Exercícios: Poliedros

Um arquiteto está a projetar um novo modelo de vitral para um centro comercial com a forma de prisma pentagonal reto. Observa o desenho e responde às seguintes perguntas para o ajudar com o inventário de materiais:

1. a) Quantas faces tem o prisma no total?
2. b) Quantos vértices tem a figura?
3. c) Quantas arestas há no total?

Na aula de Tecnologia, os alunos estão a construir uma estrutura para uma maqueta. Projetaram um poliedro que tem $7$ faces e $10$ vértices. Utiliza o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para calcular quantas varetas (arestas) vão precisar para montar a estrutura completa.

Os dados que se utilizam nos jogos de rol costumam ter as formas dos poliedros regulares. Se estás a jogar com um dado que tem forma de octaedro (observa a figura, onde as arestas ocultas aparecem tracejadas):

1. a) Que forma têm as suas faces?

1. b) Quantas faces tem este dado?

1. c) Quantas arestas se encontram em cada um dos seus vértices?

Classifique as seguintes pirâmides segundo o polígono da sua base e determine se são regulares ou irregulares, justificando a sua resposta:

1. a) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de $5\text{ cm}$ de lado e cujas faces laterais são triângulos isósceles iguais.
2. b) Uma pirâmide cuja base é um retângulo de $4\text{ cm}$ por $6\text{ cm}$.

A Marta quer fabricar uma caixa de cartão para um presente com a forma de cubo. Para isso, desenha diferentes moldes no seu caderno. Indique fundamentadamente qual dos dois seguintes desenvolvimentos planos permite formar um cubo perfeito e qual não.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observa à tua volta na sala de aula ou no teu quarto e nomeia:

1. a) Um objeto que tenha a forma de ortoedro.
2. b) Quantas faces tem esse objeto?
3. c) São todas as faces iguais ou há faces diferentes? Descreve como são.

Assinale qual das seguintes afirmações sobre os poliedros é FALSA e explique o porquê:

1. Um poliedro convexo é aquele que, ao ser apoiado sobre qualquer face, não "afunda".

2. O tetraedro regular é o poliedro que tem o menor número de faces possível.

3. Num poliedro regular, em cada vértice pode concorrer um número diferente de arestas.

4. O cubo é um tipo especial de prisma quadrangular.

Calcule a área total de um cubo de Rubik sabendo que o comprimento de cada uma das suas arestas é de $6\text{ cm}$. Lembre-se de que o cubo tem $6$ faces quadradas idênticas.

O Lucas está a desenhar em Tecnologia uma maquete com a forma de uma pirâmide octogonal regular. No seu caderno escreveu: «Como a base é um octógono, a pirâmide tem $8$ faces no total, $8$ vértices e $8 \cdot 2 = 16$ arestas. Além disso, cumpre-se a fórmula de Euler porque $8 + 8 = 16$». Identifica os três erros conceptuais que o Lucas cometeu, explica de forma fundamentada como se contam na realidade os elementos de uma pirâmide a partir dos lados da sua base e obtém os valores corretos de faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$), verificando com eles o Teorema de Euler.

Para uma exposição de geometria na escola, tens de classificar várias peças de madeira de acordo com as suas propriedades. Tens uma peça que é um poliedro e sabes que tem exatamente $18$ arestas e $8$ faces, mas estás na dúvida se se trata de um prisma ou de uma pirâmide. Determina fundamentadamente que tipo de corpo geométrico é e que polígono forma a sua base. Em seguida, responde de forma justificada: seria possível construir uma pirâmide que tivesse exatamente $15$ arestas no total?

Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces que um octaedro regular e o mesmo número de vértices que o número de arestas de um cubo. Utiliza o Teorema de Euler para determinar quantas arestas tem este corpo geométrico. Representa esquematicamente um poliedro que cumpra estas características (por exemplo, um prisma hexagonal).

Uma conhecida marca de chocolates vende os seus produtos em caixas com a forma de um prisma triangular regular. Se o lado do triângulo da base mede $6 \text{ cm}$ e a altura do prisma é de $20 \text{ cm}$, calcula a área total de cartão necessária para fabricar uma caixa. (Lembra-te de que primeiro deves encontrar a altura do triângulo da base usando o Teorema de Pitágoras).

Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede $10 \text{ cm}$ e cuja aresta lateral mede $13 \text{ cm}$. Para o resolveres, deverás calcular primeiro o apótema da pirâmide e depois a sua altura utilizando o Teorema de Pitágoras.

