Exercícios: Representação no plano cartesiano

No plano cartesiano seguinte, foram marcadas as posições de quatro objetos numa sala. Escreve as coordenadas $(x, y)$ de cada um dos pontos representados: o comando ($A$), o livro ($B$), as chaves ($C$) e a mochila ($D$).

Desenhe um sistema de eixos coordenados no seu caderno e identifique em que quadrante (primeiro, segundo, terceiro ou quarto) se encontram os seguintes pontos, sem necessidade de os representar:

• $P(4, 7)$

• $Q(-3, 5)$

• $R(-2, -8)$

• $S(6, -1)$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estamos a desenhar um nível para um videojogo numa quadrícula. Três dos vértices de uma sala retangular são os pontos $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ e $C(6, 5)$.

1. a) Representa os pontos num plano cartesiano.

1. b) Quais devem ser as coordenadas do quarto vértice $D$ para que a sala seja um retângulo perfeito?

1. c) Une os pontos por ordem ($A$, $B$, $C$ e $D$) e verifica a tua resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Complete as seguintes frases sobre o sistema de coordenadas cartesianas:

1. a) O eixo horizontal recebe o nome de eixo das ________ e é representado pela letra $X$.
2. b) O eixo vertical recebe o nome de eixo das ________ e é representado pela letra $Y$.
3. c) O ponto de interseção de ambos os eixos chama-se ________ e as suas coordenadas são $(0, 0)$.

Um drone de entregas parte do centro logístico, situado no ponto $(0, 0)$. Realiza duas entregas: a primeira no ponto $A(0, 4)$ e a segunda no ponto $B(5, 0)$.

1. a) Indica em que eixo se encontra cada um dos pontos de entrega.

1. b) Se o drone voa em linha reta desde o ponto $A$ até ao ponto $B$, representa a trajetória num sistema de eixos coordenados (em papel quadriculado, com uma unidade por quadrado). Marca também os pontos $A$ e $B$.

Represente numa quadrícula os seguintes pontos e una-os seguindo a ordem alfabética. Ao terminar, una o último ponto ao primeiro. Que figura geométrica se obtém?

• $A(-2, 2)$

• $B(2, 2)$

• $C(2, -2)$

• $D(-2, -2)$

Dados os pontos $M(3, 2)$ e $N(3, -4)$:

1. a) Representa-os no plano cartesiano.

1. b) O que têm em comum as suas coordenadas?

1. c) Se desenhares a reta que passa pelos dois, é uma reta horizontal ou vertical?

Desenhe o ponto $A(-4, 3)$ no seu caderno.

1. a) Escreva as coordenadas de um ponto $B$ que tenha a mesma abcissa que $A$, mas cuja ordenada seja a oposta.
2. b) Escreva as coordenadas de um ponto $C$ que tenha a mesma ordenada que $A$, mas cuja abcissa seja a oposta.
3. c) Represente os três pontos e observe a simetria criada em relação aos eixos.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um grupo de arqueólogos está a mapear as ruínas de uma antiga cidade romana. Situaram o centro de um anfiteatro na origem das coordenadas $O(0,0)$. Representa num plano cartesiano (no teu caderno, com papel quadriculado) os seguintes pontos de interesse e determina em que quadrante se encontra cada um:

• Templo de Júpiter: $A(-4, 3)$

• Termas públicas: $B(5, -2)$

• Porta Norte: $C(0, 6)$

• Fórum: $D(-3, -5)$

• Mercado: $E(6, 4)$

Se decidissem construir uma vedação que unisse os pontos $E$, $B$ e $A$, que tipo de figura geométrica se formaria?

Observa os pontos representados no radar de navegação marítima a seguir. Escreve as coordenadas dos navios identificados com as letras $P$, $Q$, $R$ e $S$. Indica também quais os navios que têm a mesma abscissa e quais os que estão situados sobre um dos eixos coordenados.

Desenhe um sistema de eixos cartesianos e represente os pontos $A(2, 1)$ e $B(2, 5)$.

• Encontre as coordenadas de um ponto $C$ de forma que o triângulo $ABC$ seja um triângulo retângulo e isósceles (que tenha dois lados iguais e um ângulo de $90^\circ$).

