Exercícios: Operações com monômios

Para perceber como as expressões matemáticas são construídas, é fundamental conhecer as partes de um monómio. Preenche as informações solicitadas para cada um dos seguintes monómios:

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Para cada um, indica:

• O coeficiente.

• A parte literal.

• O grau do monómio.

No mundo da álgebra, só podemos somar ou subtrair "coisas iguais". Identifique quais dos seguintes monómios são semelhantes entre si e agrupe-os:

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Simplifique as seguintes expressões somando e subtraindo os monómios semelhantes:

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Calcule o produto dos seguintes monómios. Lembre-se de multiplicar os coeficientes entre si e somar os expoentes das letras iguais:

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Efetue as seguintes divisões de monómios. Lembre-se de dividir os coeficientes e subtrair os expoentes das letras:

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Calcule a potência destes monómios. Não se esqueça de elevar tanto o coeficiente quanto a parte literal ao expoente indicado:

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Encontra a expressão algébrica que representa o perímetro do seguinte terreno retangular destinado a uma horta escolar. Assim que tiveres a expressão, reduz-la ao máximo somando os seus termos semelhantes.

Num jogo eletrónico de corrida, por cada moeda de ouro coletada obtêm-se $5x$ pontos e por cada moeda de prata obtêm-se $2x$ pontos.

Se numa partida um jogador obteve 4 moedas de ouro e 6 de prata:

1. a) Escreva o monómio que representa os pontos totais das moedas de ouro.
2. b) Escreva o monómio que representa os pontos totais das moedas de prata.
3. c) Some ambos os monómios para obter o total de pontos da partida.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Na aula de Matemática, o Marcos resolveu no quadro a seguinte potência de um monómio:

$$(-3x^4)^2 = -6x^8$$

A sua colega Alba levanta a mão e afirma que o Marcos cometeu dois erros conceptuais distintos nesse único passo.

1. a) Identifica os dois erros cometidos pelo Marcos, explicando com clareza que regra sobre as operações com monómios aplicou mal em cada caso (um no coeficiente e outro no sinal ou nos expoentes).
2. b) Escreve a resolução correta e completamente desenvolvida passo a passo, justificando o sinal, o coeficiente e o expoente finais.

Um professor apagou parcialmente o quadro ao terminar a aula e ficaram incompletas estas três operações com monómios:

1. a) $4x^3 \cdot \Box = -20x^7$
2. b) $\frac{\Box}{3x^2} = 5x^4$
3. c) $(\Box)^3 = -8x^6$

Descobre que monómio deve ser colocado em cada quadrado ($\Box$) para que as igualdades sejam verdadeiras. Em cada caso, explica fundamentadamente como deduzes o sinal, o coeficiente numérico e o expoente da parte literal através da operação inversa correspondente.

Reduza ao máximo a seguinte expressão algébrica agrupando os monómios que sejam semelhantes:

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calcule o resultado das seguintes multiplicações de monómios e simplifique a parte literal utilizando as propriedades das potências:

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Encontra a expressão algébrica simplificada que representa o perímetro do seguinte terreno destinado a uma área de jogos num parque:

Efetue as seguintes potências de monómios. Lembre-se de que o expoente afeta tanto o coeficiente como cada uma das variáveis da parte literal:

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Simplifique os seguintes quocientes de monómios. Exprima o resultado como um único monómio quando for possível:

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

Numa campanha de reflorestação, cada voluntário planta $3x$ árvores de manhã e $2x$ árvores à tarde. Se houver um total de $y$ voluntários, escreve a expressão algébrica simplificada que represente:

1. a) O número total de árvores que um único voluntário planta num dia.

1. b) O número total de árvores plantadas por todos os voluntários numa semana (7 dias).

Calcule a expressão que representa a área da região sombreada na figura seguinte, sabendo que o lado do quadrado exterior mede $4x$ e o lado do quadrado interior branco mede $x$:

Resolva as seguintes operações combinadas com monómios respeitando a hierarquia das operações:

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

Considera a seguinte operação combinada com monómios:

$$M = \frac{(-2x^3)^3 \cdot (6x^2)}{-4x^5}$$

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico com os coeficientes, faz uma estimativa fundamentada respondendo a estas duas perguntas:

1. Que sinal terá o resultado final? Justifica-o analisando sucessivamente os sinais da potência, do produto do numerador e da divisão final.

2. Qual será o grau exato do monómio resultante? Justifica-o calculando mentalmente a soma e a subtração de expoentes de acordo com as propriedades das potências.

1. b) Resolve a operação combinada passo a passo, respeitando a hierarquia das operações, e simplifica o monómio resultante.
2. c) Verifica se o resultado que obtiveste coincide com as tuas deduções prévias do sinal e do grau da alínea a).

Uma cooperativa agrícola de Santarém (Ribatejo) instala painéis solares numa herdade retangular para abastecer os motores de rega. As medidas do terreno exprimem-se em função de uma variável $x$ (em metros): a largura mede $3x$ metros e o comprimento mede o triplo da largura.

