Exercícios: Corpos redondos

Imagina que és um designer gráfico e estás a criar um logótipo em 3D. Para isso, fazes girar um retângulo de $5 \text{ cm}$ de base e $12 \text{ cm}$ de altura em torno de um dos seus lados mais compridos (o lado de $12 \text{ cm}$), como mostra a figura.

1. a) Desenha o corpo de revolução que se obtém.

1. b) Identifica como se chamam os seus elementos principais (base e altura) e indica quanto mede cada um.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Para uma festa de fantasia, queres fazer um chapéu cónico. Mediste o raio da base, que é de $9 \text{ cm}$, e a altura do chapéu, que será de $12 \text{ cm}$. Utiliza o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da geratriz ($g$) de que vais precisar para traçar a planificação na cartolina.

Uma famosa marca de batatas fritas utiliza tubos cilíndricos. Se o raio da base do tubo é de $4 \text{ cm}$ e a sua altura é de $20 \text{ cm}$, calcule a área do rótulo de papel que envolve lateralmente o tubo (área lateral). Considere $\pi \approx 3,14$.

Uma bola de basquetebol tem um diâmetro de $24 \text{ cm}$. Qual é a superfície total de couro necessária para a fabricar? Lembra-te de que o raio é metade do diâmetro e utiliza a fórmula da área da esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Uma lata de refrigerante tem forma cilíndrica. O raio da sua base mede $3 \text{ cm}$ e a sua altura é de $12 \text{ cm}$. Calcule o volume de refrigerante que pode conter se for preenchida por completo. Expresse o resultado em centímetros cúbicos ($cm^3$).

Observa as três figuras planas A, B e C. Cada uma gira uma volta completa em torno do eixo tracejado que tem desenhado. Identifica qual delas dá origem a um tronco de cone. Explica brevemente porque escolheste essa opção.

Um cone de gelado tem forma de cone. Se a área da base é de $25 \text{ cm}^2$ e a altura do cone é de $10 \text{ cm}$, calcule o seu volume. Lembre-se de que o volume de um cone é a terça parte do volume de um cilindro com a mesma base e altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

Numa aula de Geografia, observamos um globo terrestre. Se sabemos que o comprimento do equador (circunferência máxima) é de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, qual é o raio desta esfera? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

O Marcos está a desenhar um chapéu de festa com a forma de um cone para o aniversário da sua irmã. No seu caderno anota o seguinte: «O raio da base circular é $r = 5\text{ cm}$ e a altura do chapéu é $h = 12\text{ cm}$. Portanto, para traçar o molde de cartolina preciso que a geratriz meça exatamente $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$, já que a geratriz une a borda da base com a ponta do cone somando ambas as distâncias».\n\na) Explica fundamentadamente que erro conceptual cometeu o Marcos sobre a geometria interna do cone. Que figura geométrica plana relaciona realmente $r$, $h$ e $g$?\nb) Corrige o seu cálculo determinando o comprimento real que deve ter a geratriz $g$ do chapéu.

Uma queijaria artesanal do Alentejo produz queijos com a forma de um cilindro reto. Cada peça inteira tem um diâmetro de $20\text{ cm}$ (raio $r = 10\text{ cm}$) e uma altura de $8\text{ cm}$. Para preparar uma degustação, o mestre queijeiro faz um corte plano limpo e vertical que passa de cima a baixo mesmo pelo centro exato das bases.\n\na) Antes de fazeres qualquer cálculo numérico, estima que figura geométrica plana aparecerá na superfície de corte e se a sua área será maior, menor ou igual a $100\text{ cm}^2$. Justifica a tua previsão a olho nu a partir das dimensões dadas.\nb) Calcula com exatidão as medidas dos lados dessa secção plana e a sua área real. Verifica se a tua estimativa estava correta e explica por que razão um corte perpendicular às bases que passa pelo eixo produz sempre essa figura geométrica.

Uma empresa de refrigerantes quer projetar uma nova lata cilíndrica. O raio da base deve ser de $3,5\text{ cm}$ e a altura da lata de $12\text{ cm}$. Calcule a área total da chapa necessária para fabricar uma lata (sem contar as abas de fecho) e o volume de refrigerante que ela pode conter em mililitros ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

Está a ser fabricada uma tenda provisória para um evento com a forma de um cone perfeito. A altura da tenda desde o chão até ao vértice superior é de $4\text{ m}$ e o diâmetro da base circular é de $6\text{ m}$. Quantos metros quadrados de lona foram necessários para cobrir apenas a parte lateral da tenda? (Dado: Primeiro deverás encontrar a geratriz usando o Teorema de Pitágoras).

