Exercícios: Aproximação e arredondamento

No sistema de numeração decimal, cada algarismo tem um valor consoante a posição que ocupa. Dado o número $58,347$, indique qual o algarismo que ocupa cada uma das seguintes posições:

1. a) Os décimos.
2. b) Os centésimos.
3. c) Os milésimos.
4. d) As unidades.

Ao consultar os preços de uma loja online, encontra um acessório para a sua consola que custa $24,9632$ €. Aproxime este preço por truncamento às centésimas (ou seja, aos cêntimos de euro).

Um atleta registou um tempo de $10,438$ segundos numa corrida de 100 metros planos. Arredonde a sua marca às centésimas. O arredondamento foi por excesso ou por defeito?

Na aula de Tecnologia, mediu-se a espessura de uma peça com um paquímetro digital, obtendo-se o valor $3,749$ mm. Aproxime este valor para os décimos de duas formas diferentes:

1. a) Por truncamento.
2. b) Por arredondamento.

Aproxime o número $0,666...$ (dízima periódica simples) das seguintes maneiras:

1. a) Truncando para os centésimos.
2. b) Arredondando para os centésimos.
3. c) Arredondando para os décimos.

Observe a seguinte reta numérica onde foi marcado o ponto $P$. Escreva o número decimal exato que $P$ representa e, em seguida, arredonde esse valor para a unidade mais próxima (para o número inteiro mais próximo).

Se o lado de um quadrado mede $6,8$ cm, estima a sua área arredondando primeiro a medida do lado ao número inteiro mais próximo. Desenha um esquema do quadrado indicando a medida aproximada.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Indique se as seguintes afirmações sobre a aproximação de $4,572$ são verdadeiras ou falsas:

1. a) O truncamento para os décimos é $4,5$.
2. b) O arredondamento para os décimos é $4,5$.
3. c) O arredondamento para os centésimos é $4,57$.
4. d) O truncamento para as unidades é $4$.

Numa aula de Matemática do 2.º ano do ESO, dois alunos tentam aproximar números decimais às centésimas cometendo erros habituais:

• Mateo deve arredondar $12,6449$ às centésimas e raciocina assim: «Como o último algarismo é um $9$, que é maior ou igual a $5$, faz aumentar o algarismo prévio, que passa de $4$ a $5$; esse $5$ volta a fazer aumentar o algarismo prévio; assim vou aplicando a alteração da direita para a esquerda em cadeia até chegar às centésimas e obtenho $12,65$».

• Sofía deve arredondar $8,3250$ às centésimas e afirma: «Como o algarismo a seguir às centésimas é um $5$, o número fica igual em $8,32$, porque perante um $5$ não se deve alterar o algarismo anterior».

1. a) Explica qual é o erro no procedimento de Mateo (conhecido como «arredondamento em cascata») e indica qual é o único algarismo que determina o arredondamento às centésimas.
2. b) Explica o erro na afirmação de Sofía e recorda qual é a convenção matemática internacional quando o algarismo seguinte é um $5$.
3. c) Corrige ambos os exercícios dando o arredondamento correto às centésimas para cada número e indicando se a aproximação obtida é por excesso ou por defeito.

Vais a uma papelaria com uma moeda de $2\text{ €}$ e uma nota de $10\text{ €}$ (um total de $12\text{ €}$). Precisas de comprar um compasso que custa $4,85\text{ €}$, um bloco de desenho de $3,15\text{ €}$ e um conjunto de esquadro e transferidor de $3,90\text{ €}$.

1. a) Sem fazer operações por escrito nem usar calculadora, estima mentalmente o custo total arredondando o preço de cada artigo à unidade (euros inteiros). De acordo com a tua estimativa prévia, o dinheiro chega para pagar?
2. b) Calcula agora o custo total exato da compra e determina o erro absoluto que cometeste na tua estimativa.
3. c) A tua estimativa foi por excesso ou por defeito? Raciocina se na vida quotidiana, ao fazer compras com um orçamento limite, é mais prudente arredondar os preços sempre para cima (por excesso) em vez de usar a regra padrão de arredondamento à unidade mais próxima.

Completa a seguinte tabela no teu caderno para o número $7,4628$. Para cada caso, indica se a aproximação obtida por arredondamento é por defeito ou por excesso.

Um agricultor mediu a área do seu terreno retangular e obteve um valor de $124,3756$ $m^2$.

