Exercícios: Representação na reta

Observe a seguinte reta numérica e identifique os valores representados pelas letras $A$, $B$ e $C$.

Desenhe uma reta numérica no seu caderno e represente nela os seguintes números inteiros:

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Representa na reta numérica o número $-3$ e o seu oposto. A que distância se encontra cada um em relação à origem?

Podes usar esta reta, na qual estão marcados a origem e as unidades (cada marca é uma unidade), ou desenhar a tua:

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um termómetro marca uma temperatura de $4^\circ\text{C}$ às dez horas da manhã. Se às oito horas da noite a temperatura baixou $6^\circ\text{C}$, representa numa reta ambas as temperaturas e indica qual é a temperatura final.

Escreve no teu caderno todos os números inteiros $x$ que cumprem a condição $-2 < x \leq 3$ e representa-os na reta numérica. Presta atenção aos extremos abertos e fechados.

Podes copiar esta reta no teu caderno:

Represente na reta numérica todos os números inteiros cujo valor absoluto seja igual a $4$. Quantos números marcou?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um mergulhador encontra-se a uma profundidade de $8$ metros abaixo do nível do mar. Se decidir subir $3$ metros para observar alguns peixes, a que profundidade se encontra agora? Represente o movimento por meio de setas sobre uma reta numérica horizontal.

Situe os seguintes números na reta numérica e utilize-a para os ordenar do menor para o maior usando o sinal $<$:

Numa vaga de frio registada pelo IPMA, a temperatura mínima na Guarda foi de $-6$ ºC e a máxima em Faro foi de $9$ ºC. O Lucas quer calcular a diferença térmica (a distância entre ambos os valores na reta numérica) e escreve no seu caderno:

O Lucas conclui que a distância entre ambas as temperaturas na reta numérica é de $3$ unidades.

1. a) Encontra e explica por palavras tuas o erro conceptual que o Lucas cometeu ao traduzir a distância entre dois números para uma operação com valor absoluto.
2. b) Escreve a expressão correta utilizando o valor absoluto e calcula fundamentadamente a distância real entre ambas as temperaturas.
3. c) Mostra que subtrair as temperaturas na ordem inversa dentro do valor absoluto dá exatamente o mesmo resultado e justifica por que razão isso acontece.

Dois mergulhadores de uma equipa de biologia marinha em Sagres comunicam a sua posição vertical relativamente ao nível do mar (que consideramos como cota $0$ m): o Marcos encontra-se submerso na cota $-24$ m e a Beatriz está numa plataforma sobre a superfície na cota $+7$ m. Pretende-se determinar a distância vertical $|a - b|$ entre ambos.

1. a) Sem fazeres a subtração formal ainda, estima entre que duas dezenas consecutivas (por exemplo, entre $10$ e $20$, entre $20$ e $30$, etc.) deve estar compreendida essa distância e explica por que razão é impossível que o resultado seja menor que $24$ m.
2. b) Aplica a fórmula formal da distância entre dois inteiros para calcular a separação exata entre o Marcos e a Beatriz.
3. c) Verifica se o resultado exato coincide com a tua estimativa e justifica por que razão uma distância na reta numérica nunca pode ser um número negativo.

Na seguinte reta numérica foram marcados quatro pontos representados por letras. Identifique qual o número inteiro que corresponde a cada uma das letras $A$, $B$, $C$ e $D$.

Escreva todos os números inteiros $x$ que cumprem simultaneamente as seguintes duas condições e represente-os numa reta numérica:

• $-5 < x \leq 2$

• O valor absoluto de $x$ é maior que $1$, ou seja, $|x| > 1$.

Um estafeta de comida ao domicílio começa o seu dia de trabalho no "Ponto Zero" de uma grande avenida principal. Realiza as seguintes deslocações:

1. Viaja $4$ quilómetros para este ($+4$).

2. A partir daí, desloca-se $7$ quilómetros para oeste.

3. Por fim, avança mais $2$ quilómetros para oeste para entregar o seu último pedido.

Desenha uma reta numérica no teu caderno, representa cada movimento por meio de setas e determina em que ponto quilométrico se encontra ao terminar.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Represente na reta numérica o número $-3$ e todos os números inteiros cujo valor absoluto seja menor do que ele. É possível realizar esta tarefa? Justifique a sua resposta com base na definição de valor absoluto e na sua representação gráfica.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dados os números inteiros $x$ tais que a sua distância à origem ($0$) é de $6$ unidades, e usando a reta numérica da figura (ou desenhando uma igual no teu caderno):

1. a) Representa esses números na reta numérica.