Uma famosa marca de chocolates vende os seus bombons numa caixa com a forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diâmetro. Se a caixa está cheia até $75\%$ da sua capacidade com chocolate líquido, quantos centímetros cúbicos de chocolate há no seu interior? Exprime o resultado arredondando às centésimas.

Calcule o volume de uma peça de madeira que foi formada unindo um cilindro e uma semiesfera (meia esfera). O cilindro tem uma altura de $10\text{ cm}$ e o raio da sua base é de $4\text{ cm}$. A semiesfera apoia-se exatamente sobre a base superior do cilindro.

Um cone de gelado tem a forma de um cone. O cone tem uma profundidade (altura) de $12\text{ cm}$ e o raio da abertura é de $3\text{ cm}$. Se o gelado enche o interior do cone e, além disso, sobressai uma bola perfeita na parte superior que tem o mesmo raio do cone, calcule o volume total de gelado.

Observe a planificação de um cilindro. Sabe-se que a área de uma das suas bases circulares é de $28,26\text{ cm}^2$ e que a altura do retângulo lateral é de $10\text{ cm}$. Calcule:

1. a) O raio da base.
2. b) A área lateral do cilindro.
3. c) A área total.

(Use $\pi \approx 3,14$).

Um reservatório de água tem a forma de um cilindro com uma altura de $5\text{ m}$. Se quisermos que o reservatório tenha uma capacidade de $100\,000\text{ litros}$, qual deve ser o raio da base do reservatório? (Lembra-te de que $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ litros}$). Arredonda o raio às centésimas.

Corta-se uma esfera de madeira de $13\text{ cm}$ de raio por um plano horizontal. Se a distância do centro da esfera ao corte é de $5\text{ cm}$, qual é o raio do círculo que se forma na secção do corte? (Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que se forma).

Numa aula de Educação Visual modelam-se figuras de revolução com barro. Ao cortar um cone reto através de um fio esticado com um corte plano vertical que passa pelo seu vértice superior e divide a base circular em duas metades simétricas, a superfície de corte que fica à vista é um triângulo isósceles de $120\text{ cm}^2$ de área cuja base mede $16\text{ cm}$.\n\na) Reconstrói as medidas do cone original: deduz fundamentadamente quanto medem o raio $r$ da sua base e a sua altura $h$, explicando a que elemento do cone corresponde cada lado e cada dimensão do triângulo observado.\nb) Calcula a medida exata da geratriz $g$ desse cone.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) utiliza em muitas das suas estações udómetros com um funil recetor cónico para recolher a água da chuva. A abertura circular superior do funil tem um diâmetro de $24\text{ cm}$ (raio $r = 12\text{ cm}$) e a sua geratriz mede $15\text{ cm}$.\n\na) Modela a secção vertical do funil identificando o triângulo retângulo característico e calcula a profundidade total (altura $h$) do cone.\nb) Durante um episódio de chuva, a água acumulada enche o funil até atingir uma altura de $4,5\text{ cm}$ a partir do vértice inferior (ou seja, exatamente metade da sua altura total). Raciocina geometricamente sobre que figura forma a superfície livre da água e argumenta por que razão o seu raio deve ser exatamente metade do raio da abertura superior ($6\text{ cm}$).

Uma empresa de design de interiores fabrica cúpulas para candeeiros com a forma de tronco de cone. O raio da base superior é de $12\text{ cm}$, o da base inferior é de $20\text{ cm}$ e a altura da cúpula é de $15\text{ cm}$. Se o material especial de tecido custa $18,50\text{ €/m}^2$, calcule o custo do material necessário para fabricar 25 cúpulas iguais (tenha em consideração que a cúpula não tem bases, é apenas a superfície lateral).

Um rolo compressor de aço tem a forma de um cilindro com um diâmetro de $1,2\text{ metros}$ e um comprimento de $2,5\text{ metros}$. O aço tem uma massa volúmica de $7850\text{ kg/m}^3$. Se o rolo é oco e a espessura do aço é de $10\text{ cm}$ em todo o seu contorno (exceto nas faces laterais, que são consideradas desprezáveis), calcule a massa total do rolo em toneladas.

Pretende-se construir um reservatório para cereais que consiste num corpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura e $3\text{ m}$ de raio, terminado na sua parte inferior por um cone com o mesmo raio e uma geratriz de $5\text{ m}$ para facilitar o descarregamento. Calcule o volume total de armazenamento do reservatório e a superfície total de chapa necessária para o fabricar (incluindo a tampa superior plana do cilindro).

