Exercícios: Representação dos dados

Numa turma do 8.º ano foi realizado um inquérito para saber qual é a rede social preferida dos alunos. Foram obtidos os seguintes resultados: Instagram, TikTok, TikTok, YouTube, Instagram, TikTok, YouTube, Instagram, Instagram, TikTok, YouTube, TikTok, Instagram, YouTube, Instagram.

Indica qual é a população deste estudo, qual é o indivíduo e de que tipo de variável estatística se trata.

Observe o seguinte gráfico de barras que representa o desporto favorito de um grupo de adolescentes de um clube desportivo:

A partir do gráfico, responda:

1. a) Quantas pessoas preferem o basquetebol?
2. b) Qual é o desporto menos praticado neste grupo?
3. c) Quantas pessoas foram entrevistadas no total?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi perguntado aos alunos de uma turma sobre o número de irmãos que possuem, obtendo-se os seguintes dados:

$1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2$

Construa uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$) e a frequência relativa ($f_i$).

Para representar os resultados de um inquérito sobre o sabor de gelado preferido num gráfico circular, precisamos de calcular os ângulos de cada setor. Se sabemos que $10$ pessoas de um total de $40$ gostam de chocolate, qual a amplitude em graus ($^\circ$) do setor circular correspondente ao chocolate?

O pictograma a seguir mostra o número de árvores plantadas pelos alunos de uma escola durante quatro anos. Se cada símbolo representa $5$ árvores, responda às perguntas:

1. a) Quantas árvores foram plantadas no ano $2021$?
2. b) Em que ano foram plantadas exatamente $15$ árvores?
3. c) Qual é o número total de árvores plantadas ao longo dos quatro anos?

Foi registado o tempo (em minutos) que $25$ alunos demoram a chegar à escola a partir da sua casa. Os dados foram agrupados na seguinte tabela de classes:

Represente estes dados por meio de um histograma. (Lembre-se de colocar as classes no eixo horizontal e as frequências no vertical).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O seguinte gráfico de linhas mostra a evolução da temperatura máxima numa cidade durante a primeira semana de maio:

Observando o gráfico:

1. a) Em que dia da semana foi registada a temperatura máxima mais alta?
2. b) Entre quais dois dias consecutivos houve uma maior descida de temperatura?
3. c) Qual era a temperatura máxima na segunda-feira?

Uma empresa de videojogos quer saber quantas horas por semana os jovens de $12$ a $14$ anos jogam. Foram entrevistados $100$ jovens escolhidos ao acaso de diferentes escolas de Portugal.

Indique neste caso:

1. a) Qual é a população?
2. b) Qual é a amostra?
3. c) Qual é o indivíduo?
4. d) É uma variável qualitativa ou quantitativa?

Erro alheio. A Alba realiza um inquérito aos $40$ alunos da sua turma sobre a sua atividade extracurricular preferida e obtém: Basquetebol ($10$), Teatro ($8$), Música ($14$) e Robótica ($8$). Ao preparar um gráfico circular no seu caderno, escreve o seguinte:

«Para o setor de Basquetebol: como são $10$ pessoas de um total de $40$, divido $40$ por $10$, o que dá $4$, pelo que o ângulo que devo desenhar é de $4^\circ$. Além disso, para apresentar os resultados, unirei as partes superiores das barras com uma linha contínua porque assim se percebe melhor como evolui a preferência de uma atividade para a outra».

1. a) Encontra e explica os dois erros concetuais cometidos pela Alba: um no cálculo do ângulo e outro na escolha do gráfico de linhas para este tipo de variável.
2. b) Corrige as suas operações e calcula o ângulo central exato que corresponde no gráfico circular ao «Basquetebol» e à «Música».
3. c) Explica que gráfico (barras separadas ou histograma de barras juntas) é o adequado para mostrar estes dados e por que razão não se devem juntar as barras neste caso.