1. a) Calcule o valor da área aproximando por arredondamento às centésimas.
2. b) Calcule o erro absoluto cometido ao realizar essa aproximação. Lembre-se de que o erro absoluto é $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

Numa loja de informática, os preços de três componentes são $15,99$ €, $32,45$ € e $12,80$ €.

Se decidires estimar o custo total arredondando para a unidade (euros) antes de somar, qual será a diferença entre o preço real total e a tua estimativa? A estimativa foi feita por excesso ou por defeito?

Represente numa reta numérica a dízima periódica simples $2,\widehat{6}$. Para isso:

1. a) Determine entre que dois números inteiros se encontra.
2. b) Indique qual o número que obteria se arredondasse às décimas.
3. c) Qual é o limite do erro máximo que cometemos ao arredondar às décimas?

Um alfaiate precisa de comprar tecido para fazer 7 capas de almofada. Cada capa requer exatamente $1,428$ metros de tecido.

1. a) Calcule a quantidade total de tecido necessária de forma exata.
2. b) Se o alfaiate decidir comprar o tecido arredondando o total obtido às décimas, vai sobrar ou faltar tecido? Calcule a quantidade exata dessa diferença.

Considera o número irracional $\pi \approx 3,14159265...$. Na figura podes ver o valor de cada ordem decimal.

1. a) Efetua um truncamento às décimas de milésima.

1. b) Efetua um arredondamento às décimas de milésima.

1. c) Compara ambos os resultados e explica por que razão, neste caso particular, o arredondamento e o truncamento não coincidem.

O tempo oficial de uma corrida de 100 metros planos é medido em milésimos de segundo. Um corredor levou $10,437$ segundos.

1. a) Se nas notícias só informarem o tempo arredondado às centésimas, que tempo dirão?
2. b) Se outro corredor levou $10,432$ segundos, que tempo lhe atribuiriam seguindo o mesmo critério de arredondamento?
3. c) Seria justo usar esse arredondamento se ambos os corredores competissem na mesma série? Justifique a sua resposta com base na precisão.

Uma empresa de transportes calcula o custo do combustível para uma viagem longa. O preço do gasóleo é de $1,387$ €/litro e o camião consome $32,4$ litros por cada 100 km. A viagem é de 450 km.

1. a) Calcule o custo total exato do combustível para a viagem.
2. b) Se a empresa estimar o custo arredondando o preço do litro às centésimas e o consumo às unidades (litros), qual seria o orçamento estimado?
3. c) Calcule a diferença entre o custo real e o estimado. É uma estimativa segura para a empresa (por excesso) ou arriscada (por defeito)?

Um número decimal positivo desconhecido $x$ tem exatamente três casas decimais significativas (a sua expressão é da forma $a,bcd$). Descobre de que número se trata sabendo que cumpre simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. A sua parte inteira é $6$.

2. O seu truncamento às décimas é $6,3$.

3. O seu arredondamento às centésimas é $6,40$.

4. A soma dos seus três algarismos decimais ($b + c + d$) é exatamente igual a $20$.

1. a) A partir das condições 2 e 3, deduz de forma fundamentada que algarismos devem ocupar obrigatoriamente as posições das décimas ($b$) e das centésimas ($c$). Justifica por que razão o algarismo das centésimas não pode ser um $4$.
2. b) Determina quais são todos os algarismos possíveis para as milésimas ($d$) que fazem com que o arredondamento às centésimas dê $6,40$.
3. c) Utiliza a condição 4 para encontrar o valor definitivo do número $x$ e calcula o erro absoluto que se comete se se substituir esse número pelo seu arredondamento às centésimas.

Numa fábrica de caixilharia metálica cortam-se perfis de alumínio para janelas com uma máquina automática. O operador pode configurar a máquina com dois métodos distintos de aproximação aos milímetros inteiros:

• Método 1 (Truncamento): corta o perfil suprimindo simplesmente as décimas de milímetro.

• Método 2 (Arredondamento): corta o perfil aplicando a regra matemática de arredondamento à unidade de milímetro mais próxima.

Numa encomenda devem cortar-se três peças cujas medidas exatas de projeto são: Peça A: $120,3\text{ mm}$; Peça B: $120,5\text{ mm}$; Peça C: $120,9\text{ mm}$.

