Exercícios: Função linear ou de proporcionalidade direta

Numa loja de doces, cada pacote de rebuçados custa $1,50 \text{ €}$. Queremos estudar a relação entre o número de pacotes que compramos ($x$) e o dinheiro total que pagamos ($y$).

Identifique:

• A variável independente.

• A variável dependente.

• A constante de proporcionalidade ($m$).

• A equação da função que relaciona ambas as grandezas.

Observe a seguinte tabela de valores que relaciona o tempo em que uma lâmpada LED fica acesa ($x$, em horas) com o consumo de energia ($y$, em watts-hora, Wh):

Tempo ($x$)	1	2	3	4
Consumo ($y$)	9	18	27	36

Indica se se trata de uma função de proporcionalidade direta, calcula a sua constante de proporcionalidade e escreve a sua equação.

Encontra o declive da seguinte função de proporcionalidade direta representada no gráfico e escreve a sua equação na forma $y = mx$.

Um estafeta de pizzas, de bicicleta, desloca-se a uma velocidade constante de $20 \text{ km/h}$.

• Escreva a função que relaciona a distância percorrida ($y$, em km) com o tempo decorrido ($x$, em horas).

• Quantos quilómetros terá ele percorrido após $3$ horas de trabalho?

Complete a seguinte tabela sabendo que a relação entre $x$ e $y$ é de proporcionalidade direta com uma constante $m = 4$. Depois, represente os pontos num plano cartesiano.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Indique justificadamente qual dos três gráficos a seguir corresponde a uma função de proporcionalidade direta.

Dada a função de proporcionalidade direta $y = -3x$:

• Indique o valor do seu declive.

• A função é crescente ou decrescente?

• Calcule o valor da imagem para $x = 2$ e para $x = -1$.

Numa receita de culinária indica-se que para cada $100 \text{ g}$ de farinha se devem usar $2$ ovos.

• Calcule a constante de proporcionalidade que relaciona o número de ovos ($y$) com a quantidade de farinha ($x$, medida em centenas de gramas).

• Escreva a equação da função.

• Se tivermos um pacote de $500 \text{ g}$ de farinha, de quantos ovos precisaremos de acordo com esta função?

Numa campanha de reciclagem, uma ONG determinou que, por cada quilograma de embalagens de plástico PET que se recicla, se poupam $1,5$ litros de petróleo no fabrico de novos produtos.

1. a) Escreve a função que relaciona os quilogramas de plástico reciclados ($x$) com os litros de petróleo poupados ($y$).

1. b) Cria uma tabela de valores para $0, 5, 10$ e $20$ kg de plástico.

1. c) Quantos litros de petróleo se terão poupado se a escola conseguir reciclar $120$ kg de embalagens?

Três amigos comparam os seus planos de dados móveis para ver quantos "Gigas" consomem ao ver vídeos em alta definição. Sabe-se que o consumo é proporcional ao tempo de visualização.

• Plano A: $y = 0,8x$

• Plano B: $y = 1,2x$

• Plano C: $y = 0,5x$

Onde $x$ é o tempo em horas e $y$ são os Gigas consumidos.

1. a) Qual dos três planos consome dados mais rapidamente? Justifique a sua resposta usando o conceito de declive.
2. b) Se um utilizador tem um limite de $6$ GB diários, quantas horas de vídeo poderá ver com o Plano B antes de esgotar os seus dados?

Observa o gráfico seguinte, que representa duas funções de proporcionalidade direta, $r$ e $s$. Mostram os pontos obtidos por dois jogadores num videojogo ao longo do tempo (o tempo está em minutos).

1. a) Encontra a equação da reta $r$ sabendo que passa pelo ponto $P(2, 10)$.

1. b) Encontra a equação da reta $s$ sabendo que passa pelo ponto $Q(4, 8)$.

1. c) O que representa o declive neste contexto?

Numa loja de aplicações, a compra de um lote de "moedas virtuais" para um jogo segue uma função linear. Sabemos que $500$ moedas custam $4,50$ €.

1. a) Calcule a constante de proporcionalidade (preço por moeda).
2. b) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o número de moedas ($x$) com o custo em euros ($y$).
3. c) Se um adolescente tem $15$ € poupados, quantas moedas poderá comprar, no máximo?

Encontra a equação da função de proporcionalidade direta $y = mx$ cujo gráfico passa pelo ponto $A(-3, 12)$. Representa a função graficamente, indicando pelo menos outros dois pontos pelos quais a reta passa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um drone de entregas voa a uma velocidade constante de $12$ metros por segundo ($\text{m/s}$).

1. a) Completa a seguinte tabela que relaciona o tempo de voo ($x$) com a distância percorrida ($y$):

Tempo ($\text{s}$)	$1$	$5$	$10$	$30$
Distância ($\text{m}$)	$12$

1. b) Representa graficamente a função num referencial cartesiano (tempo no eixo horizontal e distância no eixo vertical).

1. c) Indica qual é o declive e explica que significado físico tem neste problema.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Indique, de forma justificada, quais das seguintes tabelas correspondem a uma função de proporcionalidade direta. Para aquelas que forem, calcule a sua constante de proporcionalidade ($m$) e escreva a sua equação.

Tabela 1:

$x$	$2$	$4$	$6$
$y$	$10$	$20$	$30$

Tabela 2:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$7$	$9$

Tabela 3:

$x$	$-1$	$-3$	$-5$
$y$	$4$	$12$	$20$

Uma empresa de impressão 3D cobra das escolas apenas pelo material utilizado. Sabe-se que $100$ gramas de filamento PLA custam $3,50$ €.