Escolhe o método. Um grupo de trabalho do 2.º de ESO deve selecionar o tipo de gráfico mais adequado para apresentar três estudos estatísticos no jornal escolar:

1. A temperatura exterior registada no recreio da escola a cada duas horas ao longo de um dia de aulas (das 08:00 às 18:00).

2. A altura exata de $80$ alunos agrupada nos intervalos $[140, 150)$, $[150, 160)$, $[160, 170)$, $[170, 180)$ e $[180, 190]$ (em centímetros).

3. O número de irmãos ($0$, $1$, $2$, $3$ ou mais) de uma amostra de $50$ famílias.

1. a) Para cada uma das três situações, determina qual das seguintes opções é a mais conveniente: gráfico de barras separadas, histograma de barras contíguas ou gráfico de linhas temporal.
2. b) Justifica cada escolha tendo em conta se a variável é quantitativa discreta, contínua agrupada em intervalos ou se descreve uma evolução ao longo do tempo.
3. c) Se na situação 2 desenhasses barras separadas com espaços entre elas em vez de um histograma, que mensagem falsa estarias a transmitir sobre os valores intermédios da altura?

Num estudo sobre o uso de redes sociais, numa escola com $480$ alunos adolescentes perguntou-se a $40$ deles, escolhidos ao acaso, qual é a sua plataforma favorita. Os resultados obtidos são os seguintes:

• TikTok: $18$ pessoas.

• Instagram: $12$ pessoas.

• YouTube: $6$ pessoas.

• BeReal: $4$ pessoas.

1. a) Identifica a população, a amostra e o tipo de variável estatística.

1. b) Elabora uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$), a frequência relativa ($f_i$) e a percentagem ($\%$) de cada valor.

1. c) Representa os dados num diagrama de barras.

Foi registado o número de livros lidos pelos alunos de uma turma do 8.º ano durante o primeiro período. Os dados são:

$1, 2, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 1, 0, 5, 2, 1, 2, 1$.

1. a) Elabore a tabela de frequências absolutas e absolutas acumuladas ($N_i$).
2. b) Que percentagem de alunos leu $2$ livros ou menos?
3. c) Represente um polígono de frequências sobre o gráfico de barras das frequências absolutas.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma empresa de videojogos quer representar num gráfico circular o tipo de consola que os utilizadores de uma feira de jogos eletrónicos preferem. Os dados são:

• PlayStation: $45\%$

• Nintendo Switch: $30\%$

• Xbox: $15\%$

• PC: $10\%$

1. a) Calcule a amplitude correspondente a cada setor circular utilizando uma regra de três simples ou a fórmula da amplitude: $\alpha = \frac{360^\circ \cdot n_i}{N}$.
2. b) Desenhe, de forma aproximada, o gráfico circular utilizando os ângulos calculados.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi medida a altura (em cm) dos $20$ elementos de um clube de basquetebol juvenil. Por ser uma variável contínua, os dados foram agrupados nos seguintes intervalos:

$[160, 165), [165, 170), [170, 175), [175, 180), [180, 185]$.

As frequências absolutas são: $2, 5, 8, 3, 2$, respetivamente.

1. a) Indique as marcas de classe ($x_i$) de cada intervalo.
2. b) Represente os dados num histograma. Explique a diferença entre este gráfico e um gráfico de barras convencional.
3. c) Qual é o intervalo modal?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A câmara municipal de uma cidade quer sensibilizar para a reciclagem. Para isso, publicou um pictograma sobre o número de ecopontos instalados em quatro bairros diferentes.

Se cada símbolo de ♻️ equivale a $12$ ecopontos:

• Bairro A: ♻️♻️♻️♻️

• Bairro B: ♻️♻️♻️

• Bairro C: ♻️♻️♻️♻️♻️

• Bairro D: ♻️♻️

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas para o número de ecopontos em cada bairro.
2. b) Qual é o total de ecopontos instalados na cidade?
3. c) Represente esses mesmos dados por meio de um gráfico de barras para comparar ambos os métodos de visualização.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observe os dois gráficos seguintes que mostram a evolução da temperatura média de uma cidade durante uma manhã de primavera. Ambos representam os mesmos dados, mas foram desenhados com escalas diferentes no eixo vertical.