1. a) Determina o monómio simplificado que representa a área total da parcela em metros quadrados.
2. b) Para distribuir a cablagem, dividem toda a herdade em parcelas quadradas idênticas de lado $x$ metros. Escreve o monómio que representa a área de uma dessas parcelas e calcula quantas parcelas cabem no total realizando a divisão de monómios adequada.
3. c) O custo de manutenção anual da herdade é de $0,5$ euros por cada metro quadrado de superfície. Se a cooperativa recebe um subsídio regional fixo anual de $15x^2$ euros, determina através de operações com monómios se o subsídio é suficiente para cobrir a manutenção e quanto dinheiro sobra ou falta em função de $x$.

Efetue a seguinte operação combinada com monómios, simplificando o resultado ao máximo. Tenha especial cuidado com a hierarquia das operações e as regras das potências:

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Uma empresa de design fabrica molduras de alumínio para ecrãs de tablets. O design segue as proporções mostradas na figura seguinte, onde todas as medidas estão expressas em função de uma variável $x$. Encontra o monómio que representa a área total da superfície da moldura (a região sombreada).

Encontra os monómios desconhecidos $M$ e $N$ que fazem com que as seguintes igualdades sejam verdadeiras:

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

Num jogo eletrónico de estratégia, a energia de um batalhão é calculada pelo produto do seu nível de ataque pelo seu nível de defesa, dividido pela sua fadiga. Sabendo que:

• Ataque: $ 12a^2b^3 $

• Defesa: $ 5a^3b $

• Fadiga: $ 10ab^2 $

Expressa a energia total do batalhão como um único monómio e determina o seu grau.

Extraia o máximo fator comum possível na seguinte expressão algébrica. Lembre-se de que deve extrair tanto o máximo divisor comum dos coeficientes como as variáveis comuns com o seu menor expoente:

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Calcule o valor do monómio resultante na parte superior desta "pirâmide de produtos", onde cada bloco é o resultado da multiplicação dos dois monómios que estão logo abaixo dele:

Reduza a seguinte expressão aplicando a propriedade distributiva e simplificando os monómios semelhantes resultantes:

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Calcule o monómio que representa o volume de um corpo geométrico formado pela união de 5 cubos idênticos, onde a aresta de cada cubo mede $ \frac{2}{3}x^2 $ metros. Expresse o resultado final de forma simplificada.

Para calcular o valor numérico da expressão algébrica:

$$E = \frac{(6x^4)^2 \cdot x^3}{12x^7}$$

para o valor $x = -2$, dois alunos do 2.º do ESO propõem duas estratégias diferentes:

• Método do Sergio: Substitui diretamente o valor $x = -2$ em cada um dos $x$ da expressão original, calcula as potências numéricas resultantes e, finalmente, efetua as multiplicações e a divisão com os números obtidos.

• Método da Irene: Aplica primeiro as propriedades das operações com monómios para simplificar a expressão a um único monómio irredutível e apenas no final substitui $x = -2$.

1. a) Aplica o método do Sergio indicando os números intermédios que obtém no numerador e no denominador antes de simplificar.
2. b) Aplica o método da Irene simplificando primeiro a expressão algébrica e calculando o valor numérico final.
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois é mais vantajoso e seguro em matemática. Argumenta a tua resposta avaliando a magnitude dos números manipulados e a probabilidade de cometer erros de cálculo em cada procedimento.

Pretende-se projetar uma tremonha metálica para armazenar cereais cuja capacidade é dada pelo volume de um paralelepípedo retângulo. O volume total é o produto de três monómios que correspondem às suas três dimensões (comprimento $L(x)$, largura $A(x)$ e altura $H(x)$), de modo que $V(x) = L(x) \cdot A(x) \cdot H(x)$. Conhecem-se os seguintes dados técnicos:

• O monómio do volume total é $V(x) = 72x^7$.

• A altura da tremonha é o monómio $H(x) = 2x^2$.

• Tanto o comprimento $L(x)$ como a largura $A(x)$ têm coeficientes inteiros positivos.

• O grau do comprimento $L(x)$ é uma unidade maior do que o grau da largura $A(x)$.

• O coeficiente numérico do comprimento $L(x)$ é exatamente o quádruplo do coeficiente da largura $A(x)$.

1. a) Deduz passo a passo os monómios exatos que correspondem a $L(x)$ e a $A(x)$, justificando como obténs tanto os coeficientes como os graus a partir das propriedades das operações com monómios.
2. b) Apresenta a expressão da área da base da tremonha, $B(x) = L(x) \cdot A(x)$. De seguida, responde de forma fundamentada: é possível modificar as dimensões $L(x)$ e $A(x)$ (mantendo que o seu produto seja o mesmo e que continuem a ser monómios) de maneira que o grau da base seja 6? Justifica por que razão é ou não é possível a partir da relação entre o grau do volume e o da altura.