Uma esfera de vidro de $15\text{ cm}$ de raio é introduzida num recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diâmetro que contém água. Se a esfera for submersa completamente até ao fundo, quantos centímetros subirá o nível da água no recipiente? Expresse o resultado arredondando às centésimas.

Calcule a área da superfície de um "cone de gelado" composto por um cone reto de $12\text{ cm}$ de altura e $5\text{ cm}$ de raio da base, coroado por uma semiesfera perfeita que se encaixa exatamente na base do cone. Se quisermos embrulhar o gelado (cone e semiesfera) com um papel protetor, qual é a superfície mínima de papel de que precisaremos?

Uma esfera de madeira de $20\text{ cm}$ de raio foi cortada por um plano situado a $12\text{ cm}$ do centro. Ao separar os dois fragmentos, obtêm-se duas calotes esféricas. Calcule a área total (superfície curva mais a base circular plana do corte) da calote esférica menor.

(Dica: utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar o raio do círculo da secção).

Um frasco de perfume tem a forma de um cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. No seu interior, o vidro tem uma forma cónica invertida que chega exatamente até ao fundo e cuja base coincide com a tampa do cilindro. Se o raio do frasco é de $3\text{ cm}$, calcule que percentagem do volume total do cilindro está ocupada pelo perfume quando o frasco está cheio. Essa percentagem depende do raio e da altura escolhidos? Justifique a sua resposta.

Gera-se um sólido de revolução fazendo rodar um triângulo retângulo de catetos $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$ em torno da sua hipotenusa.

1. a) Descreva o sólido resultante (pode desenhá-lo).
2. b) Calcule a área total da superfície do sólido gerado.

(Ajuda: O sólido é formado por dois cones unidos pela base. Vais precisar de calcular a altura do triângulo relativa à hipotenusa).

Uma oficina de maquinação de precisão em Aveiro deve fabricar uma peça cónica de aço temperado. A especificação técnica exige que a geratriz meça exatamente $g = 10\text{ cm}$ e que a altura da peça seja exatamente o dobro do raio da sua base ($h = 2\cdot r$). Para calcular o raio $r$ necessário, dois membros da equipa técnica debatem que caminho seguir:\n\n- O Sérgio propõe o método de tentativa e erro numérico: testar valores decimais sucessivos para $r$ ($4,1\text{ cm}$; $4,2\text{ cm}$; $4,3\text{ cm}$...), calcular em cada caso $h = 2\cdot r$ e verificar através do teorema de Pitágoras qual dá um resultado mais próximo de $g = 10\text{ cm}$.\n- A Irene propõe o método algébrico: substituir a condição $h = 2\cdot r$ diretamente na relação pitagórica do cone ($g^2 = r^2 + h^2$), obtendo uma equação com uma única incógnita ($10^2 = r^2 + (2\cdot r)^2$) para isolar $r$ de forma direta.\n\na) Compara fundamentadamente ambos os métodos: qual dos dois é preferível num ambiente profissional de engenharia e que limitações apresenta o outro método?\nb) Aplica o método algébrico proposto pela Irene: resolve a equação passo a passo, obtém o raio $r$ arredondado às centésimas e calcula a altura $h$ da peça.

Nas costas do Algarve utilizam-se boias marítimas esféricas de sinalização cujo raio exterior é de $R = 50\text{ cm}$. Ao flutuar na água em condições de mar calmo, o plano horizontal da superfície marítima corta a esfera formando um círculo que delimita a linha de água. Em condições normais, o centro da boia fica situado a uma distância vertical de $30\text{ cm}$ acima do nível da água.\n\na) Modela a situação através de um corte vertical que passe pelo centro da esfera e calcula o raio exato da circunferência da linha de água desenhada pela água sobre a boia.\nb) Com o passar dos meses, a acumulação de algas e moluscos sobrecarrega a boia, fazendo com que se afunde mais, de modo que a distância vertical do centro da boia à água passa de $30\text{ cm}$ para apenas $14\text{ cm}$. Um técnico de manutenção afirma: «Como a distância do centro à água se reduziu para menos de metade, o raio do círculo da linha de água na superfície marítima terá ficado mais do dobro do tamanho». Demonstra algebricamente se a sua afirmação é verdadeira ou falsa calculando o novo raio e fundamenta como varia o tamanho de uma secção plana numa esfera à medida que o plano se aproxima do seu centro.