Exercícios: Sistemas de equações

Num jogo de RPG, os pontos de experiência de duas habilidades, Força ($x$) e Magia ($y$), devem cumprir as condições do seguinte sistema de equações:

Verifique, realizando as operações necessárias, qual destes pares de valores é a solução correta do sistema para que a personagem possa subir de nível:

1. a) $x = 10, y = 5$
2. b) $x = 8, y = 7$

Traduza para a linguagem algébrica e escreva o sistema de equações correspondente à seguinte situação:

"Num snack-bar, por dois refrigerantes ($x$) e um pacote de batatas fritas ($y$) cobraram-nos $5$ €. Se comprarmos um refrigerante e um pacote de batatas fritas, o preço é de $3$ €."

(Não é necessário resolver, apenas montar o sistema).

Resolva o seguinte sistema pelo método da substituição. Repare que na segunda equação a incógnita $y$ já está isolada, o que facilita o processo:

Resolva pelo método de igualação o seguinte sistema. Para isso, iguale as duas expressões que representam o valor de $x$:

Resolva o seguinte sistema utilizando o método de redução. Observe que a incógnita $y$ tem coeficientes opostos ($+1$ e $-1$), por isso é possível somar as duas equações diretamente para eliminá-la:

Beatriz comprou na papelaria $2$ canetas e $3$ borrachas por um total de $4$ €. Pedro comprou $2$ canetas e $1$ borracha por $2$ €.

Se $x$ é o preço de uma caneta e $y$ o de uma borracha, o sistema que representa a situação é:

Determine o preço de cada artigo utilizando o método da adição ordenada (subtraindo ambas as equações).

Numa pequena quinta há um total de $12$ animais entre galinhas ($x$) e coelhos ($y$). Se contarmos as patas de todos eles, há um total de $34$ patas. O sistema de equações que descreve esta situação é:

Resolva o sistema pelo método que preferir para descobrir quantas galinhas e quantos coelhos há na quinta.

Observa atentamente os coeficientes das incógnitas no seguinte sistema de equações lineares:

1. a) Se tivesses de escolher entre os métodos de substituição, igualação e redução, qual considerarias mais direto e prático para resolver este sistema? Justifica a tua resposta prestando atenção às características dos coeficientes.
2. b) Resolve o sistema aplicando o método que defendeste na alínea anterior e verifica formalmente que o par $(x, y)$ obtido satisfaz ambas as equações em simultâneo.

Queremos conceber um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas cuja solução única seja exatamente o par $(x = 4, \; y = -2)$.

1. a) Escreve uma primeira equação da forma $ax + by = c$ (com $a$ e $b$ números inteiros diferentes de zero) que se verifique para esses valores. Mostra a verificação numérica de como obténs o termo independente $c$.
2. b) Inventa uma segunda equação linear que também admita essa solução, mas assegurando-te de que não é equivalente (proporcional) à primeira para evitar que as retas sejam coincidentes.
3. c) Resolve o teu sistema resultante para demonstrar que, com efeito, a única solução partilhada é $(4, -2)$.

Num jogo de estratégia, para desbloquear uma melhoria, precisas de coletar gemas azuis e gemas vermelhas. Sabemos que o triplo do número de gemas azuis mais o dobro do número de gemas vermelhas soma um total de 34 de energia. Além disso, a diferença entre o número de gemas azuis e vermelhas é de apenas 3 unidades.

1. a) Elabora um sistema de equações para descobrires quantas gemas de cada tipo são necessárias.
2. b) Verifica se o par de valores $x = 8, y = 5$ (onde $x$ são as azuis e $y$ as vermelhas) é a solução do sistema.

Resolva o seguinte sistema de equações utilizando o método da substituição. Lembre-se de que é aconselhável isolar a incógnita que tem o coeficiente mais simples:

Observa a seguinte figura composta por dois retângulos com propriedades diferentes. O retângulo A tem um perímetro de $22\text{ cm}$. O retângulo B é tal que a sua base é o dobro da base do retângulo A e a sua altura é o triplo da altura do retângulo A, perfazendo um perímetro total de $52\text{ cm}$.

