Exercícios: Conceitos

A Sara tem duas fotografias do seu cão. A primeira mede $10 \text{ cm}$ de largura e $15 \text{ cm}$ de altura. A segunda é uma ampliação que mede $20 \text{ cm}$ de largura e $30 \text{ cm}$ de altura. Estas duas fotografias são figuras semelhantes? Justifica a tua resposta verificando se as dimensões são proporcionais.

Calcule a razão de semelhança $k$ que transforma o rectângulo $A$ no rectângulo $B$, sabendo que o lado menor de $A$ mede $4 \text{ cm}$ e o lado menor de $B$ mede $12 \text{ cm}$. Trata-se de uma ampliação ou de uma redução?

Lucas desenhou um triângulo com ângulos de $40^\circ$, $60^\circ$ e $80^\circ$. Se decidir criar um novo triângulo semelhante duplicando a medida de todos os seus lados, quanto medirão os ângulos do novo triângulo? Explique o que acontece aos ângulos de duas figuras quando são semelhantes.

No ecrã do telemóvel, o Marcos vê um mapa numa escala determinada. Se a razão de semelhança entre o mapa do ecrã e a realidade é $k = \frac{1}{5000}$, indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

• a) O mapa é uma redução da realidade.

• b) $1 \text{ cm}$ no mapa representa $5000 \text{ cm}$ na realidade.

• c) Os ângulos entre as ruas mudam no mapa para poderem caber no ecrã.

Um logotipo tem a forma de um pentágono regular com um lado de $3 \text{ cm}$. Para a fachada de uma loja, fabrica-se um logotipo semelhante com uma razão de semelhança $k = 15$. Quanto medirá o lado do novo logotipo?

Observe os seguintes pares de retângulos. Indique, sem realizar cálculos complexos, qual deles não pode ser semelhante ao original e explique porquê, prestando atenção à sua forma.

Se temos dois polígonos semelhantes com uma razão de semelhança $k = 2,5$, e o perímetro do polígono pequeno é de $20 \text{ cm}$, qual será o perímetro do polígono maior? Lembra-te da relação existente entre a razão de semelhança e os perímetros.

Desenhe numa quadrícula uma letra "L" que ocupe $2$ quadradinhos de largura e $4$ de altura. A seguir, desenhe ao lado outra letra "L" que seja semelhante, mas com uma razão de semelhança $k = 0,5$. Quantos quadradinhos de altura terá a nova figura?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A Carla tem uma folha retangular de $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ para a disciplina de Educação Visual e gasta exatamente um tubo de $60\text{ ml}$ de tinta guache para a cobrir por completo. Para uma exposição na escola, quer fazer uma versão ampliada e semelhante multiplicando o comprimento de todos os seus lados por $3$ (ou seja, com razão de semelhança $k = 3$). O seu colega Hugo diz-lhe: «Como os lados medem o triplo, vais precisar do triplo da tinta, por isso compra $3$ tubos de $60\text{ ml}$ ($180\text{ ml}$) e terás suficiente».\na) Aponta o erro de raciocínio cometido pelo Hugo e explica, usando as propriedades das figuras semelhantes, por que razão a quantidade de tinta não é proporcional à razão $k$.\nb) Calcula quantos mililitros de tinta guache e quantos tubos inteiros de tinta a Carla vai precisar na realidade para pintar a folha grande.

A Câmara Municipal vai pintar no chão de um parque um campo polidesportivo infantil que será semelhante a um campo regulamentar de futsal. O campo regulamentar mede $40\text{ m}$ de comprimento por $20\text{ m}$ de largura. O campo infantil terá um comprimento de $20\text{ m}$.\na) Sem fazeres cálculos detalhados ainda, estima de forma fundamentada: o perímetro do campo infantil será metade ou a quarta parte do campo regulamentar? E a sua superfície (área), será metade, a quarta parte ou a oitava parte?\nb) Calcula agora a razão de semelhança $k$, o perímetro de ambos os campos e a área de ambos os campos.\nc) Verifica se as tuas estimativas da alínea a) coincidem com os valores calculados e justifica a relação matemática obtida entre a razão de semelhança, os perímetros e as áreas.

