Exercícios: Gráfico de uma função

No mapa de coordenadas a seguir, foram marcados os pontos onde se encontram vários objetos num jogo de aventura. Indique as coordenadas cartesianas de cada um dos elementos: o Baú ($C$), a Chave ($L$), a Poção ($P$) e o Escudo ($E$).

Para que um gráfico represente uma função, a cada valor da variável independente $x$ deve corresponder um único valor da variável dependente $y$. Observe os seguintes gráficos e justifique qual deles não é uma função.

Uma plataforma de streaming cobra uma taxa fixa de $5\ €$ por mês mais $2\ €$ por cada filme de lançamento que alugares.

1. a) Indica qual é a variável independente e qual é a dependente.
2. b) Se chamarmos $x$ ao número de filmes e $y$ ao custo total, completa a seguinte tabela de valores:

Filmes ($x$)	0	1	2	3
Custo ($y$)

Represente num sistema de eixos coordenados os pontos da seguinte tabela, que relaciona o tempo decorrido (em segundos) e a distância percorrida (em metros) por uma trotinete elétrica que circula a velocidade constante. Faz sentido unir os pontos com uma linha contínua?

Tempo ($s$)	1	2	3	4	5
Distância ($m$)	4	8	12	16	20

O gráfico seguinte mostra a temperatura de uma lata de refrigerante a partir do momento em que é retirada do frigorífico e deixada sobre a mesa da cozinha.

1. a) Qual era a temperatura do refrigerante no momento em que foi retirado ($t = 0$)?
2. b) Qual é a temperatura após $20$ minutos?
3. c) A função é crescente ou decrescente? O que significa isso no contexto do problema?

Um drone levanta voo do chão, sobe até uma altura determinada, mantém-se estável para tirar algumas fotografias e depois desce até aterrar novamente. Observe o gráfico e responda:

1. a) A que altura máxima chegou o drone?
2. b) Quanto tempo esteve o drone a voar a essa altura máxima?
3. c) Em que intervalo de tempo estava o drone a descer?

Decida se as seguintes funções são contínuas ou descontínuas, justificando brevemente a sua resposta:

1. a) A profundidade de uma piscina de acordo com a distância a que nos encontramos do bordo (supondo que o fundo tem rampa).
2. b) O número de espectadores num espetáculo de música de acordo com a hora do dia.
3. c) O custo de uma chamada telefónica cobrada por minutos completos iniciados.

Observe o gráfico que representa a velocidade de um ciclista durante os primeiros $10$ minutos do seu treino.

1. a) Identifique os intervalos de tempo em que a função é crescente, decrescente ou constante.
2. b) Qual foi a velocidade máxima atingida?
3. c) Em que minuto ele começou a travar até parar?

O gráfico seguinte mostra a evolução da bateria do telemóvel da Leonor desde que sai de casa de manhã até que regressa à tarde. Observa o gráfico e responde às seguintes perguntas:

1. a) Que percentagem de bateria tinha ao sair de casa? E 6 horas depois de ter saído?

1. b) Indica os intervalos de tempo em que a função é crescente e explica o que achas que aconteceu nesse período.

1. c) Em que momento atinge pela primeira vez o seu valor mínimo e durante quanto tempo se mantém nesse valor?

1. d) Qual é o valor máximo e o valor mínimo que a função atinge?

Analisa os três gráficos seguintes. Indica justificadamente qual deles não representa uma função e explica porquê com base na definição de função que estudaste.

A função $f(t)$ representa a profundidade (em metros) a que se encontra um drone submarino de exploração em função do tempo (em minutos) desde que mergulha. O seu gráfico é o seguinte:

1. a) Determina o domínio e o contradomínio da função a partir do gráfico.

1. b) Durante quanto tempo esteve o drone a uma profundidade constante de $4$ metros?

1. c) Em que instantes de tempo se encontra o drone a $2$ metros de profundidade?

Um técnico de som mede o nível de ruído (em decibéis, dB) durante o ensaio de uma banda de música. O gráfico mostra os níveis registados num período de $10$ minutos.

