Exercícios: Corpos de revolução

Imagina que colas as seguintes figuras planas num palito e que as fazes rodar rapidamente sobre ele. Identifica qual é o sólido de revolução gerado em cada caso:

1. a) Um retângulo que gira sobre um dos seus lados.
2. b) Um triângulo retângulo que gira sobre um dos seus catetos.
3. c) Um semicírculo que gira sobre o seu diâmetro.

No seguinte desenho de um cone, identifique o nome dos elementos assinalados com as letras $r$, $h$ e $g$. Explique brevemente o que cada um deles representa.

Uma lata de refrigerante cilíndrica tem uma altura de $12$ cm e o raio da sua base mede $3$ cm. Desenha de forma esquemática a sua planificação (as figuras que obterias se cortasses a lata e a estendesses sobre uma mesa) e indica as medidas conhecidas no desenho.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Para fabricar um chapéu de festa em forma de cone, precisamos de conhecer a sua geratriz ($g$). Se o chapéu tem uma altura de $8$ cm e um raio na base de $6$ cm, utilize o teorema de Pitágoras para calcular quanto deve medir a geratriz.

Calcule o volume de uma bola de bowling (que é uma esfera perfeita) sabendo que o seu raio mede $11$ cm. Utilize a fórmula $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ e tome como valor de $\pi \approx 3,14$.

Um tubo de bolas de ténis tem forma de cilindro. A base tem um diâmetro de $7$ cm e a altura do tubo é de $22$ cm. Calcule a área da superfície lateral do tubo (sem contar as tampas).

Identifique qual destas planificações não poderia formar nunca um cilindro e explique porquê.

Tens um cilindro e um cone retos. Na figura aparece, com linha tracejada laranja, um corte horizontal (paralelo à base) e, com linha tracejada vermelha, um corte vertical que passa pelo centro das bases (o eixo do corpo).

1. a) Se fizermos o corte horizontal (paralelo à base) num cilindro e num cone, que figura geométrica plana obteremos na secção do corte em cada um?

1. b) Obteremos a mesma figura em cada corpo se o corte for vertical e passar pelo centro das bases? Indica que figura sai no cilindro e qual sai no cone.

O Marcos quer construir com cartolina um chapéu de festa com a forma de um cone para a festa de fim de ano da sua escola. No seu caderno escreve: «Como o cone é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos, para fazer a superfície lateral vou recortar um triângulo isósceles cuja base meça o comprimento da circunferência da base e cuja altura seja a do cone; depois junto os dois lados iguais». Explica de forma fundamentada que erro geométrico comete o Marcos e o que aconteceria se tentasse enrolar esse triângulo. Em seguida, indica o nome da figura geométrica plana que constitui realmente a planificação lateral de um cone e explica que elemento do cone (raio, altura ou geratriz) coincide com o raio dessa figura plana.

Ao descolar com cuidado o rótulo de papel que envolve completamente e sem sobreposição a parede lateral de uma lata cilíndrica de polpa de tomate, verifica-se que tem a forma de um retângulo com as medidas de $31,4\text{ cm}$ de base e $10\text{ cm}$ de altura. Sabendo que esse cilindro é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que coincide com um dos seus lados, deduz de forma fundamentada as dimensões exatas (base e altura) desse retângulo gerador original (adota $\pi \approx 3,14$). Se quiséssemos fabricar também as duas tampas metálicas circulares da lata, qual deve ser o raio exato de cada uma para que fechem o cilindro na perfeição?

Desenhe no seu caderno o corpo de revolução que é gerado ao fazer rodar a seguinte figura plana em torno do eixo indicado. Que nome recebe o corpo obtido? Descreva os seus elementos principais (bases, altura e geratriz).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma marca de refrigerantes quer conceber uma nova lata cilíndrica. O raio da base deve ser de $3,5\text{ cm}$ e a altura da lata de $12\text{ cm}$. Calcule a quantidade de metal (área da superfície total) necessária para fabricar uma destas latas. Arredonde o resultado às centésimas.

Para uma festa de fantasia, a Beatriz está a fazer chapéus em forma de cone. Se cada chapéu tem uma geratriz de $25\text{ cm}$ e o diâmetro da base é de $14\text{ cm}$, qual será a altura do chapéu? Utiliza o teorema de Pitágoras para a encontrares.

Calcule o volume de uma bola de gelado perfeitamente esférica que tem um raio de $3\text{ cm}$. Se o gelado derreter dentro de um recipiente cilíndrico com a mesma base e a mesma altura que a esfera, qual a altura que atingirá o gelado líquido? (Suponha que o volume não se altera ao derreter).

