Exercícios: Conceitos

Para saber qual é o videojogo favorito dos alunos de uma escola de $850$ estudantes, foi aplicado um inquérito a $40$ alunos escolhidos ao acaso no recreio. Identifica os seguintes elementos do estudo:

• População

• Amostra

• Indivíduo

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas:

1. a) A cor favorita dos seus amigos.
2. b) O número de mensagens de WhatsApp recebidas por dia.
3. c) A marca de ténis que os alunos da sua turma usam.
4. d) A quantidade de dinheiro poupada a cada mês.

Um canil municipal quer realizar um estudo sobre a saúde dos seus cães. Para isso, o veterinário regista o peso de cada um dos $35$ cães que vivem lá.

Indique qual é a variável estatística estudada e classifique-a (qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua).

Classifique estas variáveis quantitativas em discretas ou contínuas:

1. a) O número de primos que cada aluno tem.
2. b) O tempo exato gasto para ir de casa à escola.
3. c) A temperatura de uma lata de refrigerante ao sair da máquina.
4. d) O número de livros existentes na biblioteca da sua sala de aula.

Num inquérito realizado numa turma de $25$ alunos sobre qual a rede social que preferem (TikTok, Instagram ou Twitter), obtiveram-se as seguintes respostas:

Rede social	Número de alunos
TikTok	$12$
Instagram	$9$
Twitter	$4$

Que nome recebe o valor que mais vezes se repete neste estudo? Indica qual é esse valor neste inquérito.

Deseja-se fazer um estudo para conhecer o sabor de gelado preferido pelos habitantes de uma cidade de $50\,000$ pessoas. Para isso, pergunta-se aos $100$ primeiros clientes que entram numa gelataria do centro numa segunda-feira de manhã.

Considera que esta amostra é representativa de toda a população da cidade? Justifique brevemente a sua resposta.

Observe os seguintes caracteres estatísticos relacionados com uma viagem escolar e classifique-os:

1. País de destino.

2. Número de dias de duração.

3. Distância percorrida em quilómetros.

4. Grau de satisfação (Muito baixo, Baixo, Médio, Alto).

Se num estudo estatístico a população é formada por todos os carros de uma cidade e a variável é a "cor do carro", identifique:

1. a) O indivíduo.
2. b) O tipo de variável (Qualitativa ou Quantitativa).
3. c) Proponha três valores possíveis que esta variável pode assumir.

O Hugo classificou quatro variáveis estatísticas recolhidas entre os seus colegas do $2.º$ ano, mas cometeu um erro conceptual em cada uma delas:

1. Tamanho de t-shirt ($\text{XS}$, $\text{S}$, $\text{M}$, $\text{L}$, $\text{XL}$): «É quantitativa contínua porque as medidas do corpo aumentam progressivamente».

2. Número de irmãos: «É qualitativa ordinal porque os irmãos podem ser ordenados do mais velho para o mais novo».

3. Tempo diário gasto para chegar à escola: «É quantitativa discreta porque dizemos sempre minutos inteiros, como $15$ minutos ou $20$ minutos».

4. Código postal do domicílio: «É quantitativa discreta porque é formado por um número de $5$ algarismos».

Para cada uma das quatro variáveis:

1. a) Explica com clareza qual é o erro de raciocínio que o Hugo comete.
2. b) Escreve a classificação correta e justifica-a usando as definições de variável qualitativa (nominal ou ordinal) e quantitativa (discreta ou contínua).

Uma revista juvenil quer elaborar uma reportagem sobre o lazer e os hábitos de vida dos adolescentes da tua localidade. Para isso, pedem-te que desenhes as perguntas do inquérito.

1. a) Escreve uma variável estatística diferente para cada uma das seguintes quatro condições:

• Variável A: Deve ser qualitativa nominal.

• Variável B: Deve ser qualitativa ordinal.

• Variável C: Deve ser quantitativa discreta.

• Variável D: Deve ser quantitativa contínua.

1. b) Para a variável quantitativa contínua que propuseste, indica três valores numéricos possíveis que um estudante poderia responder e explica por que motivo não faria sentido considerá-la discreta.
2. c) Define com precisão quem constituiria a população deste estudo e quem seria um indivíduo.

A Câmara Municipal de uma cidade quer conhecer os hábitos de lazer digital dos adolescentes entre 12 e 16 anos. Para isso, seleciona ao acaso 400 alunos de três escolas diferentes e pergunta quantas horas diárias passam, em média, nas redes sociais (TikTok, Instagram, etc.).