1. a) Determina a medida de corte que cada método produzirá para as três peças e calcula o erro absoluto que se comete em cada um dos seis cortes.
2. b) Qual é o erro absoluto máximo que se pode chegar a cometer com o Método 1 para qualquer medida decimal? E com o Método 2?
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois é preferível utilizar na fábrica se se pretender minimizar o erro máximo nos cortes. Raciocina também se algum dos métodos introduz um desvio sistemático (cortar sempre abaixo do requerido).

Um sensor de precisão numa central meteorológica regista a humidade relativa do ar. Por motivos de armazenamento de dados, o sistema informático arredonda automaticamente o valor às centésimas. Se no ecrã aparece um valor de $64,38\,\%$, determina o intervalo exato (valor mínimo e valor máximo) em que se encontra a humidade real captada pelo sensor antes de ser arredondada.

A figura mostra a reta numérica com o valor do ecrã e os dois valores com centésimas que estão ao seu lado.

A sonda espacial Voyager 1 encontra-se aproximadamente a $2,348 \cdot 10^{10}$ quilómetros da Terra. Um astrónomo decide aproximar esta distância truncando o número às unidades de milhar de milhão (isto é, deixando apenas dois algarismos significativos: $2,3 \cdot 10^{10}$ km).

Na figura marcaram-se sobre uma reta ambos os valores, o exato e o aproximado.

Calcula o erro absoluto e o erro relativo cometido com esta aproximação. Expressa o erro relativo em forma de percentagem arredondada às milésimas.

Numa fábrica de componentes eletrónicos, uma peça retangular deve medir $12,456$ mm de comprimento e $8,321$ mm de largura. O operador da máquina arredonda ambas as medidas às décimas antes de efetuar o corte.

1. Calcule a área da peça com as medidas originais (sem aproximar).

2. Calcule a área da peça com as medidas arredondadas.

3. Determine o erro absoluto cometido no cálculo da área devido a esses arredondamentos prévios.

Considera o número, dízima periódica mista, $n = 4,12\widehat{6}$, ou seja, $n = 4,12666\ldots$ (o 6 repete-se indefinidamente).

1. a) Obtém a sua fração geratriz simplificada ao máximo.

1. b) Aproxima o número $n$ por arredondamento às milésimas.

1. c) Calcula a diferença, em valor absoluto, entre o valor real (usando a fração geratriz) e a aproximação da alínea b). A que conceito de erro corresponde este resultado?

Um influencer está a analisar o crescimento dos seus seguidores. Na segunda-feira, tinha $1\,240\,500$ seguidores. Na terça-feira, a sua audiência cresceu $0,125\,\%$.

1. Calcule o número exato de novos seguidores.

2. Se o sistema de estatísticas só mostra números inteiros e utiliza o truncamento, que número de seguidores totais o influencer verá na terça-feira?

3. Qual é o erro relativo (em percentagem) que a plataforma comete ao mostrar o dado truncado em relação ao crescimento real?

Queremos desenhar uma placa quadrada cuja área exata seja de $30$ cm². Como não podemos medir com precisão infinita, aproximamos o lado do quadrado ($\sqrt{30}$) por arredondamento às centésimas.

1. a) Qual é o valor do lado aproximado?

1. b) Se fabricarmos a placa com esse lado aproximado, qual será a sua área real?

1. c) Calcula o erro absoluto cometido na área em relação aos $30$ cm² originais.

Estão a ser comparados dois métodos de aproximação para o número irracional $\pi$.

• O método A utiliza o arredondamento às décimas de milésima ($3,1416$).

• O método B utiliza a fração de Arquimedes $\frac{22}{7}$.

Calcule o erro absoluto de cada método sabendo que o valor de $\pi$ com sete casas decimais é $3,1415926$. Qual dos dois métodos é mais preciso? Justifique a sua resposta comparando os erros.

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar encomendas. O software de navegação estima o tempo de chegada dividindo a distância pela velocidade média.

Para um trajeto de $15$ km a uma velocidade de $35$ km/h:

1. Calcule o tempo exato em horas (na forma de fração e na forma de dízima infinita periódica).

2. O software oferece uma estimativa arredondando o tempo para os minutos inteiros.

3. Calcule o erro relativo que o software comete ao informar o cliente em minutos, comparando-o com o tempo real (exprima ambos os tempos na mesma unidade).