Um reservatório de água tem forma de cilindro com um raio de $2\text{ metros}$ e uma altura de $5\text{ metros}$. Se o reservatório estiver cheio até três quartos da sua capacidade, quantos litros de água contém? (Lembra-te de que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litros}$).

Um cone de sinalização de trânsito tem uma altura de $60\text{ cm}$ e um raio da base de $15\text{ cm}$. Calcule a sua área lateral (a superfície que teria de ser pintada de cor de laranja). Para isso, primeiro deverá encontrar a geratriz do cone usando o teorema de Pitágoras.

Corta-se uma laranja esférica de $10\text{ cm}$ de diâmetro por um plano que passa a uma distância de $3\text{ cm}$ do centro. Ao separar os dois pedaços, a secção do corte é um círculo. Calcule o raio desse círculo de corte aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo sombreado.

Dispomos de um pedaço de cartolina com forma de setor circular como o da imagem. Ao unir os bordos retos, formamos a superfície lateral de um cone. Calcule a área total de tal cone sabendo que o raio do setor (que será a geratriz) é de $10\text{ cm}$ e que o comprimento do arco é de $18,84\text{ cm}$.

Tens uma cartolina retangular que mede exatamente $10\text{ cm}$ de largura por $20\text{ cm}$ de comprimento. Imagina que a fazes rodar $360^\circ$ no espaço: primeiro em torno do seu lado de $10\text{ cm}$ (obtendo o cilindro $A$) e, num segundo ensaio, em torno do seu lado de $20\text{ cm}$ (obtendo o cilindro $B$). Antes de realizares qualquer cálculo, estima de forma fundamentada: qual dos dois cilindros achas que terá uma maior área lateral? E qual achas que encerrará um maior volume interior? Regista a tua intuição inicial. Depois, confirma a tua estimativa calculando a área lateral de ambos os cilindros (deixa o resultado expresso em função de $\pi$) e o volume de cada um através da fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Por último, compara os resultados com a tua previsão e explica matematicamente por que razão o raio tem maior impacto do que a altura no volume de um cilindro.

Numa aula de Educação Tecnológica pretende-se construir à escala um cone de sinalização rodoviária cuja base circular tenha um raio de $9\text{ cm}$ e cuja altura seja de $12\text{ cm}$. Para recortar em cartolina a peça correspondente à superfície lateral, duas alunas propõem caminhos distintos: a Irene calcula primeiro a geratriz $g$ através do teorema de Pitágoras e aplica diretamente a fórmula reduzida da área lateral: $A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g$; por sua vez, a Alba calcula também a geratriz $g$, mas depois descobre a amplitude do ângulo central $\alpha$ que o setor circular planificado deve ter, resolvendo a proporção $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{g}$, e de seguida calcula a área com a fórmula geral do setor circular: $A_{setor} = \frac{\pi \cdot g^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$. Realiza os cálculos passo a passo usando ambos os métodos (adota $\pi \approx 3,14$). Demonstra algebricamente por que razão a fórmula direta da Irene é equivalente ao procedimento da Alba. Se tiveres de desenhar a planificação sobre a cartolina com régua, compasso e transferidor para a montar fisicamente, qual dos dois métodos te fornece a informação indispensável para o traçado? Justifica a tua resposta.

Uma empresa de perfumes está a conceber um novo frasco de vidro. O frasco tem uma base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de raio e $6 \text{ cm}$ de altura. Sobre esta base, apoia-se um tronco de cone cuja base superior tem $1 \text{ cm}$ de raio e a sua geratriz mede $5 \text{ cm}$. Sabendo que a tampa é uma semiesfera perfeita que encaixa exatamente na abertura superior de $1 \text{ cm}$ de raio, calcula a área total exterior do frasco (sem contar com a base de apoio).

Um rolo industrial de aço tem forma de cilindro oco. O diâmetro exterior do rolo é de $20 \text{ cm}$, o diâmetro interior é de $16 \text{ cm}$ e o seu comprimento total é de $50 \text{ cm}$. Se a massa volúmica do aço é de $7,85 \text{ g/cm}^3$, calcula a massa total do rolo em quilogramas. (Lembra-te de que, para determinar o volume do cilindro oco, deves subtrair o volume do cilindro interior ao do exterior).

