Exercícios: Expressão algébrica de uma função

Relacione cada uma das seguintes frases com a sua expressão algébrica correspondente, em que $x$ representa um número qualquer e $y$ o resultado da função:

• a) O resultado é o triplo de um número.

• b) O resultado é o dobro de um número mais cinco unidades.

• c) O resultado é a metade de um número.

• d) O resultado é dez subtraído de um número.

• $y = \frac{x}{2}$

• $y = 10 - x$

• $y = 3x$

• $y = 2x + 5$

Num videojogo de telemóvel, cada "baú de diamantes" custa $1,50$ €. Se quisermos comprar $x$ baús, a função que nos dá o preço total a pagar é $y = 1,5x$. A figura mostra o seu gráfico.

Calcula quanto dinheiro gastaríamos se decidíssemos comprar:

1. a) $2$ baús.

1. b) $5$ baús.

1. c) $10$ baús.

Determine o valor da variável dependente $y$ para os valores da variável independente $x$ indicados na seguinte função:

$y = 4x - 3$

• a) Para $x = 0$

• b) Para $x = 1$

• c) Para $x = 2$

• d) Para $x = 5$

Queremos cercar com uma corda elástica vários cartazes quadrados para uma feira escolar. A relação entre o comprimento do lado do quadrado ($x$) e o perímetro total de corda necessário ($y$) é dada por uma função.

• a) Escreva a expressão algébrica dessa função.

• b) Se o lado do quadrado medir $12$ cm, de quanta corda precisaremos?

Copia e completa no teu caderno a seguinte tabela de valores para a função cuja expressão algébrica é $y = -2x + 1$:

Um técnico de manutenção de computadores cobra $20$ € pela taxa de deslocação ao domicílio e $15$ € por cada hora de trabalho.

• a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo total da fatura ($y$) com o número de horas trabalhadas ($x$).

• b) Quanto custará uma reparação que durou $3$ horas?

Observa a seguinte tabela de valores que relaciona o número de bilhetes para um espetáculo e o preço total. Encontra a expressão algébrica que representa esta função:

Dada a função $f(x) = x^2 + 1$:

• a) Calcule a imagem de $x = 3$. Ou seja, calcule $f(3)$.

• b) Calcule a imagem de $x = -2$. Ou seja, calcule $f(-2)$.

• c) Calcule a imagem de $x = 0$. Ou seja, calcule $f(0)$.

Uma plataforma de música em streaming oferece um plano mensal que custa $12\,€$ de quota fixa e, além disso, cobra $0,50\,€$ por cada canção que o utilizador decida descarregar para ouvir sem ligação. Na figura podes ver o gráfico desta situação.

a) Escreve a expressão algébrica da função que relaciona o número de canções descarregadas, $x$, com o custo total mensal, $y$.

b) Indica que tipo de função é (linear, afim ou de proporcionalidade inversa).

c) Se num mês um utilizador paga um total de $24,50\,€$, quantas canções descarregou?

Determine a expressão algébrica da função afim cujo gráfico passa pelos pontos $A(1, 4)$ e $B(3, 10)$. Explique passo a passo como calcula o declive ($m$) e a ordenada na origem ($n$).

Num laboratório de física, está a observar-se como varia a temperatura de um líquido à medida que é aquecido. No início da experiência, o líquido está a $15^\circ C$ e a sua temperatura aumenta a uma taxa constante de $3^\circ C$ por cada minuto que passa.

a) Determine a expressão algébrica que permite calcular a temperatura $T$ em função do tempo $t$ (em minutos).

b) Que temperatura atingirá o líquido após um quarto de hora de aquecimento?

c) Quanto tempo deve passar para que o líquido atinja $60^\circ C$?

Observe a seguinte tabela de valores que relaciona duas grandezas, $x$ e $y$:

a) Verifique se se trata de uma função de proporcionalidade inversa.

b) Escreva a sua expressão algébrica.

c) Calcule o valor da imagem para $x = 10$.

Um jardineiro cobra uma quantia fixa de $20€$ pela taxa de deslocação e $15€$ por cada hora de trabalho. O seu concorrente não cobra taxa de deslocação, mas a sua tarifa é de $22€$ por hora.

a) Escreve a expressão algébrica do custo do serviço de cada jardineiro ($y_1$ e $y_2$) em função das horas trabalhadas ($x$).

b) Se precisarmos de um trabalho que durará exatamente $4$ horas, qual dos dois jardineiros fica mais económico?

c) Existe algum número de horas de trabalho para o qual ambos cobram o mesmo valor?

Dada a função cuja expressão algébrica é $f(x) = \frac{2x - 6}{3}$:

a) Calcula os valores de $f(0)$, $f(3)$ e $f(-3)$.

b) Determina o ponto de interseção da função com o eixo das abcissas (eixo $X$).

c) Representa os pontos obtidos num sistema de coordenadas como o da figura (cada marca é uma unidade) e une-os para desenhar a função.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Pretende-se construir uma moldura retangular para um pôster utilizando uma ripa de madeira de $120 cm$ de comprimento total. Se chamarmos $x$ ao comprimento da base do retângulo:

a) Escreve a expressão algébrica que relaciona a altura do retângulo ($y$) com a sua base ($x$). Dica: lembra-te de que o perímetro é a soma de todos os lados.

b) Escreve a expressão algébrica que permite calcular a área ($A$) do retângulo em função da sua base ($x$).

c) Se a base medir $25 cm$, qual será a área da moldura?