Um ilustrador está a desenhar duas versões de um mesmo logotipo retangular. O logotipo original tem dimensões de $12\text{ cm}$ de comprimento e $8\text{ cm}$ de largura. Se ele quiser criar uma versão ampliada que seja semelhante e cujo comprimento meça $30\text{ cm}$:

1. Calcule a razão de semelhança $k$ da ampliação.

2. Determine a largura do novo logotipo.

3. Se o perímetro do logotipo pequeno é de $40\text{ cm}$, qual será o perímetro do grande? Utilize a relação entre perímetros de figuras semelhantes para verificar.

Calcule o valor do segmento desconhecido $x$ na seguinte figura, sabendo que as retas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Aplique o Teorema de Tales e expresse o resultado com duas casas decimais.

Dois triângulos, $ABC$ e $A'B'C'$, estão em posição de Tales. O triângulo pequeno tem lados que medem $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ e $AC = 4\text{ cm}$. Se o lado correspondente $AB'$ do triângulo maior mede $12,5\text{ cm}$:

1. Qual é a razão de semelhança entre o triângulo maior e o menor?

2. Determine o comprimento dos lados $B'C'$ e $AC'$.

3. Verifique que o quociente entre as suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Um arquiteto desenhou a planta de um quarto na escala 1:50. Na planta, o quarto é um retângulo de $12\text{ cm}$ de comprimento por $8\text{ cm}$ de largura.

1. Calcule as dimensões reais do quarto em metros.

2. O arquiteto quer colocar um tapete que ocupa $6\text{ m}^2$ na realidade. Que área ocupará esse tapete na planta (em $\text{cm}^2$)?

3. Se decidisse mudar a escala para 1:100, como variariam as medidas do desenho em relação à planta anterior?

Para medir a altura de uma torre de alta tensão, um técnico observa que, num determinado momento, a torre projeta uma sombra de $18\text{ metros}$. Ao mesmo tempo, coloca uma vara vertical de $1,5\text{ metros}$ de altura que projeta uma sombra de $2,25\text{ metros}$.

1. Justifique por que razão os triângulos formados pela torre e a sua sombra, e pela vara e a sua, são semelhantes.

2. Calcule a altura da torre.

Determine se os seguintes pares de triângulos são semelhantes e indique qual critério de semelhança utilizou em cada caso:

• Caso A: O triângulo 1 tem ângulos de $40^\circ$ e $75^\circ$. O triângulo 2 tem ângulos de $75^\circ$ e $65^\circ$.

• Caso B: O triângulo 1 tem lados de $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. O triângulo 2 tem lados de $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• Caso C: Ambos os triângulos têm um ângulo de $50^\circ$. No primeiro, os lados que formam esse ângulo medem $4\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$. No segundo, medem $8\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$.

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos (projeções dos catetos) que medem $3,6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$.

1. Calcule a altura do triângulo utilizando o Teorema da Altura.

2. Calcule o comprimento dos catetos utilizando o Teorema do Cateto.

3. Desenhe um esquema do triângulo, indicando todos os valores encontrados.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dispomos de duas embalagens de sumo cilíndricas que são semelhantes. A embalagem pequena tem uma altura de $10\text{ cm}$ e uma capacidade de $250\text{ ml}$. A embalagem grande tem uma altura de $20\text{ cm}$.

1. Qual é a razão de semelhança $k$ entre a embalagem grande e a pequena?

2. Calcule a capacidade (volume) da embalagem grande em litros. Lembra-te da relação entre a razão de semelhança e o volume de corpos semelhantes.

