Exercícios: Equações do segundo grau

Identifique quais das seguintes equações são do segundo grau. Para aquelas que forem, escreva-as na sua forma geral ($ax^2 + bx + c = 0$) e indique o valor dos seus coeficientes $a$, $b$ e $c$:

1. a) $3x^2 - 5 = x + 2$

1. b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$

1. c) $5x - 3 = 0$

1. d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$

Calcule a solução destas equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + c = 0$ (lembre-se de que podem ter duas soluções, uma ou nenhuma):

1. a) $x^2 - 49 = 0$

1. b) $2x^2 - 32 = 0$

1. c) $x^2 + 25 = 0$

1. d) $5x^2 = 0$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas colocando o fator comum em evidência. Não se esqueça de que uma das soluções é sempre $x = 0$:

1. a) $x^2 - 7x = 0$

1. b) $3x^2 + 12x = 0$

1. c) $x^2 = 5x$

1. d) $4x^2 - 2x = 0$

Queremos projetar um tapete quadrado para um quarto. Sabendo que a área total que ele deve ocupar é de $144$ $m^2$, quanto deve medir o lado do tapete? Escreve a equação do segundo grau correspondente e resolve-a.

Sem resolver as equações, calcule o valor do discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indique se elas têm duas soluções, uma solução dupla ou nenhuma solução real:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$

1. b) $x^2 - 5x + 4 = 0$

1. c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$

Resolva as seguintes equações do segundo grau completas utilizando a fórmula resolvente:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

1. b) $x^2 + 2x - 8 = 0$

1. c) $x^2 - 10x + 25 = 0$

O produto de um número inteiro pelo seu sucessor é igual a $30$. Traduza este enunciado para uma equação do segundo grau e determine de que números se pode tratar (lembre-se de que existem dois pares possíveis de números).

Determine as dimensões do retângulo da figura sabendo que a sua área é de $15$ $cm^2$. Para isso, elabore uma equação do segundo grau e resolva-a usando a fórmula resolvente.

O Carlos está a resolver a equação do segundo grau incompleta $2x^2 - 10x = 0$ no quadro e faz os seguintes passos:

1) Passa o termo com $x$ para o segundo membro: $2x^2 = 10x$.

2) Divide ambos os membros por $x$: $\dfrac{2x^2}{x} = \dfrac{10x}{x} \Rightarrow 2x = 10$.

3) Isola a incógnita: $x = \dfrac{10}{2} = 5$.

O Carlos conclui que a única solução da equação é $x = 5$.

1. a) Explica que erro algébrico cometeu o Carlos ao dividir por $x$ e que consequência direta isso tem sobre as soluções da equação.
2. b) Resolve a equação corretamente colocando o fator comum em evidência e escreve todas as suas soluções reais.

Inventa tu mesmo duas equações do segundo grau que cumpram as seguintes condições:

1. a) Uma equação incompleta da forma $ax^2 + c = 0$ cujas soluções sejam $x = 4$ e $x = -4$. Explica o raciocínio que seguiste para escolher os valores de $a$ e $c$.
2. b) Uma equação incompleta da forma $ax^2 + bx = 0$ (com $a \neq 0$ e $b \neq 0$) na qual uma das soluções seja $x = 0$ e a outra seja $x = -3$. Mostra o passo a passo de como determinaste os seus coeficientes.

A Câmara Municipal de uma cidade quer instalar uma lona publicitária quadrada na fachada de um pavilhão desportivo para anunciar um evento de eSports. Se a superfície total ocupada pela lona é de $144 m^2$, elabore uma equação do segundo grau e calcule quanto mede o lado dessa lona.

Determine um número inteiro tal que, se lhe for somado o seu próprio quadrado, o resultado obtido seja $42$. Dica: Lembre-se de passar todos os termos para um membro para igualar a equação a zero.

A base de um novo tablet tem forma retangular. Sabemos que a sua base mede $4 cm$ a mais do que a sua altura e que a sua superfície total é de $60 cm^2$. Calcule as dimensões (base e altura) do tablet resolvendo a equação do segundo grau correspondente.

No laboratório de matemática, estamos a analisar o comportamento de diferentes projéteis. Sem resolver as seguintes equações, utilize o discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para indicar quantas soluções reais cada uma possui:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas utilizando o método mais adequado (fatorização por fator comum ou raiz quadrada direta):

1. a) $3x^2 - 27 = 0$
2. b) $x^2 + 5x = 0$
3. c) $2x^2 = 8x$

Um arquiteto paisagista quer cercar um chafariz circular com uma borda de flores. A equação que relaciona as medidas do projeto é $x(x - 8) = -15$, onde $x$ é uma medida em metros. Resolva a equação utilizando a fórmula resolvente para encontrar os possíveis valores de $x$.

Reduza a seguinte expressão à forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ e determine as suas soluções aplicando a fórmula resolvente:

Marta e João estão a jogar "adivinha a equação". Marta diz: "A minha equação tem as soluções $x_1 = 3$ e $x_2 = -5$ e o coeficiente do termo $x^2$ é $1$".

Escreve a equação da Marta na sua forma geral ($x^2 + bx + c = 0$). Dica: Utiliza a forma fatorizada $(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.

Numa horta escolar de uma escola secundária do Alentejo querem vedar um terreno retangular para cultivar hortaliças. O projeto estabelece que o comprimento deve medir mais $4\text{ m}$ do que a largura e que a área total delimitada deve ser de exatamente $60\text{ m}^2$.

