decomposição anterior para agrupar os fatores em três grupos idênticos e encontra a medida da aresta.

Um fotógrafo profissional do Instagram quer organizar o seu feed de fotografias. Tem $210$ imagens e quer publicá-las em blocos iguais.

1. a) Decomponha $210$ em fatores primos.
2. b) Escreva quatro formas diferentes de agrupar as fotografias (por exemplo: "3 blocos de 70 fotografias") utilizando combinações dos seus fatores primos.

Dizemos que um número é um quadrado perfeito se todos os expoentes da sua decomposição em fatores primos forem números pares.

1. a) Faça a decomposição em fatores primos do número $180$. É um quadrado perfeito?
2. b) Qual é o menor número pelo qual terias de multiplicar $180$ para que o resultado seja um quadrado perfeito? Justifica a tua resposta analisando os expoentes.

Um número natural secreto $N$ cumpre simultaneamente estas três condições:

1. Na sua decomposição em fatores primos apenas aparecem os fatores primos $2$, $3$ e $5$.

2. É múltiplo de $18$ e também é múltiplo de $20$.

3. É menor que $300$.

1. a) Escreve a decomposição em fatores primos de $18$ e de $20$.
2. b) Pensando nos fatores primos como os «tijolos» imprescindíveis que $N$ deve ter para poder dividir-se por $18$ e por $20$, deduz fundamentadamente quais devem ser os expoentes mínimos de $2$, de $3$ e de $5$ na decomposição de $N$.
3. c) Determina que número é $N$. Poderia existir outro número natural diferente que cumprisse as três condições? Justifica a tua resposta.

Considera o número obtido ao multiplicar $A = 24 \cdot 35 \cdot 55$.

1. a) Estima: Antes de calcular o produto e sem fazer divisões longas, faz uma estimativa mental de quantos fatores primos no total (contando repetições; por exemplo, em $2^3$ há $3$ fatores primos) terá o número $A$. Explica brevemente em que reparas mentalmente para fazer essa estimativa.
2. b) Calcula: Obtém separadamente a decomposição em fatores primos de $24$, de $35$ e de $55$. A partir delas, escreve a decomposição fatorial completa de $A$ agrupando os fatores em potências.
3. c) Verifica e reflete: Soma os expoentes da tua decomposição para saberes o número exato de fatores primos de $A$ e compara-o com a tua estimativa. Por que razão é muito mais vantajoso decompor os três números separadamente em vez de calcular primeiro a multiplicação $24 \cdot 35 \cdot 55 = 46\,200$ para depois a decompor?

Um hacker bloqueou o acesso a um servidor e deixou a seguinte pista sobre a senha numérica, que é um número $N$ de quatro algarismos:

• A decomposição em fatores primos de $N$ é da forma $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$.

• O número total de divisores de $N$ é exatamente $30$.

• O número é um múltiplo de $100$, mas não é múltiplo de $8$.

Determine de forma fundamentada o valor da senha $N$ e mostre a sua decomposição em fatores primos completa.

Considera dois números naturais, $A$ e $B$, cujas decomposições em fatores são as seguintes:

$A = 2^{3} \cdot 3^{x} \cdot 5^{2}$

$B = 2^{y} \cdot 3^{3} \cdot 7^{1}$

Sabendo que o máximo divisor comum de ambos é $M.D.C.(A, B) = 36$, descobre o valor das incógnitas $x$ e $y$. Depois de as encontrares, calcula o valor do mínimo múltiplo comum $m.m.c.(A, B)$, expresso também na sua forma de decomposição em fatores.

Uma empresa de logística utiliza caixas cúbicas pequenas para armazenar peças. O volume total de um contentor de carga é de $151200$ $cm^{3}$. O contentor deve ser totalmente preenchido com pacotes retangulares que meçam $a$ cm de largura, $b$ cm de comprimento e $c$ cm de altura, onde $a$, $b$ e $c$ são números primos distintos entre si.

