Exercícios: Problemas com equações

Se ao triplo de um número somarmos $12$, obtemos como resultado $48$. De que número se trata?

Queremos colocar uma moldura de madeira numa fotografia retangular. Sabemos que o comprimento da fotografia mede $5 \text{ cm}$ a mais que a largura. Se para a emoldurar foi necessária uma ripa de $70 \text{ cm}$ de comprimento total (perímetro), quais são as dimensões da fotografia?

Numa loja de jogos eletrónicos, vendeu-se o dobro de consolas portáteis em relação às consolas de mesa. Se no total foram vendidas $18$ consolas, quantas foram vendidas de cada tipo?

O Rodrigo tem $4$ anos a mais do que a sua irmã Matilde. Se a soma das idades de ambos é de $26$ anos, qual é a idade de cada um dos irmãos?

Um pastor tem uma mistura de ovelhas e galinhas no seu curral. Se contarmos as cabeças há um total de $20$, e se contarmos as patas há $64$. Quantas ovelhas e quantas galinhas há no curral? (Lembra-te de que as ovelhas têm $4$ patas e as galinhas $2$).

Marta comprou $3$ t-shirts iguais para a equipa de atletismo e umas calças de desporto que custavam $15 \text{ €}$. Se no total gastou $60 \text{ €}$, quanto custou cada t-shirt?

Determine três números inteiros consecutivos cuja soma seja igual a $54$.

O perímetro de um triângulo isósceles é de $40 \text{ cm}$. Se o lado desigual mede $10 \text{ cm}$, quanto mede cada um dos lados iguais?

Num problema de aula pede-se para calcular daqui a quantos anos a idade de um pai será o triplo da da sua filha. A filha tem atualmente $12$ anos e o pai tem $40$ anos. O Tomás propôs a seguinte equação para o resolver: $40 + x = 3 \cdot 12 + x$.

1. a) Aponta o erro conceptual que o Tomás cometeu e explica por palavras tuas por que razão a sua abordagem contradiz o facto de o tempo passar por igual para ambas as pessoas.
2. b) Escreve a equação correta que representa o problema e resolve-a para descobrires daqui a quantos anos se cumprirá a condição.

Na tua escola vão vedar uma parcela retangular destinada à horta escolar. Pela forma do terreno disponível, o comprimento deve medir exatamente o triplo da largura. No armazém dispõem de uma bobina de rede metálica de $64\text{ m}$ que será gasta na totalidade para rodear todo o perímetro.

1. a) Antes de formulares qualquer equação, faz uma estimativa fundamentada: é possível que a largura da parcela meça $10\text{ m}$ ou mais? Justifica a tua dedução sem calculares o valor exato.
2. b) Define a incógnita, formula a equação correspondente ao perímetro e determina as dimensões exatas da parcela (largura e comprimento).
3. c) Verifica a solução obtida e confirma se coincide com a tua estimativa prévia.

Numa rede social, o número de seguidores da Beatriz é o triplo do do seu irmão Tomás. Se a Beatriz perdesse $150$ seguidores e o Tomás ganhasse $50$, ambos teriam exatamente a mesma quantidade. Quantos seguidores tem cada um atualmente?

Um campo de padel retangular tem um perímetro de $60$ metros. Sabendo que o comprimento do campo mede $6$ metros a mais do que a largura, calcule as dimensões (comprimento e largura) desse campo.

A idade de uma mãe é atualmente o triplo da idade do seu filho. Há $6$ anos, a soma das idades de ambos era de $40$ anos. Qual é a idade do filho e da mãe atualmente?

Marcos comprou um jogo eletrónico e auscultadores para a sua consola. Os auscultadores custaram $12$ € a menos do que o jogo. Se o jogo tivesse um desconto de metade do seu preço original, Marcos teria pago $48$ € pelas duas coisas juntas. Qual é o preço original de cada artigo?

Um agricultor quer vedar um terreno triangular para as suas ovelhas. Sabendo que se trata de um triângulo isósceles, que o lado desigual mede $5$ metros a menos do que cada um dos lados iguais e que foram necessários $40$ metros de vedação no total, quanto mede cada lado do terreno?

Numa snack-bar, misturou-se café da Colômbia, que custa $12$ €/kg, com café do Brasil, que custa $8$ €/kg. Se foram obtidos $20$ kg de mistura e o preço final desta é de $9$ €/kg, quantos quilogramas de café de cada tipo foram utilizados?