Para uma exposição de arte, foi construída uma peça de metal formada por um cone que se encaixa perfeitamente dentro de um cilindro com a mesma altura ($12 \text{ cm}$) e o mesmo raio da base ($5 \text{ cm}$). O cone está invertido, de modo que o seu vértice toca o centro da base inferior do cilindro. Calcule o volume de água necessário para encher o espaço vazio que fica entre as paredes do cilindro e o cone.

Um gelado de cornucópia tem forma de cone de $15 \text{ cm}$ de altura e $3 \text{ cm}$ de raio na abertura superior. Coloca-se uma bola de gelado que é uma esfera perfeita de $3,5 \text{ cm}$ de raio. Devido ao tamanho, parte da bola fica fora do cone e parte fica dentro. Se a bola se apoia exatamente na borda circular do cone, qual é a distância do ponto mais baixo da bola de gelado até ao vértice inferior do cone? (Utiliza o teorema de Pitágoras).

Uma boia marítima é formada pela união de dois cones idênticos pelas suas bases. O comprimento total da boia de ponta a ponta é de $2 \text{ metros}$ e o diâmetro da secção circular central onde eles se unem é de $120 \text{ cm}$. Calcule o volume total da boia em litros e a sua superfície exterior total.

Corta-se uma esfera de raio $13 \text{ cm}$ por um plano horizontal que passa a uma distância de $5 \text{ cm}$ do centro. Esse corte gera um círculo (secção). Calcule a área desse círculo de corte e a área da calota esférica superior resultante, sabendo que a superfície de uma calota esférica se calcula como $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, onde $h$ é a altura da calota.

Um reservatório de água tem forma de tronco de cone invertido. O raio da base superior (aberta) é de $4 \text{ metros}$ e o da base inferior (fundo) é de $2 \text{ metros}$. A altura total do reservatório é de $6 \text{ metros}$. Se o reservatório for preenchido até metade da sua altura ($3 \text{ metros}$), utilize a semelhança de triângulos para determinar o raio da superfície da água nesse momento e calcule o volume de água acumulado.

Calcule o volume do sólido gerado ao rodar $360^\circ$ o seguinte polígono irregular em torno do eixo vertical indicado. O polígono é formado por um retângulo de $2 \times 4 \text{ cm}$ e um triângulo retângulo de base $3 \text{ cm}$ unido ao seu lado.

Uma empresa de fornecimentos agrícolas de Santarém encomenda o projeto de um silo vertical para armazenar cereais. A estrutura completa é um sólido de revolução formado por um cilindro inferior com $4\text{ m}$ de diâmetro exterior e $6\text{ m}$ de altura, rematado por uma cobertura cónica superior com a mesma base circular e uma altura de $1,5\text{ m}$. Em primeiro lugar, modela geometricamente a secção plana: descreve com precisão que figura plana poligonal (indicando as medidas de todos os seus lados) gera este sólido completo ao rodar $360^\circ$ em torno do eixo vertical de simetria do silo. Em segundo lugar, para impermeabilizar o exterior, vai aplicar-se uma resina protetora sobre a parede cilíndrica vertical e sobre a cobertura cónica (o chão e a união horizontal interna entre o cilindro e o cone não são tratados). Calcula os metros quadrados totais de superfície que devem ser impermeabilizados (adota $\pi \approx 3,14$). Por último, se cada lata de resina custa $45\text{ €}$, dá para cobrir exatamente $12\text{ m}^2$ e não se vendem latas fracionadas, determina o orçamento mínimo necessário se for obrigatório aplicar duas demãos completas em toda a superfície.

Uma oficina de design educativo fabrica maquetas para explicar a geometria do planeta Terra e as projeções cartográficas. Para construir a superfície lateral de uma cúpula cónica protetora, cortam sobre uma folha de plástico um setor circular com um raio de $20\text{ cm}$ e um ângulo central de amplitude $144^\circ$. Formula e resolve o problema inverso: ao enrolar o setor circular unindo os seus bordos retos para formar o cone, calcula o raio da base circular que se obtém e a altura vertical que esse cone alcançará (arredonda a altura às décimas de centímetro). Por outro lado, para a maqueta esférica do globo terrestre, um aluno da equipa propõe: «Para que as escolas possam recortar e montar na aula uma esfera perfeita de cartolina, podemos imprimir a sua planificação numa única folha retangular contínua, tal como fazemos com o cilindro e o cone». Analisa e explica detalhadamente por que razão a proposta do aluno é um erro geométrico incontornável, baseando-te nas propriedades da planificação da esfera e explicando o que acontece inevitavelmente a qualquer mapa plano do mundo quando tenta representar a superfície terrestre sem a deformar.