1. a) Indique os intervalos de tempo nos quais o ruído aumenta (função crescente).
2. b) Indique os máximos relativos e os mínimos relativos da função. O que significam esses pontos no contexto do ensaio?
3. c) Trata-se de uma função contínua? Justifique a sua resposta.

A trajetória de uma bola de basquetebol ao ser lançada é dada pelo gráfico de uma função que relaciona a altura (em metros) com a distância horizontal a partir do jogador (em metros).

1. a) Determina os pontos de interseção da função com os eixos $X$ e $Y$.
2. b) Qual é a altura da bola no momento do lançamento ($x=0$)?
3. c) Se o cesto está situado a uma altura de $3$ metros, a que distância horizontal do jogador se encontra o cesto se a bola entra exatamente nesse ponto?

Um videoclube online oferece uma tarifa de aluguer de filmes na qual os três primeiros dias custam $4$ € no total, e a partir do quarto dia o preço sobe $1,5$ € por cada dia adicional de atraso.

1. a) Complete a seguinte tabela de valores:

Dias ($x$)	1	2	3	4	5	6
Preço ($y$)

1. b) Represente graficamente a função.
2. c) É uma função contínua ou descontínua? Explique se faz sentido unir os pontos do gráfico com uma linha contínua neste contexto real.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dois amigos, João e Beatriz, estão a poupar para comprar uma consola. O gráfico mostra o dinheiro que cada um tem no final de cada semana.

1. a) Quem começou com mais dinheiro poupado?
2. b) Em que semana igualam as suas poupanças? Quanto dinheiro têm nesse momento?
3. c) Indique em que períodos a Beatriz poupa mais depressa do que o João (onde o seu gráfico é mais "inclinado").
4. d) Qual é o domínio de ambas as funções de acordo com o gráfico?

Aquece-se um recipiente com água e regista-se a sua temperatura a cada minuto. Ao chegar aos $100^{\circ}C$, o lume mantém-se constante durante $3$ minutos e depois apaga-se, deixando que a água arrefeça lentamente.

1. a) Desenha um gráfico qualitativo que represente esta situação (tempo no eixo $X$, temperatura no eixo $Y$).

1. b) No teu gráfico, identifica a zona de crescimento, a zona de função constante e a zona de decrescimento.

1. c) Se a temperatura ambiente for de $20^{\circ}C$, para que valor tenderá a temperatura da água quando passar muito tempo?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um criador de conteúdos da Twitch analisa a evolução dos seus subscritores durante um evento especial de 10 horas. A função que descreve o número de subscritores $S$ em função do tempo $t$ (em horas) segue este comportamento:

• Durante as 2 primeiras horas, o crescimento é constante e linear, passando de 100 a 500 subscritores.

• Entre a hora 2 e a hora 5, o número de subscritores mantém-se estável.

• A partir da hora 5, devido a um "raid" de outro canal, os subscritores aumentam seguindo a expressão $S(t) = 100t$ até à hora 8.

• Nas últimas 2 horas, o canal perde subscritores de forma constante até terminar com 600.

Representa o gráfico da função (coloca o tempo $t$ no eixo horizontal, de 0 a 10 horas, e o número de subscritores $S$ no eixo vertical), determina o domínio e o contradomínio neste contexto, e identifica os intervalos de crescimento e decrescimento.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Uma empresa de aluguer de trotinetes elétricas oferece uma tarifa para turistas. O custo $y$ em euros depende do tempo $x$ em minutos. O gráfico da função é descontínuo porque a empresa cobra por períodos de 30 minutos completos ou fração. Cada tempo $x$ pertence a um único período, e o extremo direito de cada período está incluído nele:

• Se $0 < x \le 30$ minutos: 5 € (tarifa fixa de desbloqueio e uso inicial).

• Se $30 < x \le 60$ minutos: 8 €.

• Se $60 < x \le 90$ minutos: 11 €.

• E assim sucessivamente, subindo 3 € em cada período, até um máximo de 3 horas (180 min).

Por exemplo, 30 minutos exatos custam 5 €, mas 31 minutos custam 8 €.