1. b) Representa também os seus opostos.

1. c) O que observas relativamente à posição dos números originais e dos seus opostos na reta?

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, o termómetro registou as seguintes temperaturas ao longo da manhã:

• Às 8:00h: $-6$ $^\circ$C

• Às 10:00h: $-2$ $^\circ$C

• Às 12:00h: $+3$ $^\circ$C

1. a) Represente as três temperaturas numa reta numérica vertical (como se fosse um termómetro).
2. b) Qual foi a variação térmica (distância na reta) entre as 8:00h e as 12:00h?

Desenhe uma reta numérica e situe nela os seguintes elementos. Depois, ordene-os do menor para o maior utilizando o símbolo $<$:

• O número $-4$.

• O simétrico de $3$.

• O valor absoluto de $-5$.

• O número $0$.

• O simétrico do simétrico de $-2$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Encontra o número inteiro que se encontra exatamente à mesma distância de $-7$ e de $+3$ na reta numérica. Na figura tens marcados esses dois números. Representa-o graficamente na reta para comprovares o teu resultado e explica como o calculaste.

Num canal de navegação marítima foram colocadas duas boias acústicas de aviso nas posições inteiras $-8$ e $+6$ da reta numérica. É necessário fundear uma estação repetidora num ponto inteiro intermédio $c$ de modo a que ambas as boias fiquem exatamente à mesma distância $d$ desse repetidor.

1. a) Deduz fundamentadamente a posição central $c$ do repetidor e calcula o valor da distância $d$ a qualquer uma das boias.
2. b) Escreve uma equação com valor absoluto da forma $|x - c| = d$ cujas únicas soluções na reta numérica representem com precisão as posições de ambas as boias.
3. c) Resolve algebricamente a tua equação verificando que fornece exatamente os pontos $-8$ e $+6$, e fundamenta por que razão uma equação deste tipo dá sempre duas soluções simétricas em relação a $c$.

Uma estação meteorológica do IPMA situada na Serra da Estrela tem programado um alarme automático de geada. O sensor ativa o sinal preventivo se a temperatura inteira $T$ (em graus Celsius) pertencer ao intervalo de risco que vai desde $-7$ ºC até $+2$ ºC, com a condição de que o valor limite $-7$ ºC ativa o alerta, enquanto que se a temperatura subir até atingir exatamente $+2$ ºC, o alarme já se desativa por se considerar fora de perigo.

1. a) Escreve a condição de ativação através de uma desigualdade dupla para a variável $T$ (um intervalo).
2. b) Explica que tipo de representação geométrica (círculo aberto ou círculo fechado) corresponde a cada um dos dois extremos na reta numérica e que significado físico tem cada um neste contexto.
3. c) Escreve a lista completa de todos os números inteiros de temperatura que ativam o alarme e calcula a distância na reta numérica entre ambos os extremos através de uma subtração em valor absoluto.

Um explorador encontra-se numa rede de grutas subterrâneas representadas numa reta numérica horizontal. A origem $0$ é a entrada da gruta. Sabemos que o explorador realizou os seguintes movimentos sucessivos:

1. Começa num ponto desconhecido $x$.

2. Avança $+12$ unidades.

3. Recua o dobro da sua posição inicial $x$ (ou seja, $2x$ unidades para a esquerda).

4. Avança o oposto de $-5$.

Se no final se encontra no ponto $-3$, representa a situação na reta numérica (desenha tu próprio a reta e os movimentos) e determina, de forma fundamentada, o valor do ponto de partida $x$.

Na reta numérica dos números inteiros, o ponto $A$ representa o número $-4$. O ponto $B$ é um número tal que a sua distância à origem é o triplo da distância de $A$ à origem. Se o ponto $C$ é o ponto médio do segmento formado pelos pontos opostos de $A$ e $B$, quais os números que $C$ poderia representar? Considera que existem duas soluções possíveis para $B$. Representa-as graficamente.

Identifique todos os números inteiros $n$ que cumprem simultaneamente as três condições seguintes e posicione-os numa reta numérica:

1. O valor absoluto de $n$ é menor ou igual a $7$: $|n| \leq 7$.

2. $n$ é estritamente maior do que o seu oposto: $n > -n$.

3. A distância entre $n$ e o número $-2$ é maior do que $5$ unidades.

Um submarino e um helicóptero de resgate estão situados sobre a mesma linha vertical. Se transpusermos as suas posições para uma reta numérica horizontal onde o $0$ é o nível do mar:

• O submarino encontra-se no ponto $S$.