Indique os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) A população.
2. b) A amostra.
3. c) O indivíduo.
4. d) O caráter estatístico estudado e a sua classificação.

Num abrigo de animais registaram a idade (em anos) dos cães que foram adotados durante o último mês. Os dados obtidos são os seguintes:

$$2, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 2, 3$$

Construa uma tabela de frequências que inclua:

• Variável ($x_i$)

• Frequência absoluta ($n_i$)

• Frequência relativa ($f_i$)

• Frequência absoluta acumulada ($N_i$)

• Percentagem ($\%$)

Observa o gráfico a seguir, que representa o número de livros lidos por um grupo de alunos durante as férias de verão:

A partir do gráfico anterior, responde:

1. a) Quantos alunos foram inquiridos no total?
2. b) Qual é o valor da variável mais frequente? Como se chama esse parâmetro?
3. c) Qual é a percentagem de alunos que leu exatamente 2 livros?

Num clube de e-sports mediu-se o tempo de reação (em milissegundos) dos seus jogadores. Por ser uma variável contínua, os dados foram agrupados nos seguintes intervalos:

Tempo (ms)	Frequência ($n_i$)
$[150, 170)$	$6$
$[170, 190)$	$12$
$[190, 210)$	$18$
$[210, 230)$	$4$

1. a) Calcule as marcas de classe de cada intervalo.
2. b) Represente os dados por meio de um histograma.
3. c) Em que intervalo se encontra o tempo de reação da maioria dos jogadores?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um aluno obteve as seguintes notas nos testes de Matemática do segundo período:

$$7,5; \quad 8,2; \quad 9,0; \quad 2,1; \quad 8,7$$

1. a) Calcule a média aritmética ($\bar{x}$) e a mediana ($Me$).
2. b) Se o professor decidir que a classificação seja a mediana em vez da média, para que um "dia mau" não prejudique tanto, qual seria a sua classificação?
3. c) Explique porque é que a mediana é, neste caso, mais representativa do que a média.

Foi realizado um inquérito numa turma do 8.º ano sobre o tipo de música preferido segundo o sexo. Os resultados são mostrados nesta tabela de dupla entrada:

	Pop	Rock	Trap	Total
Raparigas	$8$	$3$	$4$	$15$
Rapazes	$5$	$6$		$15$
Total		$9$		30

1. a) Completa os dados que faltam na tabela.
2. b) Qual é a percentagem do total da turma que prefere o Rock?
3. c) Se escolhermos um rapaz ao acaso, qual é a probabilidade de que a sua música preferida seja o Pop? Usa a regra de Laplace.

Duas equipas de basquetebol marcaram os seguintes pontos nos seus últimos 5 jogos:

• Equipa A: $72, 75, 74, 73, 76$

• Equipa B: $50, 95, 60, 110, 55$

1. a) Calcule a média e a amplitude de ambas as equipas.
2. b) Observando os resultados, qual das duas equipas é mais regular nas suas pontuações? Justifique a sua resposta relacionando a média com a dispersão dos dados.

Num estudo sobre a cor dos olhos dos alunos de uma escola, foram obtidos os seguintes dados:

Cor	$n_i$
Castanhos	$120$
Azuis	$30$
Verdes	$50$

1. a) Que tipo de variável é "Cor dos olhos"?
2. b) É possível calcular a média destes dados? Porquê?
3. c) Se quiséssemos representar estes dados num gráfico circular, calcule a amplitude do ângulo ao centro (em graus) que corresponderia ao setor dos "Olhos verdes".

Num hospital distrital que presta serviço a $35\,000$ pessoas colocam-se duas investigações estatísticas diferentes:

• Estudo 1: Verificar o funcionamento, calibração e desinfeção dos $18$ ventiladores mecânicos da unidade de cuidados intensivos (UCI).

• Estudo 2: Conhecer o grau de satisfação geral dos utilizadores com o serviço de urgência ao longo de todo um ano.

1. a) Para cada um dos dois estudos, escolhe fundamentadamente se se deve realizar um censo ou selecionar uma amostra. Compara em cada caso fatores como a dimensão do grupo, o custo, o tempo necessário e o risco de omitir elementos.
2. b) Se no Estudo 2 se decidisse selecionar uma amostra de $200$ pacientes entrevistando apenas os que saem da urgência numa terça-feira entre as $10:00$ e as $13:00$, fundamenta por que motivo esse método de seleção não daria uma amostra representativa e explica que grupos de pacientes ficariam excluídos ou sub-representados.