1. a) Determine a função que calcula o custo ($y$) em função dos gramas de material ($x$).
2. b) É uma função crescente ou decrescente? Porquê?
3. c) Se a peça que queres imprimir para o teu projeto de Tecnologia pesa $45$ gramas, quanto custará a impressão?

Numa plataforma de streaming de videojogos, a qualidade da transmissão consome dados de forma proporcional ao tempo de utilização. Um utilizador verificou que, após jogar durante $15$ minutos, o seu router indica um consumo de $1,2$ Gigabytes (GB).

• Determine a constante de proporcionalidade $m$ que relaciona o consumo de dados ($y$, em GB) com o tempo ($x$, em minutos).

• Escreva a equação da função linear que modela esta situação.

• Se o utilizador tem um limite diário de $5$ GB antes de a sua velocidade ser reduzida, quantos minutos e segundos exatos pode jogar mantendo esta qualidade?

Um laboratório de robótica está a testar um protótipo que se desloca em linha reta a velocidade constante. Sabe-se que a função que relaciona a distância percorrida ($d$) com o tempo ($t$) é uma função de proporcionalidade direta. No instante $t = 4,5$ segundos, o robô percorreu exatamente $11,25$ metros.

• Calcule o declive da função e indique qual a grandeza física que ele representa neste contexto.

• Escreva a expressão algébrica da função.

• Se o robô deve percorrer uma pista de $0,05$ quilómetros, quanto tempo demorará? Exprima o resultado em segundos.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o volume de água ($V$) num recipiente cilíndrico e a altura ($h$) atingida pelo nível da água. Devido à forma do recipiente, esta relação é de proporcionalidade direta.

• A partir dos pontos observados no gráfico, determine a constante de proporcionalidade.

• Escreva a equação que permite calcular o volume em função da altura.

• Que altura atingirá a água se despejarmos $7$ litros no recipiente?

Numa oficina de design, utiliza-se uma máquina de corte a laser que consome energia de forma proporcional à área do material cortado. Observou-se que, para cortar $4$ peças quadradas de $15$ cm de lado cada uma, a máquina consome $180$ Joules (J).

• Calcule o consumo de energia por cada centímetro quadrado cortado ($cm^2$).

• Defina a função linear que relaciona o consumo total de energia ($y$) com a superfície cortada ($x$).

• Quanta energia consumiria a máquina para cortar um único painel retangular de $0,4$ metros de comprimento por $25$ centímetros de largura?

Dois amigos, Beatriz e Marcos, estão a poupar para uma viagem. Beatriz poupa a um ritmo constante que se expressa através da função $f(x) = 12,5x$, onde $x$ é o número de semanas e $y$ o dinheiro poupado em euros. Marcos não sabe a sua função, mas sabe que na semana $8$ tinha poupado exatamente $92$ euros e que a sua poupança também é proporcional ao tempo.

1. a) Determina a equação da função de Marcos, $g(x)$.

1. b) Representa ambas as funções nos mesmos eixos coordenados (esboço).

1. c) Qual dos dois tem um "declive" maior? Interpreta este resultado em termos de quem poupa mais depressa.

1. d) Se a viagem custar $300$ euros, quantas semanas de diferença haverá entre o momento em que Beatriz conseguir o dinheiro e o momento em que o conseguir Marcos?

Um mapa à escala mostra uma relação de proporcionalidade direta entre a distância medida no papel ($x$, em milímetros) e a distância real no terreno ($y$, em quilómetros). Sabemos que uma distância real de $150$ km é representada no mapa por um segmento de $60$ mm.

• Determine a equação da função linear que permite converter mm do mapa em km reais.

• Qual é a distância real que separa duas cidades se no mapa estão a $14,4$ centímetros? (Cuidado com as unidades).

• Se quisermos representar um trilho de $12\,500$ metros, quantos milímetros medirá no mapa?

A lei de Hooke estabelece que a deformação de uma mola é diretamente proporcional à força aplicada sobre ela. Uma mola mede $12$ cm em repouso. Ao pendurar um peso de $2$ kg, a mola passa a medir $15$ cm.

• Atenção: A função de proporcionalidade relaciona a força (ou massa, neste caso) com a deformação (o quanto aumenta o comprimento), não com o comprimento total. Calcule a deformação produzida pelos $2$ kg.

• Determine a constante de proporcionalidade $m$ ($cm/kg$).

• Escreva a função $y = mx$ que relaciona a deformação $y$ com a massa $x$.

• Qual será o comprimento total da mola se pendurarmos um peso de $5,4$ kg?

Uma empresa de reciclagem de plástico estima que o peso do polietileno obtido ($y$) é diretamente proporcional ao número de garrafas vazias processadas ($x$). Ao processar um contentor com $120$ garrafas, são obtidos $3,3$ kg de material reciclado.

• Encontra a constante de proporcionalidade e explica o seu significado.

• Se a empresa receber uma encomenda para fabricar peças que exigem $55$ kg de plástico, quantas garrafas precisará de reciclar?

• Se por cada garrafa reciclada a empresa receber um subsídio de $0,015$ €, escreve a função linear que relaciona o dinheiro recebido ($D$) com o peso do plástico obtido ($y$). (Nota: deverás combinar a relação garrafas-peso com a relação garrafas-dinheiro).