Exercícios: Operações com polinômios

Num videojogo de estratégia, o inventário está dividido em dois baús. O conteúdo do primeiro baú é dado pelo polinómio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ e o do segundo por $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, onde $x$ representa o nível de raridade dos objetos. Calcule o polinómio total que representa a soma dos dois baús: $P(x) + Q(x)$.

Para organizar um evento de "e-sports", uma empresa utiliza a expressão $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ para calcular os seus gastos e $I(x) = 15x^2 + 2x$ para calcular a sua receita (onde $x$ é o número de patrocinadores). Encontra o polinómio que representa o lucro líquido, sabendo que o lucro é a diferença entre receita e gastos: $I(x) - G(x)$.

Calcule o valor numérico do polinómio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ para os seguintes casos:

• a) Para $x = 0$

• b) Para $x = 1$

Observe o seguinte esquema de uma pista de skate retangular. Escreva o polinómio reduzido que representa o perímetro da pista em função de $x$.

Realiza a seguinte operação multiplicando o monómio pelo polinómio (aplicando a propriedade distributiva):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Identifique os elementos principais do seguinte polinómio:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Qual é o seu grau?

• b) Qual é o coeficiente principal?

• c) Qual é o termo independente?

• d) Quantos termos tem?

Um jovem designer está a criar um logótipo para a sua marca de roupa. O logótipo central é um retângulo como o da figura. Encontra o polinómio que representa a área total da figura.

Coloque em evidência o fator comum nas seguintes expressões algébricas simples:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

A Beatriz resolveu no seu caderno a seguinte subtração de polinómios: $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. No passo final escreveu como resultado $3x^2 - 10x + 3$. Explica que dois erros cometeu com os sinais ao aplicar a regra da subtração de polinómios, detalha por que razão ocorrem e escreve o desenvolvimento correto passo a passo até chegares ao polinómio reduzido final.

Pede-se-te que calcules o produto dos polinómios $P(x) = 3x^2 - 2$ e $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$. Responde às seguintes questões antes e depois de fazeres a multiplicação completa:

1. a) Antes de multiplicares termo a termo, deduz qual deve ser o grau do polinómio resultante $P(x) \cdot Q(x)$ e qual deve ser o seu termo independente. Explica o teu raciocínio.
2. b) A tua colega Beatriz afirma, sem olhar para as contas, que o resultado é $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Sem desenvolveres o produto, que duas razões imediatas baseadas na tua dedução anterior demonstram que o resultado dela é impossível?
3. c) Calcula o produto completo aplicando a propriedade distributiva, reduz os termos semelhantes e verifica se a tua estimativa da alínea a) estava correta.

Numa loja de videojogos, o inventário de três categorias diferentes é expresso pelos seguintes polinómios, onde $x$ representa o número de lançamentos novos deste mês:

• Ação: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Aventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Estratégia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calcule as seguintes expressões simplificando o resultado:

1. a) O total de videojogos na loja: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) A diferença entre os jogos de Ação e os de Aventura: $A(x) - B(x)$
3. c) Quantos jogos de Estratégia restariam se fosse vendida metade de um lote de tamanho $4x^2 - 2x$? Calcule: $C(x) - (2x^2 - x)$

Calcule a área da zona sombreada na seguinte figura. A figura representa uma placa metálica retangular da qual foi retirado um retângulo interior para deixar espaço para um componente eletrónico. Expresse o resultado como um polinómio em função de $x$.

Dados adicionais:

• Base exterior: $5x + 3$

• Altura exterior: $3x$

• Base interior: $x + 2$

• Altura interior: $x$

Realize as seguintes multiplicações de polinómios e reduza os termos semelhantes:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Dada a seguinte expressão combinada com polinómios, efetue as operações e simplifique até obter um único polinómio ordenado do maior para o menor grau:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Um arquiteto projeta uma praça quadrada de lado $L = 2x + 5$ metros. No centro, decide colocar um chafariz também quadrado de lado $l = x - 3$ metros.

1. a) Desenvolva a expressão da área da praça utilizando os casos notáveis: $(2x + 5)^2$
2. b) Desenvolva a expressão da área do chafariz utilizando os casos notáveis: $(x - 3)^2$
3. c) Calcule o polinómio que representa a superfície da praça que fica livre para caminhar (Área da praça - Área do chafariz).

Aplique os casos notáveis para desenvolver as seguintes expressões diretamente, sem realizar a multiplicação passo a passo:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Colocar em evidência o fator comum é o processo inverso da propriedade distributiva. Analise as seguintes expressões algébricas e coloque em evidência todos os fatores comuns possíveis (números e letras):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

Num laboratório, o crescimento de uma população de bactérias $A$ segue o polinómio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, onde $t$ é o tempo em horas. Outra população $B$ cresce segundo o polinómio $B(t) = t^2 - 5t$.

Se os cientistas precisam de saber o comportamento de uma cultura mista definida pela operação $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, qual é o polinómio simplificado que representa essa população $C$?

Ao apagar o quadro no final da aula de matemática, desapareceu o polinómio $P(x)$ que completava a seguinte igualdade: $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Sem atribuíres números ao acaso, isola algebricamente $P(x)$ num dos membros da igualdade.
2. b) Desenvolve os produtos e reduz os termos semelhantes para obteres o polinómio $P(x)$ na sua forma ordenada e simplificada.
3. c) Verifica que a tua resposta está correta, substituindo o polinómio $P(x)$ que obtiveste no primeiro membro da igualdade original e verificando que coincide com o segundo membro.