3. Se a área da base da pequena é de $25\text{ cm}^2$, qual será a área da base da grande?

O pátio interior de um centro cultural do teu distrito tem a forma de um trapézio com uma área total de $54\text{ m}^2$ e o seu lado maior mede $12\text{ m}$. Na portaria querem encomendar uma maquete semelhante do pátio para a expor numa montra envidraçada. Pelas dimensões da montra, a área da maquete deve ser exatamente de $6\text{ m}^2$.\na) Sabendo que a relação entre áreas de figuras semelhantes depende de $k^2$, estabelece a equação correspondente e calcula a razão de semelhança $k$ da maquete em relação ao pátio real.\nb) Determina quanto deve medir na maquete o lado correspondente ao lado maior de $12\text{ m}$.\nc) Se o perímetro completo do pátio real mede $36\text{ m}$, de quantos centímetros de ripa de madeira precisarão para contornar o perímetro da maquete?

Num atelier de design gráfico estão a preparar uma bandeirola triangular para uma campanha sobre o uso dos transportes públicos. O esboço inicial é um triângulo retângulo cujos catetos medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. Para o suporte final precisam de uma bandeirola semelhante com uma razão de ampliação $k = 4$. Para descobrir a superfície de tecido que a bandeirola grande ocupará, dois designers propõem métodos diferentes:\n- Método da Leonor: Calcular primeiro as novas medidas dos catetos multiplicando-os por $4$ e, com eles, calcular a área do triângulo grande através da fórmula $(\text{base} \cdot \text{altura}) / 2$.\n- Método do Tomás: Calcular primeiro a área do esboço inicial e multiplicá-la diretamente pela razão ao quadrado ($k^2$).\na) Resolve o problema aplicando ambos os métodos passo a passo e verifica numericamente se chegas ao mesmo resultado.\nb) Se a figura não fosse um triângulo simples, mas sim um logótipo com a forma de um polígono irregular de $7$ lados do qual já conhecemos a sua área inicial ($35\text{ cm}^2$), qual dos dois métodos escolherias e porquê? Justifica a tua escolha avaliando a quantidade de dados e cálculos necessários.

Uma empresa de perfumes lança dois formatos do seu frasco principal, que têm a forma de pirâmides quadrangulares semelhantes. O frasco "Grande" tem uma base de área $144 \text{ cm}^2$ e uma altura de $15 \text{ cm}$. O frasco "Mini" foi concebido para que a sua área total de vidro seja exatamente a nona parte da área do frasco "Grande". Se o custo do perfume é de $0,25$ € por cada $\text{cm}^3$, calcule a diferença de preço entre o conteúdo de ambos os frascos.

Um artista de rua quer projetar a sombra de uma escultura vertical de $2,4 \text{ m}$ de altura sobre uma parede que está a $6 \text{ m}$ de distância. Para isso, coloca um refletor no chão a uma distância $d$ da escultura. Se deseja que a sombra projetada na parede tenha exatamente $8 \text{ m}$ de altura, a que distância da escultura deve colocar o refletor? Utiliza o Teorema de Tales para justificar a tua resposta e desenha o esquema dos triângulos semelhantes.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num triângulo retângulo $ABC$ (retângulo em $A$), traça-se a altura $h$ relativa à hipotenusa, dividindo-a em dois segmentos $m$ e $n$. Sabe-se que o cateto $b$ mede $15 \text{ cm}$ e a sua projeção sobre a hipotenusa, $n$, mede $9 \text{ cm}$. Calcule o perímetro e a área do triângulo original utilizando os Teoremas do Cateto e da Altura.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A planta de uma moradia está desenhada na escala $1:75$. Nessa planta, a cozinha tem uma forma retangular de $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. O proprietário quer remodelar o piso com azulejos quadrados de $40 \text{ cm}$ de lado.

1. a) Calcule a área real da cozinha em metros quadrados.
2. b) Quantos azulejos completos são necessários, no mínimo, para cobrir o piso da cozinha real? (Lembra-te de que os recortes dos azulejos podem ser aproveitados, mas só se podem comprar azulejos inteiros).