Determine três números inteiros consecutivos tais que a soma dos dois primeiros seja $15$ unidades maior que o terceiro número.

Calcule as dimensões de um retângulo sabendo que a sua base é $3$ cm maior que a sua altura e que, se aumentarmos a altura em $2$ cm, a área do novo retângulo aumenta $16$ $cm^2$.

Nos transportes urbanos de uma cidade portuguesa, o bilhete simples diurno de autocarro custa $1,40$ € e o bilhete da linha noturna custa $2,10$ €. Durante o mês passado, a Irene utilizou o autocarro um total de $35$ vezes e o extrato do seu cartão pré-pago refletiu um gasto total de exatamente $57,40$ €.

1. a) Define a incógnita principal indicando com clareza o que representa e expressa o número de viagens noturnas em função dessa incógnita.
2. b) Formula uma equação do primeiro grau que relacione os bilhetes consumidos com o gasto total e resolve-a para saberes quantas viagens de cada tipo a Irene realizou.
3. c) Verifica se os valores numéricos obtidos fazem sentido na vida real tendo em conta o tipo de solução que este problema exige.

Vão conceber um problema de álgebra para o teste da vossa turma. O enunciado deve começar da seguinte forma: «Atualmente, o Mário tem o dobro da idade da sua irmã Clara...». A vossa tarefa consiste em acrescentar uma segunda frase que descreva uma relação entre as idades que ambos terão daqui a $6$ anos (baseada na soma das suas idades futuras), de modo que ao resolver a equação se obtenha obrigatoriamente que a Clara tem hoje $8$ anos.

1. a) Determina que idade terão o Mário e a Clara daqui a $6$ anos sabendo que hoje a Clara tem $8$ anos, e calcula quanto somarão as suas idades nesse momento futuro.
2. b) Redige o enunciado completo e coerente do problema incorporando esse dado numérico.
3. c) Formula a equação a partir do enunciado que escreveste, resolve-a passo a passo e demonstra que a solução é, de facto, $x = 8$.

Um laboratório de perfumes quer criar uma nova fragrância misturando duas essências. A essência A custa $120$ €/litro e a essência B custa $75$ €/litro. Decidiram que para obter um frasco de $250$ ml, o custo da mistura deve ser de exatamente $24,75$ €. Que quantidade de cada essência, medida em mililitros, deve conter o frasco?

Numa competição de robótica, um robô sai da linha de partida a uma velocidade constante de $2$ m/s. Trinta segundos depois, um segundo robô sai em sua perseguição a uma velocidade de $3,5$ m/s. Se a pista tem um comprimento total de $150$ metros antes de chegar a uma zona de obstáculos, o segundo robô conseguirá alcançar o primeiro antes que este entre na zona de obstáculos? Escreva a equação e justifique a resposta calculando a distância de alcance.

Pretende-se projetar um jardim retangular cercado por um caminho de azulejos de $2$ metros de largura constante. O comprimento do jardim é o dobro da sua largura. Sabendo que a área total ocupada pelo caminho de azulejos é de $112$ m$^2$, quais são as dimensões do jardim (largura e comprimento)?

Um número tem dois algarismos que somam $12$. Se invertermos a ordem dos seus algarismos, obtemos um novo número que é $18$ unidades maior do que o número original. Encontra o número original utilizando uma equação com uma única incógnita (Dica: lembra-te de que um número de dois algarismos pode ser escrito como $10x + y$).

A idade de um pai é hoje o triplo da idade do seu filho. Há $6$ anos, a idade do pai era cinco vezes a idade que o seu filho tinha naquele momento. Quantos anos devem passar para que a soma das idades do pai e do filho seja exatamente $100$ anos?

Um reservatório de água é enchido por duas torneiras. A torneira A leva $6$ horas a mais que a torneira B para encher o reservatório separadamente. Se ambas forem abertas ao mesmo tempo, o reservatório enche em exatamente $4$ horas. Calcule quanto tempo a torneira B levaria para encher o reservatório sozinha. (Este problema requer resolver uma equação do segundo grau).

Calcule o perímetro de um triângulo retângulo sabendo que os seus três lados são expressos por três números naturais consecutivos. (Sugestão: utilize o Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$, onde $c$ é o lado maior).