Calcula as dimensões $x$ (base) e $y$ (altura) do retângulo A elaborando e resolvendo um sistema pelo método da igualação.

No bar da escola, um grupo de amigos pagou $15\text{ €}$ por 4 refrigerantes e 2 sanduíches. No dia seguinte, outro grupo pagou $17,50\text{ €}$ por 3 refrigerantes e 4 sanduíches. Utilize o método da redução para determinar o preço de um refrigerante e de uma sanduíche.

Determine a solução do seguinte sistema de equações pelo método que considerar mais apropriado. Antes de o resolver, observe se é necessário simplificar as expressões eliminando os parênteses:

A idade de uma mãe é atualmente o triplo da idade do seu filho. No entanto, daqui a 12 anos, a idade da mãe será apenas o dobro da idade do seu filho. Qual é a idade de ambos atualmente? Utilize uma tabela para organizar os dados das idades antes de elaborar o sistema.

Para organizar um festival solidário, foram vendidos dois tipos de bilhetes: infantis a $4\text{ €}$ e para adultos a $7\text{ €}$. No final do evento, sabe-se que compareceu um total de 240 pessoas e que a receita total foi de $1350\text{ €}$. Quantas crianças e quantos adultos compareceram ao festival?

Dois ciclistas, Ana e David, encontram-se a uma distância de $45\text{ km}$. A Ana parte do ponto A com velocidade constante de $12\text{ km/h}$ e o David parte ao mesmo tempo do ponto B ao encontro da Ana a $18\text{ km/h}$.

Se $x$ é o tempo que demoram a encontrar-se e $y$ é a distância percorrida pela Ana:

1. a) Escreva um sistema de equações que relacione o tempo e o espaço de ambos.
2. b) Quanto tempo demorarão a cruzar-se e a que distância do ponto A isso ocorrerá?

O Marcos tenta resolver pelo método de redução o seguinte sistema de equações lineares:

Para eliminar a incógnita $y$, o Marcos decide multiplicar a segunda equação por $3$ e escreve no seu caderno o seguinte:

De seguida, soma membro a membro ambas as linhas obtendo $17x = 16$, e conclui que «o sistema dá uma solução fracionária muito estranha e de certeza que o enunciado tem um erro».

1. a) Localiza e explica de forma fundamentada o erro matemático que o Marcos cometeu ao transformar a segunda equação.
2. b) Que propriedade fundamental das igualdades infringiu o Marcos no seu procedimento?
3. c) Corrige a resolução completa a partir do passo errado, resolve o sistema e determina a solução exata $(x, y)$.

Numa frutaria de bairro de Coimbra, o quilograma de laranjas tem um preço inferior ao quilograma de morangos. Um cliente compra $3\text{ kg}$ de laranjas e $2\text{ kg}$ de morangos, pagando na caixa um total de $11\text{ €}$. De seguida, outra cliente adquire $2\text{ kg}$ de laranjas e $4\text{ kg}$ de morangos pelo valor de $18\text{ €}$.

1. a) Antes de escreveres qualquer equação, faz uma estimativa fundamentada: se o quilo de laranjas custasse $4\text{ €}$, o talão do primeiro cliente poderia fazer sentido? Esperas que o preço do quilo de laranjas seja superior ou inferior a $2\text{ €}$? Justifica as tuas estimativas prévias.
2. b) Formula o sistema de equações que modela ambas as compras, resolve-o pelo método que preferires e determina o preço exato do quilo de cada produto.
3. c) Verifica se os valores obtidos confirmam as tuas estimativas iniciais e reflete sobre se os preços resultantes são coerentes com as compras habituais num mercado.

Resolve o seguinte sistema de equações lineares, simplificando previamente ambas as expressões. Para encontrares a solução definitiva, utiliza o método de redução dupla (eliminando uma incógnita e depois a outra):

Numa loja de informática, um utilizador compra 3 teclados mecânicos e 2 ratos sem fios por um total de $135$ €. No dia seguinte, aproveitando uma promoção, compra 2 teclados e 4 ratos por $111$ €. No entanto, a promoção consistia em que os teclados tinham um desconto de $10\%$ e os ratos, $20\%$ sobre o seu preço original.