Dois pentágonos regulares são semelhantes. O perímetro do primeiro é de $75 \text{ cm}$. Sabe-se que a área do segundo é $1,44$ vezes a área do primeiro.

1. a) Determine a razão de semelhança $k$ entre o segundo pentágono e o primeiro.
2. b) Calcule o perímetro do segundo pentágono.
3. c) Se o apótema do primeiro pentágono mede $10,32 \text{ cm}$, quanto mede o raio da circunferência circunscrita ao segundo pentágono? (Arredonde às centésimas).

Uma televisão de $50$ polegadas tem uma proporção de ecrã de $16:9$ (isto significa que a base e a altura são proporcionais a $16$ e $9$). Sabendo que $1$ polegada equivale a $2,54 \text{ cm}$ e que as "polegadas" de uma televisão se referem à medida da sua diagonal:

1. a) Calcule as dimensões reais (base e altura) da televisão em centímetros.
2. b) Se uma imagem de $800 \times 450$ píxeis for exibida em ecrã inteiro sem se deformar, qual é a área de cada píxel no ecrã real?

Uma maquete de um arranha-céus feita na escala $1:250$ tem um volume de $320 \text{ cm}^3$ e a sua base tem uma área de $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Calcule a altura real do arranha-céus em metros.
2. b) Se o edifício real for revestido com painéis de vidro que custam $120$ € por metro quadrado, calcule o custo total para revestir a fachada (área lateral), sabendo que o arranha-céus tem a forma de um prisma reto e que a maquete tem uma área lateral de $180 \text{ cm}^2$.

Um município do sul de Portugal aplica um plano de poupança de água devido à seca e precisa de modelar o consumo das piscinas do seu complexo desportivo municipal. Tem duas piscinas com forma de prisma reto que são semelhantes entre si (têm a mesma forma e proporções em comprimento, largura e profundidade): a piscina infantil e a piscina recreativa de adultos. A piscina infantil mede $10\text{ m}$ de comprimento e tem uma capacidade de $30\text{ m}^3$ de água ($30\,000\text{ litros}$). A piscina de adultos mede $25\text{ m}$ de comprimento.\na) Modela a situação identificando a razão de semelhança $k$ que transforma as medidas da piscina infantil nas da de adultos.\nb) Calcula o volume total de água, em metros cúbicos e em litros, necessário para encher a piscina de adultos.\nc) Antes de as encher, deve aplicar-se uma camada de resina protetora no fundo e nas quatro paredes interiores. Se para a piscina infantil foram usados $16\text{ kg}$ de resina, calcula quantos quilogramas serão necessários para a de adultos.\nd) Explica por que razão o aumento no gasto de tinta/resina não coincide com o aumento no gasto de água ao comparar ambas as instalações.

Um mestre chocolateiro de Estremoz elabora figuras maciças semelhantes com a forma de um sino tradicional. A figura pequena mede $10\text{ cm}$ de altura, pesa $125\text{ g}$ e é vendida a $3,50$ €. Para uma encomenda especial de uma confraria, deseja fabricar um sino gigante semelhante que pese exatamente $1\text{ kg}$ ($1\,000\text{ g}$). Ambas as figuras são feitas com o mesmo tipo de chocolate puro, pelo que a sua massa é diretamente proporcional ao seu volume.\na) A partir da relação entre as massas (volumes), deduz o valor da razão de semelhança linear $k$ entre o sino gigante e o pequeno.\nb) Que altura terá o sino gigante?\nc) Para o embrulhar utiliza-se papel celofane metalizado. Se o sino pequeno requer $180\text{ cm}^2$ de papel para ficar totalmente coberto, calcula a superfície de papel necessária para embrulhar o sino gigante.\nd) O cliente afirma: «Como a altura do sino gigante é o dobro da do pequeno, o preço justo deveria ser o dobro: $7,00$ €». Justifica matematicamente se a afirmação do cliente está correta ou não, e fundamenta qual deveria ser o preço do sino gigante se for cobrado proporcionalmente à quantidade de chocolate utilizada.