1. a) Explique por que razão o Gráfico B dá uma sensação de crescimento muito mais rápido do que o Gráfico A se os dados são idênticos.
2. b) Qual dos dois gráficos parece mais objetivo para informar a população? Justifique a sua resposta com base na escala do eixo das ordenadas.

Um climograma é um gráfico que combina um gráfico de barras (precipitações) e um gráfico de linhas (temperaturas). Observe os dados simplificados de um trimestre numa cidade do sul de Portugal:

• Janeiro: $10^\circ C$, $60\text{ mm}$

• Fevereiro: $12^\circ C$, $45\text{ mm}$

• Março: $15^\circ C$, $30\text{ mm}$

1. a) Desenhe o climograma situando os meses no eixo $X$, as precipitações no eixo $Y$ esquerdo (barras) e as temperaturas no eixo $Y$ direito (linha).
2. b) Analisando o gráfico, que tendência se observa na transição do inverno para a primavera?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi realizado um inquérito a $120$ pessoas sobre a sua atividade física semanal. Os resultados são apresentados nesta tabela incompleta:

1. a) Completa todos os campos da tabela, sabendo que o total de indivíduos ($N$) é $120$.
2. b) Representa os dados num gráfico circular.
3. c) Indica qual é a moda deste estudo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estima e verifica. Numa escola de Zaragoza realizou-se um inquérito a $120$ estudantes do 2.º de ESO sobre as horas semanais dedicadas à atividade física, obtendo-se a seguinte distribuição agrupada: $[0, 2)$ h: $18$ alunos; $[2, 4)$ h: $42$ alunos; $[4, 6)$ h: $39$ alunos; $[6, 8]$ h: $21$ alunos. Quer-se construir um gráfico circular para expor no mural de avisos.

1. a) Estima: Sem aplicar a fórmula nem usar calculadora, observa com atenção a frequência do intervalo $[2, 4)$ ($42$ alunos em $120$). Raciocina se o respetivo setor ocupará mais ou menos de um terço da circunferência ($120^\circ$) e se o ângulo resultante será agudo, reto ou obtuso. Escreve uma estimativa numérica aproximada do ângulo em graus, justificando a tua dedução.
2. b) Calcula: Determina a frequência relativa ($h_i$) do referido intervalo $[2, 4)$ e calcula com precisão o respetivo ângulo central aplicando a fórmula $\text{Ângulo} = h_i \cdot 360^\circ$.
3. c) Verifica: Compara o valor exato obtido com a tua estimativa inicial. A tua aproximação foi razoável? A que achas que se deveu a diferença, se existiu?
4. d) Calcula o ângulo central correspondente ao intervalo $[0, 2)$ e verifica se a soma dos quatro ângulos do estudo completaria com exatidão o círculo de $360^\circ$.

Modela. Uma cooperativa de olivicultores de Santarém publicou no seu boletim mensal um pictograma com a produção de azeite engarrafado durante as quatro semanas de dezembro. A legenda do pictograma estabelece que o ícone de um garrafão completo representa $4000\text{ litros}$. No gráfico aparecem desenhados os seguintes símbolos:

• Semana 1: $3$ garrafões completos.

• Semana 2: $5$ garrafões completos e um garrafão cortado exatamente a meio.

• Semana 3: $4$ garrafões completos e um garrafão do qual apenas se desenharam três quartos.

• Semana 4: $2$ garrafões completos e um quarto de garrafão.

1. a) Traduz a informação do pictograma para litros reais: calcula a quantidade de azeite engarrafado produzida em cada uma das quatro semanas e o total do mês.
2. b) A cooperativa quer substituir o pictograma por um gráfico de barras no seu relatório técnico oficial para que não haja dúvidas com os desenhos partidos. Descreve detalhadamente como deve ser construído esse gráfico (que variável ficará em cada eixo, se as barras devem estar juntas ou separadas e que escala vertical em litros sugeres para que a leitura seja clara).
3. c) Se na Semana 2 o ilustrador tivesse desenhado por descuido o garrafão partido como um terço em vez de meio garrafão, quantos litros de diferença teriam sido comunicados erroneamente ao público?