Calcule o preço original de cada artigo elaborando um sistema de equações.

Determine as dimensões de um retângulo sabendo que o seu perímetro mede $40$ cm. Se a sua base fosse triplicada e a sua altura reduzida a metade, o perímetro passaria a ser de $70$ cm. Uma vez determinadas a base ($x$) e a altura ($y$), calcule a área do retângulo original.

Um laboratório químico precisa de preparar $10$ litros de uma solução ácida a $25\%$. Para isso, dispõe de dois garrafões: um com uma concentração de $15\%$ de ácido e outro com uma concentração de $40\%$. Que quantidade, em litros, deve misturar de cada garrafão para obter a solução pretendida?

A soma dos dois algarismos de um número é $12$. Se invertermos a ordem dos seus algarismos, obtemos um novo número que é $18$ unidades maior do que o original. Elabore um sistema de equações para encontrar esse número.

(Dica: um número de dois algarismos escreve-se $10x + y$).

Dois ciclistas, Elena e Marco, estão a uma distância de $36$ km. Se avançam um em direção ao outro, demoram $45$ minutos a encontrar-se. Se avançam no mesmo sentido (Elena a perseguir Marco), Elena demora $3$ horas a alcançá-lo.

Calcule a velocidade de cada ciclista, em km/h, escrevendo um sistema de equações.

Resolva o seguinte sistema pelo método que considerar mais conveniente, após eliminar os parênteses e agrupar os termos:

Depois de resolvê-lo, indique se o sistema é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível.

Calcula o custo de pintar a superfície lateral de um tronco de pirâmide quadrangular regular cujas bases medem $4\text{ m}$ e $2\text{ m}$ de lado e cuja altura é de $1{,}5\text{ m}$, sabendo que o preço é de $85\text{ €/m}^2$.

Numa cidade portuguesa, o serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas cobra uma tarifa constituída por uma quantia fixa pelo desbloqueio do veículo mais uma tarifa fixa por cada minuto de trajeto.

O Afonso fez um percurso de $15\text{ minutos}$ e o sistema cobrou-lhe $1,90\text{ €}$. A Beatriz utilizou outra bicicleta do mesmo tipo durante $25\text{ minutos}$ e pagou no total $2,70\text{ €}$.

1. a) Modela a situação através de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, definindo explicitamente que grandeza representa cada incógnita e em que unidades se mede cada uma.
2. b) Resolve o sistema para determinar quanto custa desbloquear uma bicicleta e qual é o custo por cada minuto de circulação.
3. c) Uma terceira utilizadora, a Clara, dispõe de um saldo exato de $5\text{ €}$ na carteira digital da aplicação. Qual é o número máximo inteiro de minutos que poderá pedalar num único trajeto sem ficar sem saldo suficiente? Justifica a tua dedução interpretando o resultado.

Considera o seguinte sistema de equações lineares, no qual surge um parâmetro desconhecido $k$:

1. a) Sem resolveres o sistema por tentativas, deduz fundamentadamente que valor deve tomar $k$ para que as duas retas que representam geometricamente o sistema sejam paralelas e, portanto, o sistema não tenha qualquer solução (seja um sistema impossível).
2. b) Um estudante afirma: «Se substituirmos o termo independente $7$ por outro número adequado, mantendo o valor de $k$ que acabaste de determinar, o sistema passaria a ter infinitas soluções». Determina se esta afirmação é verdadeira ou falsa, explicando que condição geométrica e algébrica devem cumprir as duas equações para que isso aconteça e que número deveria substituir exatamente o $7$.
3. c) Se for atribuído o valor $k = 1$, quantas soluções terá o sistema? Justifica a tua resposta prestando atenção exclusivamente à relação de proporcionalidade entre os coeficientes das incógnitas, sem necessidade de calcular a solução explícita.