Exercícios: Polinômios

No mundo dos jogos eletrónicos, o sistema de pontuação de um novo jogo de plataformas funciona da seguinte maneira: por cada moeda de ouro apanhada recebe-se uma quantidade de pontos desconhecida $x$, mas por cada inimigo derrotado recebe-se o triplo dos pontos que por uma moeda. Ao terminar o nível, é concedido sempre um bónus fixo de $50$ pontos de experiência.

Escreva a expressão algébrica que representa a pontuação total de um jogador que obteve $12$ moedas e derrotou $4$ inimigos.

Copie e complete a seguinte tabela no seu caderno para identificar os elementos fundamentais destes monómios:

Para poder somar ou subtrair monómios, estes devem ser semelhantes. Seleciona da seguinte lista quais são semelhantes ao monómio $5x^2y$:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Um estafeta de pizzas recebe um salário fixo de $15$ euros por cada tarde de trabalho, mais um valor extra de $3$ euros por cada pedido entregue ao domicílio. A expressão que calcula os seus ganhos é $G = 15 + 3x$, onde $x$ é o número de pedidos.

Calcule o valor numérico dos seus ganhos (o total que receberá) se numa tarde conseguir entregar $8$ pedidos.

Analise o seguinte polinómio e responda às perguntas:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) Qual é o grau do polinómio?
2. b) Como se chama o termo que não tem variável (o $-8$)?
3. c) Quantos termos tem? Segundo o número de termos, é um monómio, binómio ou trinómio?
4. d) Qual é o coeficiente do termo de maior grau?

Encontra a expressão algébrica simplificada que representa o perímetro da seguinte moldura retangular para fotografias:

Dados os seguintes polinómios, realize a soma $A(x) + B(x)$ e reduza os termos semelhantes:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Os casos notáveis permitem-nos calcular rapidamente algumas potências. Utilize a fórmula do quadrado de uma soma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desenvolver a seguinte expressão:

$(x + 2)^2$

O Marcos tem de calcular o valor numérico do polinómio $P(x) = 3x^2 - 4x + 5$ para $x = -2$. No seu caderno escreve a seguinte resolução:

Ao terminar, o Marcos acrescenta: «Além disso, é um polinómio incompleto porque não tem termo com $x^3$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros cometidos pelo Marcos (um aritmético no cálculo das potências ou sinais e outro conceptual na classificação do polinómio).
2. b) Realiza o cálculo correto para encontrar $P(-2)$ e classifica o polinómio indicando o seu grau, se é completo ou incompleto, o seu coeficiente principal e o seu termo independente.

Delineia um polinómio $P(x)$ que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O seu grau é $3$.

2. É um polinómio incompleto e não contém termo de grau $1$.

3. O seu coeficiente principal é $-2$.

4. O seu termo independente é $16$.

Assim que tiveres escrito o teu polinómio:

1. a) Verifica se o número $x = 2$ é uma raiz do teu polinómio calculando o seu valor numérico $P(2)$ e justificando a tua conclusão a partir da definição de raiz.
2. b) Sem realizar substituições numéricas longas, fundamenta por que motivo é impossível que o número $x = 0$ seja uma raiz deste polinómio apoiando-te no valor do seu termo independente.

Numa loja de tecnologia, o preço de um telemóvel de gama média é $x$ euros. Um telemóvel de gama alta custa o dobro do de gama média mais 150 €, e um tablet custa 80 € a menos do que o telemóvel de gama média.

1. a) Escreva a expressão algébrica que representa o custo total da compra de dois telemóveis de gama média, um de gama alta e três tablets.
2. b) Reduza a expressão obtida para que seja um polinómio na sua forma mais simples.
3. c) Se o preço do telemóvel básico for $x = 200$ €, quanto custará o pedido total?

Dado o seguinte polinómio:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indique fundamentadamente os seguintes elementos:

1. a) O grau do polinómio.
2. b) O coeficiente do termo de grau 2.
3. c) O termo independente.
4. d) O valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Lança-se um pequeno foguete de água a partir de uma plataforma. A altura $h$ (em metros) em que o foguete se encontra em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pelo polinómio:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) A que altura se encontra a plataforma de lançamento? (Dica: calcule $h(0)$).
2. b) A que altura estará o foguete 2 segundos após ser lançado?
3. c) O foguete estará mais alto aos 3 segundos ou aos 4 segundos? Justifique a sua resposta calculando os valores numéricos correspondentes.

Efetue as seguintes operações com polinómios e reduza o resultado final:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Calcule a área da região sombreada da seguinte figura. Exprima o resultado como um polinómio reduzido em função de $x$.

Multiplique os seguintes polinómios utilizando a propriedade distributiva e simplifique os termos semelhantes:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Aplique as fórmulas dos casos notáveis para desenvolver as seguintes expressões:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Extrair o fator comum é o passo inverso da propriedade distributiva. Utiliza esta técnica para simplificar as seguintes expressões algébricas:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Uma empresa pública de aluguer de bicicletas elétricas numa cidade portuguesa aplica uma tarifa mensal aos não assinantes que depende do tempo de utilização. O montante é calculado através do polinómio $C(t) = 0,05t^2 + 1,2t + 8$, onde $t$ representa o número de horas totais de utilização por mês e $C(t)$ é o custo resultante em euros.

1. a) Interpreta o que representa na vida real o termo independente do polinómio calculando o valor numérico $C(0)$.
2. b) Um utilizador regista $10$ horas de utilização no mês de abril e duplica o seu tempo para $20$ horas no mês de maio. Calcula o custo da fatura em cada um desses dois meses.
3. c) Observando os resultados de ambos os meses e os termos do polinómio, justifica algebricamente por que razão, ao duplicar as horas de utilização, o custo total não duplica exatamente, indicando que termo é o responsável por este efeito.