• O helicóptero encontra-se no ponto $H$.

• Sabe-se que $|S| = |H| - 200$.

• A distância entre o submarino e o helicóptero é de $500$ metros.

Desenha a reta numérica e encontra as coordenadas de $S$ e $H$, sabendo que o helicóptero voa acima do nível do mar e o submarino está submerso.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Três pontos $P$, $Q$ e $R$ estão situados na reta numérica. Sabe-se que:

• O ponto $Q$ é o oposto de $-6$.

• O ponto $P$ está a uma distância de $10$ unidades de $Q$, para a esquerda.

• O ponto $R$ cumpre $|R| = |P| + |Q|$.

Calcule os valores de $P$, $Q$ e $R$. Represente na reta todas as posições possíveis de $R$ e explique qual delas está mais afastada do ponto médio entre $P$ e $Q$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dadas as seguintes expressões, marca na reta numérica os valores de $x$ que as tornam verdadeiras:

1. a) $|x - 3| = 5$
2. b) $|x - 2| = 4$

Que número inteiro é solução de ambas as expressões ao mesmo tempo? Marca-o com uma cor diferente na tua reta.

Considere um número inteiro negativo $a$ e um número inteiro positivo $b$. Na reta numérica, a distância entre $a$ e $b$ é de $15$ unidades. Se o valor absoluto de $a$ é o dobro do valor absoluto de $b$, ou seja, $|a| = 2 \cdot |b|$, determine os valores de $a$ e $b$ e represente-os. Qual é o simétrico da soma $a + b$?

Desenha uma reta numérica e representa os seguintes conjuntos de números de modo a que se possa notar a diferença entre eles (por exemplo, usando uma cor diferente para cada conjunto):

• Conjunto $X$: números inteiros $x$ tais que $|x| < 4$.

• Conjunto $Y$: números inteiros $y$ tais que o seu oposto $-y$ está entre $-2$ e $5$ (ambos excluídos).

Indica, de forma fundamentada, quais os números inteiros que pertencem a ambos os conjuntos ao mesmo tempo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Procura-se determinar todos os números inteiros $x$ cuja distância ao número $-3$ na reta numérica seja menor ou igual a $5$ unidades. Para o resolver, dois alunos propõem estratégias diferentes:

• Método da Irene (geométrico): Coloca o $-3$ na reta numérica, conta $5$ unidades para a direita e $5$ para a esquerda, desenha os extremos com círculos fechados e anota todos os números inteiros que ficam dentro desse intervalo.

• Método do David (algébrico): Apresenta a inequação com valor absoluto $|x - (-3)| \le 5$, simplifica-a para $|x + 3| \le 5$, decompõe-na na dupla desigualdade $-5 \le x + 3 \le 5$ e isola a incógnita $x$ subtraindo $3$ em cada membro.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos e verifica que se chega exatamente ao mesmo conjunto de números inteiros.
2. b) Supõe agora que o enunciado pede para encontrar os números inteiros cuja distância ao número $-430$ seja menor ou igual a $125$ unidades. Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois é preferível escolher neste segundo caso, apontando os riscos e inconvenientes do outro método.

Numa linha de metro automatizada, as várias paragens representam-se como pontos inteiros numa reta numérica. Vai-se instalar uma antena repetidora numa posição inteira $k$. A cobertura da antena alcança qualquer ponto $x$ cuja distância a $k$ seja no máximo de $7$ unidades; isto é, os pontos que cumprem $|x - k| \le 7$. A direção técnica estabelece duas condições:

1. Deve cobrir obrigatoriamente todas as estações do troço de túnel crítico, que compreende todos os inteiros do intervalo $[-11, -5]$ (ambos os extremos incluídos).

2. Não deve alcançar sob nenhuma circunstância a estação central de transbordo, situada no ponto $0$ (a origem), para não interferir com os computadores de via.

1. a) A partir da primeira condição, analisa que distância deve haver desde $k$ até ao extremo $-11$ e até ao extremo $-5$, e determina que valores inteiros pode tomar a posição $k$.
2. b) Analisa a segunda condição para saber que posições de $k$ fariam com que o ponto $0$ ficasse dentro do raio de alcance e descarta-as.
3. c) Conclui quais são as únicas localizações inteiras válidas para instalar a antena e, para uma delas, escreve o intervalo completo de estações que ficarão cobertas.