• Existe mais de uma solução possível? Escreva as coordenadas de todas as que encontrar.

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Num jogo eletrónico de estratégia, a base de operações está no ponto $M(-3, 2)$. O programador quer colocar três postos de vigilância em posições simétricas:

• O posto $P_1$ é o simétrico de $M$ em relação ao eixo X.

• O posto $P_2$ é o simétrico de $M$ em relação ao eixo Y.

• O posto $P_3$ é o simétrico de $M$ em relação à origem das coordenadas.

Represente os quatro pontos no plano cartesiano e escreva as suas coordenadas.

Um drone de entregas segue uma rota linear. Levanta voo do armazém no ponto $S(-5, -2)$ e deve passar pelos pontos $T(-2, 1)$ e $U(1, 4)$ antes de chegar ao seu destino.

1. a) Representa os pontos $S$, $T$ e $U$ num plano cartesiano (em papel quadriculado). Estão alinhados?

1. b) Se o drone continuar a sua trajetória na mesma direção, passará pelo ponto $V(4, 7)$? Justifica a tua resposta graficamente: representa também $V$ e a reta que une os pontos.

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Desenhe um plano cartesiano e localize os seguintes pontos que formam os vértices de um retângulo: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ e $C(3, 4)$.

• Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ para fechar o retângulo.

• Calcule o perímetro e a área desse retângulo contando as unidades da quadrícula.

• Em que quadrante se encontra a maior parte da superfície do retângulo?

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Identifique quais dos seguintes pontos cumprem a condição de que a ordenada é o dobro da abscissa ($y = 2x$):

• $A(1, 2)$

• $B(-2, -4)$

• $C(3; 1,5)$

• $D(-1, 2)$

• $E(0, 0)$

Represente-os num plano cartesiano. O que se observa ao unir esses pontos?

Numa estação meteorológica registou-se a variação da temperatura ao longo de uma manhã. Os dados obtidos são:

• Às $0$ horas (meia-noite): $-2\,^\circ C$

• Às $2$ horas: $-1\,^\circ C$

• Às $4$ horas: $2\,^\circ C$

• Às $6$ horas: $4\,^\circ C$

Na figura tens os eixos com a sua escala (no eixo $X$, cada unidade é $1$ hora; no eixo $Y$, cada unidade é $1\,^\circ C$). Copia-a para o teu caderno, de preferência em papel quadriculado, e resolve:

1. a) Representa estes dados como pontos $(x, y)$ no plano cartesiano, onde o eixo $X$ representa o tempo e o eixo $Y$ a temperatura.

1. b) Une os pontos com segmentos para traçar o gráfico.

1. c) Que significado tem o ponto onde o gráfico corta o eixo das abcissas? Indica as suas coordenadas de forma aproximada.

1. d) Que significado tem o ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas? Indica as suas coordenadas.

O desenho de um novo logótipo para uma marca de roupa desportiva baseia-se num losango $ABCD$ (com os vértices por essa ordem). Conhecem-se três dos seus vértices: $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ e $C(4, 1)$, que aparecem na figura.

a) Determina as coordenadas do quarto vértice, $D$, para que a figura $ABCD$ seja um losango, e representa-o no plano cartesiano.

b) Calcula as coordenadas do centro do losango (o ponto onde se cortam as suas diagonais).

c) Se quiséssemos duplicar o tamanho do logótipo mantendo o vértice $A$ no seu lugar (isto é, multiplicando por 2 as distâncias de $A$ a cada vértice), quais seriam as novas coordenadas dos pontos $B$ e $C$?

Uma empresa de aluguer de trotinetes elétricas utiliza uma tarifa "por troços" para evitar percursos muito curtos. O custo $y$ (em euros) depende do tempo $x$ (em minutos) segundo estas regras:

• Se o percurso durar entre $0$ e $10$ minutos (inclusive), o custo é de $2$ €.

• Se durar mais de $10$ e até $20$ minutos, o custo é de $4$ €.