Um clube de e-sports realizou um estudo sobre as horas semanais que os seus $120$ sócios dedicam a treinar. Dispomos dos seguintes dados parciais da tabela de frequências, onde os dados foram agrupados em intervalos da mesma amplitude:

Completa a tabela de frequências e representa os dados utilizando um histograma e um polígono de frequências sobreposto. Indica que percentagem de sócios treina $10$ horas ou mais por semana.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Uma empresa de telecomunicações analisa a duração das baterias de dois modelos de smartphone, A e B, após um ano de utilização. Os resultados são apresentados no seguinte diagrama de caixa de bigodes (box-plot). Observa o gráfico e responde:

1. a) Qual é a mediana da duração para cada modelo?
2. b) Se um utilizador precisa que a bateria dure pelo menos $18$ horas, qual modelo tem uma proporção maior de dispositivos que cumprem esse requisito? Justifica a tua resposta usando os quartis.
3. c) Qual dos dois modelos apresenta uma distribuição mais dispersa no $50\%$ central dos dados?

Um influenciador quer mostrar o crescimento dos seus seguidores em duas redes sociais diferentes durante o último semestre. Para isso, apresenta os seguintes gráficos.

1. a) Explique por que razão o gráfico da Rede Social Y pode ser enganoso para os seus patrocinadores se eles não prestarem atenção ao eixo das ordenadas.
2. b) Sabendo que na Rede Social X ele começou com $10\,000$ seguidores e terminou com $12\,000$, e na Rede Social Y começou com $50\,000$ e terminou com $51\,000$, desenhe um único gráfico de linhas comparativo, utilizando uma escala adequada que permita comparar o crescimento real de ambas as contas.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A Câmara Municipal de uma cidade recolheu dados sobre a reciclagem de resíduos orgânicos domésticos de $200$ famílias. O seguinte gráfico circular mostra a distribuição, mas os dados das famílias que reciclam "Muito" foram apagados.

• Nada ($0$ kg/mês): $15\%$

• Pouco ($1-5$ kg/mês): $72^\circ$ (amplitude do setor)

• Regular ($6-10$ kg/mês): $90$ famílias

• Muito ($>10$ kg/mês): $?$

1. a) Calcule o número de famílias que pertencem a cada categoria.
2. b) Calcule a amplitude, em graus, do setor correspondente às famílias que reciclam "Muito".
3. c) Construa uma tabela de frequências absolutas e relativas com todos os dados.

Num estudo sobre o uso da biblioteca da escola, foi registado o número de livros emprestados a uma amostra de alunos do 8.º ano durante um trimestre. Os resultados são mostrados no seguinte gráfico de barras de frequências acumuladas ($N_i$):

1. a) Quantos alunos formam a amostra?
2. b) Construa a tabela de frequências absolutas ($n_i$) a partir das acumuladas.
3. c) Qual é a moda e a mediana do número de livros emprestados?
4. d) Represente os dados por meio de um gráfico circular.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Realizou-se um inquérito a $400$ adolescentes sobre a sua atividade preferida para o fim de semana, distinguindo entre rapazes e raparigas. Os dados estão reunidos na seguinte tabela de dupla entrada, mas faltam alguns valores:

1. a) Completa todos os valores que faltam na tabela.
2. b) Representa os dados através de um gráfico de barras agrupado (uma barra para rapazes e outra para raparigas em cada atividade).
3. c) Que percentagem das raparigas prefere o desporto? É maior ou menor do que a percentagem de rapazes que prefere o desporto?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O tempo de reação (em segundos) de um grupo de atletas ao sinal de partida foi representado no seguinte histograma. Os intervalos são da forma $[a, b)$.