Uma empresa de estafetas utiliza carrinhas e motas. As carrinhas têm $4$ rodas e as motas $2$. No total há $24$ condutores (um por veículo) e $64$ rodas. Por problemas logísticos, o custo de manutenção diário é de $15$ € por carrinha e $6$ € por mota. Se o orçamento total diário de manutenção é de $200$ €, quantos condutores de carrinha deveriam passar, no mínimo, a conduzir motas para não exceder o orçamento sem alterar o número total de veículos?

Durante a festa de fim de ano da escola venderam-se no bar um total de $60$ sandes para angariar fundos para a viagem de finalistas. As sandes de tortilha foram vendidas a $2,20$ € cada uma e as de presunto a $2,80$ €. A receita total foi de $147,60$ €.

Para descobrir quantas sandes se venderam de cada tipo, dois alunos propõem caminhos distintos:

• A Sara diz: «Prefiro usar apenas a incógnita $x$ para as de tortilha, expressar as de presunto como $60 - x$ e resolver uma única equação do primeiro grau».

• O David diz: «É mais organizado usar duas incógnitas, $x$ para as de tortilha e $y$ para as de presunto, e formular um sistema de duas equações lineares».

1. a) Formula e resolve o problema seguindo do início ao fim o método proposto pela Sara.
2. b) Formula e resolve o problema seguindo do início ao fim o método proposto pelo David.
3. c) Compara ambos os procedimentos: que vantagens e desvantagens apresenta cada caminho ao traduzir os dados do enunciado e ao executar as operações algébricas? Justifica qual recomendarias a um colega que costuma ter dúvidas ao isolar a incógnita.

A fatura trimestral de água de uma habitação numa localidade portuguesa inclui uma taxa fixa de serviço de $18,50$ € e um custo por volume consumido. Para incentivar a poupança face à seca, os primeiros $30\text{ m}^3$ de água consumidos no trimestre cobram-se a $1,35$ €/$\text{m}^3$, enquanto qualquer metro cúbico adicional acima desse limite é faturado a um preço penalizado de $2,10$ €/$\text{m}^3$.

Uma família recebeu uma fatura trimestral com um valor total a pagar de $71,60$ €.

1. a) Demonstra numericamente, antes de formulares a equação global, por que razão o consumo desta família teve de superar necessariamente os $30\text{ m}^3$.
2. b) Define a incógnita $x$, formula a equação do primeiro grau que descreve a fatura e calcula quantos metros cúbicos de água a família gastou no trimestre.
3. c) Se no trimestre seguinte a família conseguir reduzir o seu volume de consumo em $\text{m}^3$ para metade, o valor total em euros da fatura também se reduzirá exatamente para metade? Justifica a tua resposta analisando algebricamente a influência do termo fixo e da mudança de escalão tarifário.

Desafio do tema. Como otimizarias o espaço e o consumo da tua área de estudo? Transforma-te em consultor de eficiência doméstica resolvendo este desafio em casa.

1. Recolha de dados: Mede com uma fita métrica o espaço da tua secretária e consulta no site da REN ou de um comercializador de eletricidade o preço médio do kWh (aprox. $0,14$ €/kWh).

2. Energia e tempo: Formula um problema com uma equação do 1.º grau para calcular quantas horas de funcionamento amortizam uma lâmpada LED em comparação com uma tradicional. Em seguida, resolve um sistema de duas equações lineares (por exemplo, com $x+y=24$) para repartir as horas do dia entre estudo e lazer segundo o custo energético previsto.

3. Design geométrico: Desenha uma base protetora retangular para o chão sabendo que o seu comprimento deve medir $0,5$ m mais do que a sua largura ($x$). Formula e resolve uma equação do 2.º grau do tipo $x(x+0,5)=A$ fixando uma área real $A$ adequada ao teu quarto.

4. Relatório final: Elabora um relatório breve (apoiado no GeoGebra para a planta ou numa folha de cálculo para os custos) justificando as tuas decisões com as soluções matemáticas obtidas.

Avaliar-se-á:

• Rigor na formulação e resolução algébrica de equações do 1.º e 2.º grau e sistemas.

• Uso coerente de dados reais e justificação das soluções contextualizadas.

• Qualidade do relatório e aproveitamento de ferramentas digitais (GeoGebra ou Calc/Excel).