1. a) Estima: Antes de propor fórmulas, faz uma estimativa mental com números inteiros simples ($x = 5$, $x = 6$, $x = 7$) e explica entre que dois valores inteiros se deve encontrar a medida real da largura.
2. b) Equaciona e resolve: Designa por $x$ a largura do terreno, escreve a equação do segundo grau na sua forma geral ($ax^2 + bx + c = 0$) e resolve-a através da fórmula resolvente.
3. c) Verifica: Rejeita fundamentadamente a solução matemática que não faça sentido físico, calcula as dimensões definitivas (largura e comprimento) e verifica se o resultado confirma a tua estimativa inicial.

Observa com atenção as três seguintes equações do segundo grau:

1) $4x^2 - 36 = 0$

2) $3x^2 + 15x = 0$

3) $x^2 - 7x + 10 = 0$

A Sofia afirma: «Para não me baralhar com tantas regras diferentes, aplico sempre diretamente a fórmula resolvente $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ em todas as equações».

1. a) Compara a estratégia da Sofia com os métodos específicos para equações incompletas. Explica que método alternativo é mais rápido e reduz o risco de erros na equação 1) e qual na equação 2).
2. b) Resolve as três equações aplicando em cada uma o procedimento mais conveniente e eficiente, justificando a tua escolha em cada caso.

Um programador de jogos digitais está a projetar a fórmula para calcular a experiência crítica de uma personagem. Após simplificar o código, a equação resultante é a seguinte:

Efetue as operações, reduza à forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ e determine os valores de $x$ que fazem a fórmula funcionar.

Vai ser construída uma rampa parabólica para uma nova pista de skate. A trajetória da rampa é $y = x^2 - 10x + k$ e o chão é o eixo $x$ (isto é, $y = 0$). Para que a rampa seja segura e tenha um único ponto de apoio no chão, o discriminante da equação $x^2 - 10x + k = 0$ deve ser igual a zero.

Que valor deve ter o coeficiente $k$ para que a rampa tenha uma única solução (solução dupla)? Depois de encontrares $k$, resolve a equação para encontrar o ponto de apoio.

Uma trotinete elétrica de $130$ cm de comprimento ficou encostada a uma parede. A distância do pé da parede até à base da trotinete é $70$ cm menor do que a altura atingida pela trotinete na parede.

Se chamarmos $x$ à altura da parede, aplica o Teorema de Pitágoras para escrever uma equação do segundo grau e calcula essa altura.

O produto de dois números inteiros consecutivos é igual ao quádruplo do menor mais $10$ unidades. Escreva a equação do segundo grau correspondente e determine quais são esses dois números. Existe mais de um par de números que satisfaça a condição?

Um artista urbano quer pintar um mural quadrado numa parede. No entanto, decide ampliar o projeto original aumentando o seu lado em $2$ metros. Ao fazê-lo, a área total do mural triplica em relação ao projeto original.

Calcule quanto media o lado do mural originalmente (arredonde o resultado às centésimas, se necessário).

Lança-se um pequeno drone de brincar verticalmente para cima, a partir do chão. A altura $h$ (em metros) a que se encontra o drone após um tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão:

O gráfico mostra a trajetória do drone e a altura de $25$ m marcada com uma linha tracejada.

Em que momentos se encontrará o drone exatamente a $25$ metros de altura? Resolve-o de forma algébrica e explica por que obténs duas soluções distintas.

Numa rede social de fotografia, o número de "Gostos" da publicação de hoje de um influencer foi tal que, se subtrairmos $10$ unidades e elevarmos o resultado ao quadrado, obtemos o mesmo valor que multiplicando o número de "Gostos" por $5$ e subtraindo-lhe $50$.

Calcula quantos "Gostos" recebeu hoje essa publicação.

Uma folha de cartão retangular mede $20$ cm de base e $15$ cm de altura. Queremos recortar um quadrado de lado $x$ em cada um dos seus cantos para fabricar uma caixa aberta. Sabendo que a área da base da caixa resultante deve ser de $150$ cm², calcule quanto deve medir o lado $x$ dos quadrados recortados.

Durante as festas das Fallas em Valência, uma empresa de pirotecnia lança um foguete verticalmente a partir do solo. A altura $h$ (em metros) a que se encontra o projétil em relação ao solo em função do tempo decorrido $t$ (em segundos) responde ao modelo físico:

1. a) Modela uma equação do segundo grau para descobrir em que instantes de tempo o foguete se encontra a exatamente $50\text{ m}$ de altura. Resolve-a e interpreta fisicamente por que motivo se obtêm dois valores de tempo diferentes.
2. b) Se o engenho sofresse uma falha e não explodisse no ar, quantos segundos demoraria a embater contra o solo a partir do momento do lançamento? Modela a equação correspondente, resolve-a e rejeita, com justificação matemática e física, a solução não válida.
3. c) O responsável pela segurança afirma que o foguete chegará a atingir os $70\text{ m}$ de altura. Modela a equação correspondente a essa situação e, sem a resolver por completo, utiliza o binómio discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para justificar se a afirmação do responsável é fisicamente possível.

Considera a família de equações do segundo grau $x^2 - 8x + k = 0$, onde $k$ é um número real que podemos alterar.

1. a) Utiliza o binómio discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para deduzir que valor exato deve ter $k$ para que a equação tenha uma única solução real dupla. Qual é o valor dessa solução?
2. b) Determina para que valores de $k$ a equação não tem nenhuma solução real. Interpreta geometricamente o que acontece ao gráfico da parábola $y = x^2 - 8x + k$ relativamente ao eixo X nesse caso.
3. c) Supõe que nos confirmam que uma das soluções da equação é $x = 10$. Sem utilizar a fórmula do binómio discriminante, substitui esse dado para determinar o valor exato de $k$ e, em seguida, calcula fundamentadamente qual é a outra solução da equação.