Se sabemos que o contentor pode conter exatamente um número de pacotes que é múltiplo de $10$:

1. Faça a decomposição em fatores primos de $151200$.

2. Identifique as possíveis dimensões dos pacotes se o volume de cada pacote deve ser maior que $100$ $cm^{3}$.

Temos três números naturais decompostos em fatores primos:

$n_1 = 2^{3} \cdot p \cdot 7$

$n_2 = 2^{q} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$n_3 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 11$

Se sabemos que:

• $M.C.D.(n_1, n_2) = 12$

• $m.c.m.(n_2, n_3) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11$

Encontra os valores dos números primos ou expoentes desconhecidos $p$ e $q$. Justifica a tua resposta utilizando as propriedades da decomposição em fatores para o cálculo do $M.C.D.$ e do $m.c.m.$

Um aluno do 8.º ano afirma que encontrou um número $X$ cuja decomposição em fatores primos é $2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 6^{2} \cdot 5$.

1. Explique por que razão essa expressão não é uma decomposição em fatores primos válida.

2. Corrija a expressão para que seja uma decomposição em fatores primos real.

3. Sem calcular o valor numérico de $X$, determine quantos divisores ele tem. Mostre o processo de cálculo passo a passo.

Numa rede de satélites, o Satélite A completa uma órbita a cada $1260$ minutos, o Satélite B a cada $1584$ minutos e o Satélite C a cada $n$ minutos.

Sabe-se que a última vez que os três coincidiram sobre o céu de Lisboa foi há exatamente o tempo marcado pelo seu $m.c.m$.

Se a decomposição em fatores primos de $n$ é $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$, calcula:

1. A decomposição em fatores primos dos tempos dos satélites A e B.

2. O tempo total (em minutos) que deve decorrer para que os três satélites voltem a coincidir. Deixa o resultado expresso como produto de potências de fatores primos.

Descobre qual é o menor número que cumpre simultaneamente estas três condições:

• É um quadrado perfeito (todos os expoentes da sua decomposição em fatores primos são pares).

• É um múltiplo de $42$.

• É um múltiplo de $60$.

Para o resolveres, utiliza a decomposição em fatores primos de $42$ e $60$ e raciocina sobre quais os fatores e expoentes que deves adicionar para obter o quadrado perfeito mínimo.

Pretende-se desenhar um código de barras especial baseado num número $K$. Este número forma-se multiplicando os primeiros $n$ números primos de forma consecutiva (por exemplo, se $n=3$, o número será $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$).

Se queremos que o número $K$:

1. Seja maior do que $1000$, mas menor do que $5000$.

2. Tenha exatamente $5$ fatores primos distintos na sua decomposição em fatores primos.

Qual é o valor de $K$? Mostra a lista de números primos que utilizaste e verifica que o resultado está dentro do intervalo solicitado.

Uma cooperativa agrícola de Gandía (Valência) prepara um envio de $2520\text{ kg}$ de laranjas em caixas idênticas com destino a vários mercados europeus. Para organizar o transporte, o departamento de logística exige as seguintes condições:

1. O peso de cada caixa (em quilogramas inteiros) deve ser um múltiplo de $15$, mas deve ser uma quantidade ímpar (ou seja, não pode conter o fator primo $2$).

2. O número total de caixas preparadas deve ser maior que $20$.

3. O número total de caixas deve ser um múltiplo de $8$.

1. a) Calcula a decomposição em fatores primos de $2520$.
2. b) Utilizando unicamente a decomposição em fatores primos obtida (sem tentar divisões ao acaso), explica que fatores primos devem formar obrigatoriamente o peso de cada caixa e quais devem formar o número total de caixas.
3. c) Deduz de forma fundamentada todas as combinações possíveis de (peso de cada caixa, número total de caixas) que satisfazem todos os requisitos do transporte.

Procuramos o menor número natural $N$ que cumpre ao mesmo tempo estas duas condições estruturais:

• Ao multiplicá-lo por $6$, o resultado $6 \cdot N$ é um quadrado perfeito (todos os expoentes da sua decomposição em fatores primos são números pares).

• Ao multiplicá-lo por $10$, o resultado $10 \cdot N$ é um cubo perfeito (todos os expoentes da sua decomposição em fatores primos são múltiplos de $3$).

1. a) Escreve a decomposição em fatores primos de $6$ e de $10$, e deduz que fatores primos deve ter no mínimo o número $N$.
2. b) Supondo que $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, deduz que condições de paridade e divisibilidade devem cumprir obrigatoriamente os expoentes $a$, $b$ e $c$.
3. c) Encontra os menores valores naturais possíveis para $a$, $b$ e $c$, expressa a decomposição em fatores primos de $N$ e calcula o valor numérico desse número.