Um escultor quer criar uma peça esculpindo um cubo de madeira de $10 \text{ cm}$ de aresta. Se retirar os quatro cantos superiores cortando pelos pontos médios das arestas que concorrem em cada vértice (na figura, os cortes aparecem a laranja), conta com cuidado quantas faces, vértices e arestas terá a figura resultante. Verifica se continua a cumprir o Teorema de Euler.

Numa exposição de arte moderna, há uma montra com a forma de um ortoedro cujas dimensões são $80 \text{ cm}$ de comprimento, $60 \text{ cm}$ de largura e $1 \text{ m}$ de altura. O artista quer colocar uma haste metálica que atravesse a montra desde um vértice inferior até ao vértice oposto superior. Qual deve ser o comprimento exato da haste?

Pretende-se pintar o exterior de uma tenda publicitária que tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular. O lado do hexágono da base mede $4 \text{ m}$ e o apótema da face lateral mede $7 \text{ m}$. Se a lata de tinta cobre $10 \text{ m}^2$ e o chão da tenda não é pintado, quantas latas de tinta devem ser compradas, no mínimo?

Calcule o volume de um prisma de base trapezoidal (um reservatório de água). As bases do trapézio medem $2 \text{ m}$ e $3 \text{ m}$, a sua altura é de $1,5 \text{ m}$ e o comprimento total do reservatório (altura do prisma) é de $5 \text{ m}$. Se o reservatório está cheio até metade, quantos litros de água contém?

É possível construir um poliedro regular cujas faces sejam hexágonos regulares? Justifique a sua resposta analisando quantos graus somariam os ângulos das faces que concorrem num mesmo vértice. Repita o raciocínio para explicar por que só existem cinco poliedros regulares convexos.

Para as festas da cidade de um município do Alentejo, a câmara municipal vai encomendar uma tenda para bancas de artesanato com a forma de um prisma decagonal regular (base de $10$ lados). A estrutura é montada com barras de alumínio para as arestas e peças de fixação esféricas nos vértices. Antes de consultar o catálogo técnico, o vereador afirma a olho: «Para essa tenda vamos precisar de cerca de $40$ fixações e perto de $50$ barras de alumínio». Primeiro, faz uma estimativa mental rápida e explica se os valores do vereador te parecem coerentes ou desproporcionados. Depois, calcula com exatidão quantas faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$) tem o referido prisma, verifica que se cumpre o Teorema de Euler e avalia o erro da estimativa inicial do vereador.

Um gabinete de arquitetura de Braga projeta um pavilhão bioclimático para um parque público. O edifício tem a forma de um prisma hexagonal reto encimado na sua parte superior por um telhado em forma de pirâmide hexagonal, cuja base coincide exatamente com a base superior do prisma (de modo que essa superfície fica no interior e não conta como face exterior). Modela matematicamente este edifício como um único poliedro e responde:

1. a) Quantas faces exteriores tem no total e que forma geométrica tem cada uma?
2. b) Quantos vértices e quantas arestas compõem a estrutura exterior completa?
3. c) Verifica se este poliedro composto cumpre o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) e explica porquê.

Um estúdio de design de videojogos está a criar um novo "power-up" com forma de poliedro convexo. Os artistas decidiram que o objeto tenha exatamente $14$ faces e $24$ arestas.

1. a) Segundo o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$), quantos vértices deve ter o modelo 3D para que seja geometricamente possível?

1. b) Se o poliedro final for um cuboctaedro (um poliedro formado por quadrados e triângulos equiláteros) e sabemos que em cada um dos seus vértices concorrem exatamente $4$ arestas, verifica se o teu resultado da alínea a) coincide com a estrutura real deste corpo. Para isso, conta as arestas a partir do número de vértices e das arestas que chegam a cada um.

Está a montar um computador por peças e quer instalar uma placa gráfica de última geração. A caixa do computador (a torre) é um paralelepípedo retângulo de dimensões $45\text{ cm}$ de altura, $20\text{ cm}$ de largura e $40\text{ cm}$ de comprimento. A placa gráfica é muito comprida e quer saber se caberia se fosse colocada na diagonal, unindo um vértice inferior da parte da frente com o vértice superior oposto da parte de trás. Calcule o comprimento da diagonal do paralelepípedo e determine se uma placa de $62\text{ cm}$ de comprimento caberia no seu interior.