O serviço municipal de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa calcula os seus custos e receitas mensais por cada bicicleta em função de $x$, onde $x$ representa as centenas de quilómetros percorridos no mês (por exemplo, $x = 2$ equivale a $200\text{ km}$):

• Custo de bateria e motor: $B(x) = 2x^2 + 15x + 30$ (em euros).

• Custo de travões e pneus: $F(x) = x^2 + 25x + 10$ (em euros).

• Receitas por sobretaxas de utilização intensiva: $I(x) = 5x \cdot (x + 4)$ (em euros).

1. a) Modela o gasto total de manutenção de uma bicicleta, $G(x)$, somando $B(x)$ e $F(x)$ numa única expressão reduzida.
2. b) Que significado económico real tem o termo independente de $G(x)$ se uma bicicleta passar todo o mês estacionada na estação ($x = 0$)?
3. c) Modela o saldo líquido da bicicleta através do polinómio $N(x) = I(x) - G(x)$. Realiza a subtração prestando especial atenção aos sinais e simplifica o resultado.
4. d) Se uma bicicleta percorrer $300\text{ km}$ num mês ($x = 3$), calcula o valor numérico $N(3)$ e interpreta se nesse mês a bicicleta gera saldo positivo (lucro) ou negativo (prejuízo) por estes conceitos.

Calcule a seguinte expressão reduzindo ao máximo o polinómio resultante. Preste atenção especial à hierarquia das operações e ao uso dos parênteses com sinais negativos à frente:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

No centro de um jardim quadrado de lado $2x + 5$ metros, foi instalada uma piscina retangular cujas dimensões são $x + 2$ metros de comprimento e $x - 1$ metros de largura. Determine o polinómio que representa a área da zona de relvado (a parte do jardim não ocupada pela piscina).

Determine o polinómio desconhecido $Q(x)$ na seguinte igualdade:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

Em seguida, calcule o valor numérico de $Q(x)$ para $x = -2$.

Uma empresa de entregas projeta caixas com formato de paralelepípedo retângulo. As dimensões da caixa são as seguintes: o comprimento mede $x + 5$ cm, a largura é $x - 2$ cm e a altura é o dobro da largura.

1. a) Expresse por meio de um polinómio o volume da caixa em função de $x$.
2. b) Desenvolva e simplifique esse polinómio.

Encontre o valor do coeficiente $k$ no polinómio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sabendo que, ao calcular o seu valor numérico para $x = 2$, obtemos como resultado $10$.

Aplique os casos notáveis para desenvolver e simplificar a seguinte expressão:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Simplifique a seguinte fração algébrica colocando primeiro o fator comum em evidência no numerador e no denominador:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Um fabricante de capas para telemóveis determinou que o custo de produzir $x$ unidades é dado pelo polinómio $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, enquanto a receita obtida com a venda dessas mesmas unidades se expressa como $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Determina o polinómio $B(x)$ que representa o lucro (receitas menos custos).

1. b) Calcula o lucro se forem vendidas $40$ capas.

Para calcular o valor numérico da expressão algébrica $E(x) = (2x - 6) \cdot (x^2 + 5x - 2) - (2x - 6) \cdot (x^2 + 3x + 8)$ quando $x = 103$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Método do Marcos: Multiplica os dois primeiros polinómios entre si, depois multiplica os dois segundos, subtrai os dois polinómios resultantes mudando todos os sinais do segundo, reduz os termos semelhantes e substitui $x = 103$.

• Método da Sara: Observa que o binómio $(2x - 6)$ aparece repetido nos dois blocos, coloca-o em evidência como fator comum de toda a expressão, simplifica o que fica dentro dos parênteses retos e só no final substitui $x = 103$.

1. a) Aplica o método do Marcos desenvolvendo e simplificando completamente a expressão $E(x)$.
2. b) Aplica o método da Sara colocando em evidência o fator comum $(2x - 6)$, reduz a expressão resultante e verifica que chegas exatamente ao mesmo polinómio simplificado que na alínea a).
3. c) Justifica fundamentadamente qual dos dois métodos é mais conveniente para avaliar em $x = 103$ minimizando o número de operações e o risco de erro. Utiliza esse método mais vantajoso para calcular mentalmente o valor de $E(103)$.

Considera o produto de polinómios $P(x) = (a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$, onde $a$ e $b$ são números inteiros constantes que não conhecemos. Ao desenvolver este produto e agrupar todos os seus termos semelhantes, sabemos que o polinómio resultante cumpre duas condições:

1. O seu coeficiente principal (o número que acompanha $x^3$) é igual a $6$.

2. O termo de grau 2 anula-se por completo (o seu coeficiente final é $0$).

1. a) Escreve a expressão que resulta de multiplicar termo a termo $(a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$ antes de agrupar os termos semelhantes.
2. b) Deduz fundamentadamente o valor exato dos números $a$ e $b$ a partir das duas condições dadas.
3. c) Com os valores obtidos, escreve o polinómio $P(x)$ completamente desenvolvido, reduzido e ordenado por ordem decrescente do grau.
4. d) Coloca em evidência o maior fator comum monómio possível do polinómio $P(x)$ resultante e explica como verificarias que a tua fatorização está correta usando a propriedade distributiva.