Numa escola secundária estão matriculados $500$ estudantes distribuídos da seguinte forma: $150$ no $1.º$ ano, $125$ no $2.º$ ano, $125$ no $3.º$ ano e $100$ no $4.º$ ano. O Conselho Geral quer realizar um inquérito sobre a comida da cantina selecionando uma amostra representativa de $40$ estudantes.

O delegado de turma propõe selecionar ao acaso exatamente $10$ alunos de cada ano de escolaridade para que «todos os níveis tenham a mesma voz».

1. a) Estima: Antes de realizar cálculos exatos, fundamenta se a proposta do delegado representa equitativamente toda a população da escola ou se beneficia os estudantes de algum ano face a outros.
2. b) Verifica: Calcula quantos alunos de cada ano de escolaridade deveriam ser selecionados exatamente para que a amostra seja proporcional ao número real de estudantes de cada nível.
3. c) Avalia: A partir dos resultados numéricos obtidos, explica se a tua estimativa inicial estava correta e fundamenta que problema metodológico apresenta a distribuição proposta pelo delegado.

A Câmara Municipal de uma cidade quer realizar um inquérito sobre o uso da ciclovia entre os jovens. Para isso, seleciona $450$ estudantes de três escolas diferentes de forma proporcional ao número total de alunos de cada escola. Na Escola A há $600$ alunos, na Escola B há $400$ alunos e na Escola C há $500$ alunos.

1. a) Indique qual é a população, qual é a amostra e qual é o indivíduo neste estudo estatístico.
2. b) Quantos alunos devem ser selecionados de cada escola para que a amostra seja representativa e proporcional?
3. c) Classifique a variável "tempo diário (em minutos) que cada jovem utiliza a bicicleta" quanto à sua natureza.

Uma plataforma de streaming analisa os dados dos seus utilizadores adolescentes para melhorar o seu algoritmo. Classifique as seguintes variáveis recolhidas no estudo:

1. a) Número de dispositivos ligados em simultâneo em casa.
2. b) Género cinematográfico favorito (terror, comédia, ação, etc.).
3. c) Tempo total (em horas e minutos) de reprodução semanal.
4. d) Avaliação atribuída a uma série (1 estrela, 2 estrelas, 3 estrelas, 4 estrelas ou 5 estrelas).
5. e) Marca do dispositivo principal utilizado para ver conteúdos.

Raciocine se alguma destas variáveis quantitativas poderia ser tratada como qualitativa num determinado contexto.

Foi realizado um inquérito sobre o número de horas que os alunos do 8.º ano dormem num dia de semana. Dispomos dos seguintes dados incompletos da tabela de frequências, onde $x_i$ é o número de horas, $n_i$ a frequência absoluta, $h_i$ a frequência relativa e $H_i$ a frequência relativa acumulada:

$x_i$	$n_i$	$h_i$	$H_i$
6	4		0,16
7		0,24
8	10
9
10	2		1,00

1. a) Calcule a dimensão total da amostra ($N$).
2. b) Complete todos os espaços da tabela de frequências.
3. c) Qual é a percentagem de alunos que dorme 8 horas ou mais?

O histograma a seguir representa o tempo (em minutos) que os alunos demoram a ir de casa até à escola. Os dados foram agrupados em intervalos da forma $[a, b)$.

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas a partir do gráfico, identificando as marcas de classe de cada intervalo.
2. b) Calcule o tempo médio que os alunos demoram a chegar à escola, utilizando as marcas de classe.
3. c) Em que intervalo se encontra a mediana dos dados? Explique o seu raciocínio.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A média aritmética das notas de um grupo de 12 alunos num teste de matemática era de $6,5$. Depois de rever os testes, o professor apercebeu-se de que cometeu um erro com dois alunos: a um tinha atribuído a nota $4$ quando na verdade tinha $7$, e a outro tinha atribuído a nota $9$ quando na verdade tinha $6$.

1. a) Qual é a soma total das notas dos 12 alunos antes da correção?
2. b) Qual é a nova média aritmética do grupo depois de corrigir os erros?
3. c) É possível saber se a mediana mudou com estes dados? Justifica a tua resposta.