1. a) Calcule o número total de atletas que participaram na prova, sabendo que no intervalo $[0,15, 0,20)$ houve $12$ atletas.
2. b) Calcule a marca da classe de cada intervalo.
3. c) Estime a média aritmética dos tempos de reação a partir dos dados do histograma.
4. d) Qual é a percentagem de atletas com um tempo de reação inferior a $0,20$ segundos?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma ONG realizou um inquérito sobre o número de filhos em $50$ famílias de um bairro. Os resultados perderam-se, mas conservamos o pictograma, onde cada símbolo de uma casa representa $4$ famílias. No bairro nenhuma família tem mais de $3$ filhos.

• $0$ filhos: 🏠 🏠 🏠

• $1$ filho: 🏠 🏠 🏠 🏠 🏠

• $2$ filhos: 🏠 🏠 🏠 🏠

• $3$ filhos: $?$

1. a) Sabendo que o total de famílias é $50$, quantas famílias têm $3$ filhos? Como representarias essa quantidade no pictograma?

1. b) Calcula a média, a mediana e a moda da distribuição.

1. c) Se se escolher uma família ao acaso, qual é a probabilidade de ter menos de $2$ filhos? Representa esta situação com um gráfico circular.

Modela e analisa escalas. Uma empresa de eletricidade enviou aos seus utilizadores de Coimbra um folheto no qual mostra o consumo médio mensal (em $\text{kWh}$) de uma habitação durante o último quadrimestre do ano: setembro: $320\text{ kWh}$; outubro: $310\text{ kWh}$; novembro: $295\text{ kWh}$; dezembro: $280\text{ kWh}$.

Para ilustrar a diminuição do consumo, a empresa concebe dois gráficos de barras com as mesmas medidas exteriores, mas com eixos verticais distintos:

• Gráfico A: O eixo vertical está truncado; começa em $270\text{ kWh}$ e termina em $330\text{ kWh}$.

• Gráfico B: O eixo vertical está completo; começa rigorosamente em $0\text{ kWh}$ e termina em $350\text{ kWh}$.

1. a) Calcula a altura visual (medida a partir da linha de base do eixo horizontal) da barra de setembro e da de dezembro no Gráfico A (onde a base marca $270$) e no Gráfico B (onde a base marca $0$).
2. b) No Gráfico A, quantas vezes parece mais alta a barra de setembro relativamente à de dezembro? Calcula depois a razão matemática real entre ambos os consumos ($\frac{320}{280}$) e compara-a com o impacto visual do gráfico truncado.
3. c) Modela a redução percentual real registada entre setembro e dezembro. De seguida, redige um breve relatório crítico explicando por que razão o Gráfico A manipula a perceção do utilizador e que conclusões erróneas fomenta em quem não lê os números do eixo vertical.

Problema inverso. No serviço de urgência de um hospital de Coimbra foi registado o tempo de espera (em minutos) de $120$ doentes atendidos durante um dia. Os dados foram agrupados em quatro intervalos de idêntica amplitude: $[0, 15)$, $[15, 30)$, $[30, 45)$ e $[45, 60]$. Os dados originais da tabela extraviaram-se, mas dispomos das seguintes pistas a partir dos gráficos que se chegaram a elaborar:

1. No gráfico circular, o ângulo central correspondente ao intervalo $[0, 15)$ mede exatamente $54^\circ$.

2. No histograma, a altura da barra do intervalo $[15, 30)$ é exatamente o triplo da altura da barra do intervalo $[45, 60]$.

3. $70\,\%$ dos doentes esperou menos de $30$ minutos no total.

1. a) Deduz passo a passo a frequência absoluta ($n_i$) de cada um dos quatro intervalos de tempo de espera.
2. b) Determina o ângulo central, em graus, que corresponderá a cada intervalo no gráfico circular para o poderes reconstruir com exatidão.
3. c) Justifica por que razão, na representação gráfica destes dados contínuos, as barras devem ser desenhadas contíguas (tocando-se umas nas outras) e o que representa a base de cada retângulo no eixo horizontal.