Uma empresa de joalharia artesanal quer fabricar um pingente de prata com a forma de um octaedro regular. Se cada aresta do octaedro mede $12\text{ mm}$, calcule a superfície total de prata de que precisarão para cobrir o pingente (a área total). Dica: Lembra-te de que um octaedro regular é formado por oito triângulos equiláteros iguais. Vais precisar de calcular primeiro a altura de um desses triângulos usando o Teorema de Pitágoras.

Um arquiteto projetou uma claraboia para um centro comercial com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A base é um quadrado de $6\text{ m}$ de lado. Se a área da superfície de vidro (a área lateral da pirâmide) é de $60\text{ m}^2$, calcule a altura real da pirâmide desde o centro da base até ao vértice. Nota: Tem cuidado, primeiro deverás encontrar o apótema da pirâmide por meio da área lateral e depois aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura.

Imagine um tetraedro regular e um octaedro regular, ambos com o mesmo comprimento de aresta $a$. Um cientista afirma que, se unirmos dois desses poliedros por uma das suas faces, o número de faces expostas ao exterior do novo corpo será sempre a soma das faces de ambos menos duas.

1. a) Calcule o número de faces, vértices e arestas do corpo resultante de unir dois tetraedros por uma face.
2. b) O Teorema de Euler continua a ser válido neste novo poliedro resultante? Justifique a tua resposta.

Para um projeto de tecnologia, tens de construir uma coluna de som com a forma de um prisma hexagonal regular. O perímetro da base hexagonal é de $42\text{ cm}$ e a altura da coluna é de $30\text{ cm}$. Para que o som seja o ideal, deves revestir as paredes laterais com um tecido especial que custa $15\text{ €/m}^2$. Calcula o custo total do tecido necessário para revestir a superfície lateral de cinco colunas de som iguais. (Lembra-te de fazer as conversões de unidades de $\text{cm}^2$ para $\text{m}^2$).

Um cristalógrafo está a estudar uma pedra preciosa que tem a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular. A base inferior é um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado, a base superior é um quadrado de $4\text{ cm}$ de lado, e a altura do tronco (distância entre as bases) é de $4\text{ cm}$.

1. a) Calcule o comprimento do apótema das faces laterais (que são trapézios).
2. b) Calcule a área total da pedra preciosa.

Pretende-se fabricar uma caixa metálica sem tampa que tenha a forma de um cubo e cuja diagonal meça exatamente $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calcule quanto deve medir a aresta dessa caixa.
2. b) Se o metal utilizado pesa $2,5\text{ gramos}$ por cada $\text{cm}^2$, qual será a massa total da caixa depois de fabricada? (Lembre-se de que a caixa não tem tampa superior).

O Museu das Ciências de Coimbra encomenda uma escultura poliédrica oca formada por $32$ faces: $12$ pentágonos regulares e $20$ hexágonos regulares. Em cada vértice do poliedro concorrem exatamente $3$ arestas. Para calcular a quantidade de barras (arestas) e conectores (vértices) que é preciso encomendar à fábrica, dois alunos propõem métodos diferentes:

• Método A (Sofia): Calcular primeiro as arestas multiplicando o número de faces pelos seus lados e dividindo por $2$ porque cada aresta pertence a duas faces: $A = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 2$. Depois, isolar os vértices usando a relação de Euler ($C + V = A + 2$).

• Método B (Marcos): Calcular primeiro os vértices tendo em conta que cada pentágono contribui com $5$ cantos e cada hexágono com $6$, mas cada vértice é partilhado entre $3$ faces: $V = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 3$. Depois, calcular as arestas multiplicando $V$ por $3$ e dividindo por $2$.

Avalia a validade de ambos os métodos e explica qual te parece mais seguro se não te lembrasses da fórmula de Euler. Por fim, calcula o número exato de faces, arestas e vértices da escultura e verifica que ambos os procedimentos conduzem ao mesmo resultado.

Num concurso escolar de robótica em Lisboa, uma equipa apresenta o relatório técnico de uma carcaça protetora. Afirmam ter projetado um poliedro convexo fechado composto exclusivamente por $7$ faces triangulares.

1. a) Sabendo que cada triângulo tem $3$ lados e que cada aresta do poliedro é partilhada por exatamente duas faces contíguas, calcula quantas arestas deveria ter esse suposto corpo. Que problema matemático encontras no resultado obtido?
2. b) Se a carcaça for redesenhada para ter $8$ faces triangulares, quantas arestas terá? Calcula quantos vértices deve ter obrigatoriamente aplicando o Teorema de Euler.
3. c) Generaliza o raciocínio: demonstra por que razão é geometricamente impossível construir um poliedro fechado cujas faces sejam exclusivamente um número ímpar de triângulos.