Num projeto escolar de tecnologia, lança-se verticalmente um pequeno foguete de água. A sua altura em metros acima do solo decorridos $t$ segundos do lançamento é dada pelo polinómio $h(t) = -5t^2 + 29t + 6$.

1. a) Sem calcular o valor exato, faz uma estimativa arredondando mentalmente o coeficiente $29$ para $30$ para prever se aos $t = 2$ segundos a altura do foguete estará acima ou abaixo dos $40$ metros. Explica numa frase como fundamentaste a tua estimativa.
2. b) Calcula agora o valor numérico exato de $h(2)$ e compara-o com a tua previsão anterior. Consideras que a tua estimativa foi adequada e útil? Justifica-o.
3. c) Ao calcular $h(6)$ obtém-se exatamente $0$. Interpreta o que significa fisicamente este resultado para o voo do foguete e que nome matemático recebe o número $6$ relativamente a este polinómio.

Um designer de jogos eletrónicos está a criar um padrão de ladrilhos para o piso de uma masmorra. No nível 1 usa um ladrilho central e, em cada nível seguinte, cerca o padrão anterior com uma nova camada de ladrilhos de cor diferente. O número total de ladrilhos no nível $n$ segue uma sucessão lógica.

Observe a figura que representa os três primeiros níveis e:

1. Encontre o polinómio $P(n)$ que expressa o número total de ladrilhos necessários para construir até ao nível $n$.

2. Calcule quantos ladrilhos terá um piso de nível $n = 12$.

Uma empresa de entregas cobra pelo envio de encomendas de acordo com a seguinte tarifa: um custo fixo de gestão de $G$ euros, mais um preço de $2$ € por cada quilograma de peso, e um suplemento de "distância premium" que equivale ao quadrado do peso da encomenda dividido por 4.

1. Escreve o polinómio $C(x)$ que representa o custo total do envio de uma encomenda de $x$ quilogramas.

2. Se os custos de gestão forem $G = 5$ € e quisermos enviar uma encomenda de $8$ kg, qual será o custo total?

3. Se a empresa decidir duplicar o custo por quilograma e mantiver os restantes parâmetros, escreve o novo polinómio $C_2(x)$.

Calcule a área da região sombreada na figura seguinte, expressando o resultado como um polinómio reduzido em função de $x$. A figura exterior é um quadrado de lado $3x + 2$ e o recorte interior é um retângulo de base $x + 4$ e altura $x - 1$.

Efetue as operações e simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica utilizando os casos notáveis e a colocação do fator comum em evidência:

Indique se o resultado final é um número constante ou se depende do valor de $x$.

Dado o polinómio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determine o valor do coeficiente $k$ sabendo que o valor numérico do polinómio para $x = 2$ é igual a zero ($x = 2$ é uma raiz do polinómio). Depois de encontrar $k$, calcule o valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Um parque tem a forma de um retângulo. Originalmente, a sua base mede $x$ metros e a sua altura mede $5$ metros a menos que a base. A Câmara Municipal decide ampliar o parque aumentando a base em $3$ metros e a altura em $2$ metros.

1. Escreva o polinómio $A_1(x)$ da área do parque original.

2. Escreva o polinómio $A_2(x)$ da área do parque ampliado.

3. Determine o polinómio que representa o aumento de área $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ e simplifique-o.

Efetue a seguinte operação combinada com polinómios e reduza os termos semelhantes:

Extrai fator comum e utiliza os casos notáveis para decompor em fatores os seguintes polinómios (fatorização).

Lembra-te dos casos notáveis: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ e $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$

Para verificar se os números $x = 3$ e $x = -1$ são raízes do polinómio expresso de forma fatorizada $P(x) = (x - 3) \cdot (x^2 + 5x + 4)$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• Estratégia do Daniel: Multiplicar todos os termos para obter o polinómio na sua forma desenvolvida, ordenada e reduzida, e depois substituir $x = 3$ e $x = -1$.

• Estratégia da Helena: Substituir diretamente os valores em cada parêntese separadamente sem desenvolver a multiplicação, verificando se algum dos fatores dá zero.

1. a) Aplica a estratégia da Helena para verificar se $x = 3$ é raiz de $P(x)$, mostrando os passos seguidos.
2. b) Aplica a estratégia que considerares mais conveniente para verificar se $x = -1$ é raiz de $P(x)$.
3. c) Compara ambos os caminhos e argumenta qual dos dois métodos é mais eficiente (menor número de cálculos e menor risco de erro nos sinais). Em que propriedade matemática da multiplicação se apoia a estratégia da Helena para evitar calcular o segundo parêntese quando o primeiro é igual a zero?

Considera a família de polinómios de segundo grau descrita pela expressão $P(x) = x^2 + b \cdot x + 15$, onde $b$ representa um número inteiro que não conhecemos.

1. a) Sabendo que a representação gráfica deste polinómio interseta o eixo horizontal $X$ no ponto de abcissa $x = -3$, deduz fundamentadamente o valor que deve ter o coeficiente $b$. (Recorda a relação entre os pontos de interseção com o eixo $X$ e os zeros do polinómio).
2. b) Com o valor de $b$ que obtiveste, escreve a expressão definitiva do polinómio e verifica se também interseta o eixo $X$ no ponto $x = -5$.
3. c) Um colega afirma que, se modificarmos o valor de $b$ por outro número inteiro adequado, poderíamos conseguir que $x = 0$ fosse um zero deste polinómio. Demonstra algebricamente que o teu colega está enganado e explica que alteração concreta teria de ser feita no polinómio para que $x = 0$ pudesse ser um zero.