O Canal de Isabel II, entidade pública que gere os recursos hídricos na Comunidade de Madrid, publica no seu boletim oficial que a água armazenada na região ascende a $742,8\text{ hm}^3$ (hectómetros cúbicos), um dado que o sistema informático arredonda às décimas.

1. a) Escreve o intervalo exato $[V_{\text{mín}}, V_{\text{máx}})$ no qual se encontra o volume real de água armazenada antes de ser arredondado.
2. b) Sabendo que $1\text{ hm}^3 = 1\,000\,000\text{ m}^3$ e que a população da Comunidade consome uma média de $1\,250\,000\text{ m}^3$ de água por dia, calcula a diferença em dias de abastecimento entre o valor mínimo e o valor máximo desse intervalo.
3. c) Calcula o limite superior do erro absoluto e o erro relativo percentual máximo (arredondando este último às milésimas) que o dado publicado de $742,8\text{ hm}^3$ pode ter em relação ao volume real.
4. d) A partir dos resultados anteriores, interpreta se um erro de arredondamento às décimas é insignificante ou crucial para o planeamento hidrológico à escala de uma região.

Numa fábrica de embalamento farmacêutico em Espanha realiza-se uma auditoria de qualidade a duas linhas de produção:

• Linha A: embala frascos de soro fisiológico de $20\text{ ml}$. O sensor de enchimento regista uma amostra real de $19,4\text{ ml}$ como $20\text{ ml}$.

• Linha B: embala garrafões de desinfetante hospitalar de $5000\text{ ml}$. O sensor regista uma amostra real de $4980\text{ ml}$ como $5000\text{ ml}$.

Carlos, o auditor estagiário, afirma no seu relatório preliminar:

«A linha A é muito mais precisa e aceitável do que a linha B, já que o erro absoluto cometido na linha A é de apenas $0,6\text{ ml}$, enquanto na linha B o erro absoluto é de $20\text{ ml}$, ou seja, mais de trinta vezes superior».

1. a) Localiza e explica o grave erro concetual no raciocínio de Carlos sobre a precisão dos dois processos.
2. b) Calcula o erro absoluto e o erro relativo percentual de cada uma das duas medições em relação aos seus valores reais (arredonda as percentagens às centésimas).
3. c) Perante os erros relativos, desmente a conclusão de Carlos demonstrando qual das duas linhas está a cometer realmente um erro maior em proporção ao tamanho do que mede.
4. d) Se a regulamentação de qualidade da Agência Espanhola de Medicamentos e Produtos de Saúde (AEMPS) exigir que o erro relativo de enchimento não ultrapasse em caso algum $1\,\%$, determina de forma fundamentada que linha de produção passaria na inspeção e qual deveria ser parada e calibrada novamente.

Desafio do tema. Como é que os decimais influenciam o gasto energético em casa? Vais auditar o custo da eletricidade utilizando dados reais da Red Eléctrica de España (REE).

1. Recolha e conceitos: Entra no site da REE (esios.ree.es) e anota o preço voluntário para o pequeno consumidor ($€/\text{kWh}$) em três períodos do dia de ontem: ponta, cheias e vazio (por exemplo, $0,18342$). Classifica cada número de acordo com o seu tipo: exato, dízima periódica simples ou dízima periódica mista.

2. Fração geratriz e folha de cálculo: Desenha uma tabela numa folha de cálculo. Supõe que um eletrodoméstico com potência de $1,45\text{ kW}$ funciona durante $2,3$ horas no período de ponta. Multiplica estes valores decimais para encontrar o consumo total. De seguida, pega no preço médio do dia, expressa-o como dízima periódica simplificada e obtém no teu caderno a sua fração geratriz para calcular o custo exato sob a forma de fração.

3. Aproximação e relatório: Arredonda e trunca os valores calculados às centésimas ($0,01\text{ €}$, cêntimos). Compara ambos os resultados calculando o erro cometido e redige uma breve proposta (no máximo uma página) com recomendações para reduzir a fatura familiar de acordo com os períodos analisados.

Será valorizado:

• Identificação correta do tipo de decimal e rigor ao determinar a fração geratriz.

• Precisão nas operações com decimais e uso eficiente da folha de cálculo.

• Correção nas técnicas de aproximação (arredondamento e truncamento) e análise de erros.

• Justificação coerente da proposta de poupança a partir dos dados da REE.