Observe os dois gráficos a seguir, que representam a evolução do preço de um modelo de ténis em duas lojas diferentes durante o mesmo período de 4 meses.

1. a) Explique por que razão o gráfico da Loja B parece mostrar um aumento de preço muito mais acentuado do que o da Loja A, apesar de os dados reais de preços serem idênticos em ambas.
2. b) Como se denomina este efeito visual em estatística e por que razão é considerado uma prática enganosa?
3. c) Redesenhe mentalmente (ou descreva) como deveria ser o eixo vertical da Loja B para que a comparação fosse objetiva.

Num concurso de talentos, um participante recebe as seguintes pontuações de 5 jurados: $8, 7, 9, 8$ e uma quinta nota desconhecida ($x$).

1. a) Se a média das cinco notas é de $8,2$, qual é a pontuação do quinto jurado?
2. b) Se o regulamento do concurso diz que, para calcular a nota final, se deve eliminar a maior e a menor pontuação e calcular a média das três restantes, qual seria a nota final do participante com o valor de $x$ encontrado anteriormente?
3. c) Como afetaria a mediana das cinco notas originais se o quinto jurado lhe tivesse dado a nota $10$ em vez do valor $x$?

Um estudo sobre o lazer digital em adolescentes de 13 anos apresenta os seguintes dados sobre o número de horas diárias em frente a um ecrã:

$$3, 5, 2, 4, 3, 2, 8, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 3, 10, 2, 3, 4, 1$$

1. a) Calcule os três parâmetros de centralização: média, mediana e moda.
2. b) Observando os valores da média e da mediana, diria que a distribuição é simétrica ou que há valores extremos que deslocam a média? Justifique a sua resposta citando esses valores.
3. c) Se eliminarmos os dois utilizadores com maior consumo de horas, qual seria a nova mediana? Explique se este parâmetro é sensível aos valores extremos da mesma forma que a média.

A Secretaria de Educação de uma comunidade autónoma quer modelar o tempo que os estudantes do Ensino Secundário Obrigatório (ESO) dedicam aos ecrãs e ao estudo. Nessa comunidade há $120\,000$ alunos do ESO, matriculados em três tipos de estabelecimentos: escolas públicas ($65\,\%$), com contrato de associação ($30\,\%$) e privadas ($5\,\%$). Decide-se extrair uma amostra de $1\,200$ estudantes.

1. a) Modela o desenho amostral: define a população, o indivíduo e calcula quantos alunos devem ser selecionados de cada tipo de estabelecimento para que a amostra seja representativa e proporcional à realidade educativa.
2. b) Propõe quatro perguntas para o questionário que recolham, respetivamente: uma variável qualitativa nominal, uma qualitativa ordinal, uma quantitativa discreta e uma quantitativa contínua relacionadas com o objeto do estudo. Justifica a classificação de cada variável.
3. c) Um técnico propõe reduzir custos enviando uma hiperligação para o questionário através das redes sociais e analisando as primeiras $1\,200$ respostas que cheguem de forma voluntária. Fundamenta dois motivos matemáticos ou estatísticos pelos quais esta amostra deixaria de ser representativa e geraria viés nos resultados.

A comissão organizadora de umas olimpíadas escolares de matemática realizadas num distrito publica um relatório com os seguintes três dados sobre um estudo interno:

1. Realizou-se um censo e não uma amostragem, apesar de terem participado alunos de $15$ escolas secundárias distintas.

2. A variável $X$ analisada foi quantitativa contínua, e os valores obtidos oscilaram entre $42,5$ e $118,4$.

3. A variável $Y$ analisada foi qualitativa ordinal, e nenhum indivíduo atingiu a categoria mais alta possível.

1. a) Reconstrói um contexto real e coerente para este estudo: define quem é a população, quem é o indivíduo e o que poderiam medir exatamente as variáveis $X$ e $Y$ para que as três afirmações sejam verdadeiras em simultâneo.
2. b) Explica por que razão nesta situação concreta foi viável realizar um censo em vez de recolher uma amostra, e o que mudaria se o objetivo fosse conhecer essas mesmas variáveis para todos os jovens do distrito.
3. c) Um jornal regional titula: «Os jovens do distrito obtêm uma pontuação média destacada em raciocínio lógico». Identifica o grave erro conceptual que o jornalista comete ao confundir a população estudada no censo com a população geral de jovens, e explica que viés invalida essa conclusão.