1. a) Desenha o gráfico "em escada" da função para $0 < x \le 180$. Usa pontos fechados e abertos nos saltos para indicar que valor se toma em cada extremo.

1. b) Indica os valores de $x$ em que o gráfico é descontínuo.

1. c) Calcula quanto pagaria uma pessoa que utilizasse a trotinete durante 105 minutos.

1. d) Esta relação é uma função? Justifica se a um valor de tempo podem corresponder dois preços diferentes.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um drone de vigilância realiza um voo de reconhecimento. O gráfico mostra a sua altura $h$ (em metros) em função do tempo $t$ (em minutos). O drone levanta voo, sobe até 40 m, desloca-se horizontalmente durante algum tempo, volta a subir até 60 m para evitar um obstáculo, desce rapidamente para 20 m para observar algo em pormenor e, por fim, aterra.

A partir do gráfico que tu próprio deves esboçar com estes dados:

1. a) Qual é a taxa de variação (declive) no troço de descida rápida, se esta ocorre entre o minuto 10 e o 12?
2. b) Indica o intervalo de tempo em que a função é constante.
3. c) Se o drone tem uma autonomia de 15 minutos, qual é o domínio real da função, se a aterragem termina exatamente nesse limite?

Estuda-se a temperatura de uma reação química num laboratório. A temperatura $T$ (em $^\circ C$) segue a função $T(x) = |x - 5| + 10$, onde $x$ é o tempo em minutos a partir do momento em que se adiciona um reagente.

1. a) Construa uma tabela de valores para $x$ de 0 até 10 minutos.
2. b) Represente o gráfico. Vais notar que tem formato de "V".
3. c) Em que minuto se atinge a temperatura mínima? Qual é esse valor?
4. d) Determine o intervalo onde a função é decrescente e explique o que significa fisicamente no experimento.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O gráfico seguinte representa a distância a que um corredor de obstáculos se encontra da linha de meta durante uma corrida de 400 metros.

Analisa o gráfico e responde:

1. a) Em que momentos o corredor para ou cai? Como é que isso se reflete no gráfico?
2. b) A velocidade do corredor é constante durante toda a corrida? Compara os declives dos segmentos de reta.
3. c) Qual é o significado do ponto de interseção com o eixo $Y$ e do ponto de interseção com o eixo $X$?

Um reservatório cilíndrico de 1000 litros é preenchido com uma mangueira que fornece um caudal constante de 50 litros por minuto. No entanto, o reservatório tem uma fuga na base que perde 10 litros por minuto.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o volume de água $V$ (em litros) com o tempo $t$ (em minutos), supondo que no início há 100 litros.
2. b) Represente o gráfico. Que tipo de função é (linear ou afim)?
3. c) Quanto tempo demorará a encher completamente? Indique este valor como o limite do domínio da função nesta situação prática.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observa os seguintes quatro gráficos. Um deles representa a altura de uma bola que se deixa cair de certa altura e ressalta no chão, outro o enchimento com água, a caudal constante, de um copo com forma de cone (com o vértice em baixo), outro a velocidade de um carro que trava perante um semáforo até parar, e o último não é uma função. Nas situações reais, $x$ é o tempo.

1. a) Identifica cada um deles justificando a tua resposta com base na forma da curva (crescimento, curvatura, continuidade).

1. b) Explica por que razão um dos gráficos não pode ser considerado uma função.

Dois irmãos, Inês e João, saem de casa para ir à escola que fica a 1 km.

• O João sai às 8:00 e caminha a velocidade constante, demorando 20 minutos a chegar.

• A Inês sai 5 minutos mais tarde, corre durante os primeiros 500 metros (demora 4 minutos) e depois caminha o restante à mesma velocidade que o João.

1. a) Represente num mesmo gráfico a distância a casa de ambos em função do tempo decorrido desde as 8:00.
2. b) A que horas e a que distância de casa a Inês ultrapassa o João? Encontre o ponto de interseção dos dois gráficos.
3. c) Quem chega primeiro à escola e com que diferença de tempo?