• A partir dos $20$ minutos, o custo é de $4$ € fixos mais $0,10$ € por cada minuto adicional que passar dos $20$.

a) Represente graficamente essa função no plano cartesiano para um tempo de $0$ a $40$ minutos.

b) Indique se a função é contínua ou descontínua. Se for descontínua, indique os pontos de descontinuidade.

c) Quanto pagará uma pessoa que utilizar a trotinete durante $25$ minutos? E uma que a utilizar durante $10$ minutos e um segundo?

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Um drone de vigilância realiza um trajeto de ida e volta a partir da sua base. A sua distância à base (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada pelo gráfico seguinte:

a) Determine o domínio e o contradomínio desta função de acordo com o gráfico.

b) Identifique os intervalos de tempo nos quais o drone se afasta da base, se aproxima ou permanece parado.

c) Qual é a velocidade do drone (em m/s) durante os primeiros $10$ segundos? Lembra-te de que $v = \frac{distancia}{tiempo}$.

Num jogo eletrónico de estratégia, a área de influência de uma torre de defesa está limitada pelos pontos $(x, y)$ que cumprem a seguinte condição: o valor absoluto da sua abcissa mais o valor absoluto da sua ordenada deve ser menor ou igual a $4$, ou seja, $|x| + |y| \leq 4$.

a) Represente no plano cartesiano todos os pontos que formam a fronteira dessa região (onde $|x| + |y| = 4$). Que figura geométrica se obtém?

b) Verifique se os pontos $P(2, 2)$, $Q(-3, 2)$ e $R(0, -4)$ estão dentro, fora ou na fronteira da área de influência.

c) Calcule a área dessa região em unidades quadradas.

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Um biólogo mede a profundidade de um lago em diferentes pontos ao longo de uma linha reta que atravessa de uma margem à outra. A margem inicial está em $x=0$ e a margem final em $x=10$. A profundidade $y$ (em metros, expressa em valores negativos para indicar profundidade) segue a função $y = x^2 - 10x$.

a) Constrói uma tabela de valores para $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Representa os pontos no plano cartesiano e une-os com uma curva suave.

c) Em que ponto se atinge a profundidade máxima do lago e qual é esse valor?

d) O que representa o facto de em $x=0$ e $x=10$ o valor de $y$ ser $0$?

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Numa aula de design artístico, os alunos devem criar figuras por meio de simetrias. Desenha-se um triângulo cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(2, 5)$.

a) Represente o triângulo original.

b) Desenhe o triângulo simétrico em relação ao eixo $Y$. Escreva as coordenadas dos novos vértices $A'$, $B'$ e $C'$.

c) Desenhe o triângulo simétrico do original em relação à origem do referencial $O(0,0)$. Escreva as coordenadas destes novos vértices $A''$, $B''$ e $C''$.

d) Como mudaram os sinais das coordenadas em cada caso?

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Dois barcos, o Alfa e o Beta, deslocam-se pelo oceano. As suas posições no plano cartesiano (onde cada unidade do eixo vertical representa $1$ milha náutica) são dadas pelas seguintes funções em relação ao tempo $t$ (em horas):

• Barco Alfa: $y = 2t - 4$

• Barco Beta: $y = -t + 5$

Usa os eixos da figura (copia-os para o teu caderno) para resolver as alíneas.

a) Representa ambas as trajetórias nos mesmos eixos de coordenadas para valores de $t$ entre $0$ e $6$.

b) Em que ponto do mapa se cruzarão os dois barcos? Determina as coordenadas $(t, y)$ desse ponto visualmente no gráfico.

c) A que hora ($t$) acontecerá esse encontro?

Analisa os seguintes dois gráficos, $G_1$ e $G_2$, representados no mesmo sistema de eixos, e responde de forma fundamentada. O gráfico $G_1$ é a reta $y=0{,}5x+4$ e o gráfico $G_2$ é uma circunferência com centro na origem e raio $3$.

a) Quais deles representam uma função? Justifica a tua resposta usando o conceito de "unicidade de imagem".

b) Para os que sejam funções, indica se são crescentes ou decrescentes em todo o seu domínio.

c) Repara nos pontos de $G_2$ com $x=0$: que valores de $y$ lhes correspondem? O que concluis sobre se $G_2$ cumpre a unicidade de imagem? Indica também outro valor de $x$ diferente de $0$ para o qual aconteça o mesmo.