Identifique qual das seguintes expressões corresponde a cada um dos gráficos descritos a seguir:

1. $y = 3x$

2. $y = -2x + 4$

3. $y = 5$

4. $y = \frac{4}{x}$

a) Uma reta horizontal que passa pelo ponto $(0, 5)$.

b) Uma função de proporcionalidade direta cujo gráfico passa pelo ponto $(2, 6)$.

c) Uma função afim decrescente cujo gráfico interseta o eixo $Y$ no ponto $(0, 4)$.

d) Uma hipérbole que passa pelo ponto $(1, 4)$.

Uma plataforma de streaming de videojogos oferece dois planos mensais para os criadores de conteúdo. Com o Plano Pro, o criador recebe uma quantia fixa de $15\ €$ por mês e, além disso, $0,20\ €$ por cada novo subscritor. Com o Plano Partner não há quantia fixa; pelo contrário, a plataforma desconta $5\ €$ por mês por despesas de gestão e o criador recebe $0,35\ €$ por cada novo subscritor.

1. a) Escreve a expressão algébrica da função que representa os rendimentos líquidos mensais para cada plano, sendo $x$ o número de subscritores e $y$ o dinheiro total recebido (em euros).

1. b) Se um streamer estima que conseguirá entre $60$ e $70$ subscritores este mês, qual plano lhe é mais vantajoso? Justifica a tua resposta calculando os valores de $y$ de cada plano para $x=60$ e para $x=70$ e comparando-os.

Pretende-se projetar um cartaz retangular cuja área total seja sempre de $36\ m^2$.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que permite calcular a altura ($y$) do cartaz em função do comprimento da sua base ($x$).
2. b) Se, por norma, o cartaz não pode ter uma base menor que $2\ metros$ nem maior que $12\ metros$, qual é o domínio dessa função neste contexto real?
3. c) Que tipo de função é? Explique o que acontece à altura à medida que a base se torna extremamente grande.

Um drone de vigilância descola da cobertura de um edifício que está a uma certa altura acima do nível do mar. Após $4\ segundos$ de voo vertical constante, o drone encontra-se a $52\ metros$ de altura. Aos $10\ segundos$ de voo, atinge os $88\ metros$.

1. a) Determine a expressão algébrica da função que relaciona o tempo de voo ($x$, em segundos) com a altura do drone ($y$, em metros).
2. b) A que altura se encontra a cobertura do edifício?
3. c) Se o drone tem um teto de voo máximo de $150\ metros$, utilize a expressão algébrica para calcular quantos segundos ele pode continuar a subir antes de atingir esse limite.

Uma empresa de entregas cobra pelo envio de encomendas uma quantia fixa pela recolha mais um custo por cada quilómetro de distância. Sabemos que um envio para uma cidade situada a $120\ km$ custa $15,40\ €$, e um envio para outra cidade a $200\ km$ custa $21,80\ €$.

1. a) Determine o declive da função e indique o que ele significa neste contexto.
2. b) Encontre a expressão algébrica da função $y = f(x)$.
3. c) Quanto cobraria a empresa por uma encomenda entregue no mesmo ponto de recolha ($0\ km$)? Como se chama esse valor na função?

Num laboratório de física, está a estudar-se como varia a pressão de um gás ao alterar o volume do recipiente que o contém, mantendo a temperatura constante (Lei de Boyle). Observou-se que, quando o volume é de $2\ litros$, a pressão é de $6\ atmósferas$.

1. a) Sabendo que a relação é de proporcionalidade inversa, escreva a expressão algébrica que relaciona a pressão ($y$) com o volume ($x$).
2. b) Calcule, por meio da expressão algébrica, que volume o recipiente deveria ter para que a pressão fosse reduzida a $1,5\ atmósferas$.
3. c) Represente graficamente a função para valores de volume entre $1$ e $12\ litros$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dois depósitos de água idênticos, com $500$ litros de capacidade, encontram-se em situações diferentes. O depósito A está cheio e esvazia-se a um ritmo constante de $8$ litros por minuto. O depósito B contém $120$ litros e está a encher a um ritmo constante de $12$ litros por minuto.

Chama $t$ ao tempo em minutos, contado desde o momento em que começam a esvaziar-se e a encher-se, e $y$ ao volume de água em litros.

1. a) Escreve a expressão algébrica da função volume-tempo de cada depósito ($y_A$ e $y_B$).

1. b) Utilizando as expressões anteriores, calcula o instante exato em que ambos os depósitos terão a mesma quantidade de água.

1. c) Que volume de água haverá em cada depósito nesse instante?

Determine a expressão algébrica de uma função afim cujo gráfico é paralelo à reta que passa pelos pontos $P(1, 5)$ e $Q(3, 1)$, e que também interseta o eixo das ordenadas ($Y$) no mesmo ponto que a função $g(x) = 4x - 7$.

1. a) Calcule primeiro o declive da reta que passa por $P$ e $Q$.
2. b) Identifique a ordenada na origem de $g(x)$.
3. c) Escreva a expressão final da função pedida.

Um grupo de alunos do 8.º ano quer alugar um autocarro para uma excursão de fim de ano que custa $840\ €$.

1. a) Escreve a expressão algébrica que relaciona o preço que cada aluno deve pagar ($y$) em função do número de alunos que confirmarem a participação ($x$).
2. b) Inicialmente inscrevem-se $30$ alunos, mas uma semana antes $5$ cancelam a inscrição. Utiliza a expressão algébrica para calcular quanto aumenta o preço para os alunos que de facto vão à excursão.
3. c) Se os alunos decidirem que não podem pagar mais de $35\ €$ cada um, qual é o número mínimo de pessoas que devem ir para que a viagem se realize? Explica como obtiveste a resposta a partir da expressão algébrica.