Exercícios: Aplicações do Teorema de Pitágoras

Um designer gráfico tem uma fotografia retangular de $10 \text{ cm}$ de largura e $15 \text{ cm}$ de altura. Se decidir ampliá-la para fazer um cartaz de modo que a nova largura seja de $40 \text{ cm}$, quanto medirá a altura do cartaz se ambas as figuras devem ser semelhantes?

Na planta de um condomínio, a escala utilizada é $1:500$. Se a piscina comunitária mede $3 \text{ cm}$ de comprimento na planta, qual é a sua extensão real expressa em metros?

Dois quadrados são semelhantes. O lado do primeiro mede $4 \text{ cm}$ e o lado do segundo mede $12 \text{ cm}$. Calcula a razão de semelhança $k$ e explica quantas vezes é maior a área do segundo quadrado em relação ao primeiro.

Num determinado momento do dia, um poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura projeta uma sombra de $1,5 \text{ m}$. Nesse mesmo instante, a sombra de uma torre de eletricidade próxima mede $12 \text{ m}$. Aplicando o teorema de Tales, calcule a altura da torre.

Um tablet tem um ecrã retangular cujas dimensões são $24 \text{ cm}$ de base e $7 \text{ cm}$ de altura. Calcule a medida da sua diagonal aplicando o teorema de Pitágoras.

O telhado de um abrigo de jardim tem a forma de um triângulo isósceles. A base do triângulo mede $6 \text{ metros}$ e os lados iguais medem $5 \text{ metros}$ cada um. Calcule a altura do telhado.

Para prender uma antena de rádio, foi colocado um cabo esticador desde a sua parte mais alta até ao chão. Se a antena mede $12 \text{ m}$ de altura e o cabo é fixado ao chão a uma distância de $5 \text{ m}$ da base, que comprimento tem o cabo?

Calcule o perímetro de um losango cujas diagonais medem $16 \text{ cm}$ e $12 \text{ cm}$. (Dica: Lembre-se de que as diagonais de um losango são perpendiculares e cruzam-se no seu ponto médio, formando quatro triângulos retângulos iguais).

O Marco tem de calcular o lado de um sinal retrorrefletor com a forma de um losango cujas diagonais medem $16\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. Para o resolver, escreve no seu caderno: $l^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, pelo que conclui que o lado mede $l = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$. Identifica o erro geométrico cometido pelo Marco, explica porque não se pode aplicar diretamente o teorema de Pitágoras com esses dados e calcula o valor correto do lado do losango.

Um ladrilho de terraço tem a forma de um hexágono regular com $10\text{ cm}$ de lado. Lembra-te de que num hexágono regular o raio coincide exatamente com o comprimento do lado.

1. a) Antes de fazeres cálculos numéricos, justifica se o apótema do ladrilho deve ser maior, menor ou igual a $10\text{ cm}$, e estima se o seu valor estará mais perto de $5\text{ cm}$ ou de $9\text{ cm}$. Justifica a tua estimativa pensando na relação entre catetos e hipotenusa.
2. b) Desenha o triângulo retângulo correspondente, calcula o comprimento exato do apótema arredondando às centésimas e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

Um grupo de alunos do 8.º ano quer calcular a altura do cesto do pátio sem utilizar uma escada. Num determinado momento, o Luís, que mede $1,60 \text{ m}$, projeta uma sombra de $0,80 \text{ m}$. Se nesse mesmo instante a sombra do cesto mede $1,52 \text{ m}$, qual é a altura do cesto? Desenhe um esquema da situação identificando os triângulos semelhantes.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Na planta de um quarto à escala $1:50$, as dimensões de uma mesa de estudo retangular são $2,4 \text{ cm}$ de largura e $3,6 \text{ cm}$ de comprimento.

1. Calcule as dimensões reais da mesa em metros.

2. Se a área real do quarto é de $12 \text{ m}^2$, qual é a área que o quarto ocupa na planta expressa em $\text{cm}^2$?

Marta comprou uma televisão de $50$ polegadas. Sabendo que $1$ polegada equivale a $2,54 \text{ cm}$, a diagonal do ecrã mede exatamente $127 \text{ cm}$. Se a largura da televisão é de $110 \text{ cm}$, qual é a altura do ecrã? Utiliza o teorema de Pitágoras e arredonda o resultado às décimas.

Uma antena de telecomunicações de $12 \text{ m}$ de altura é presa ao chão com dois cabos tensores que partem da sua extremidade superior. Cada cabo está ancorado a uma distância de $5 \text{ m}$ da base da antena.

1. Qual é o comprimento total de cabo necessário para prender a antena?

2. Se quisermos colocar outra antena semelhante cuja altura seja de $18 \text{ m}$, a que distância da base deveríamos ancorar os cabos para que a estrutura continue a ser proporcional?

Calcule o perímetro e a área de um hexágono regular cujo lado mede $8 \text{ cm}$. Para encontrar a área, lembra-te de que primeiro deves calcular o apótema utilizando o teorema de Pitágoras num dos triângulos equiláteros que formam o hexágono.

Um carpinteiro está a projetar uma prateleira que tem a forma de um triângulo retângulo. Ele colocou uma prateleira intermédia paralela à base. A altura total da estante é de $150 \text{ cm}$ e a base mede $90 \text{ cm}$. Se a prateleira intermédia está situada a uma altura de $60 \text{ cm}$ a partir da base:

1. Quanto mede o comprimento dessa prateleira intermédia?

2. Que comprimento tem a ripa inclinada que forma a hipotenusa da estante completa?

Foi fabricada uma maquete de um monumento utilizando uma escala $1:250$. Se o monumento real tem um volume de $1500 \text{ m}^3$, calcule o volume da maquete em decímetros cúbicos ($\text{dm}^3$). Recorde a relação entre a razão de semelhança e a razão dos volumes.

Para atravessar um pequeno desfiladeiro num circuito de aventura, foi instalada uma tirolesa de $25 \text{ m}$ de comprimento. O ponto de partida está numa torre a $18 \text{ m}$ de altura e o ponto de chegada está noutra plataforma a $3 \text{ m}$ de altura. Qual é a distância horizontal que separa ambas as estruturas?

Numa estação meteorológica do IPMA na Serra da Estrela, vai ser instalado um mastro anemométrico vertical de $12\text{ m}$ de altura. Para assegurar a sua estabilidade contra rajadas de vento, será fixado através de dois cabos tensores esticados desde o topo do mastro até dois pontos de ancoragem no solo horizontal. Devido ao relevo rochoso, a primeira ancoragem é colocada a $5\text{ m}$ da base do mastro e a segunda ancoragem, no lado oposto, situa-se a $9\text{ m}$ da referida base. Sabendo que em cada cabo são necessários $25\text{ cm}$ adicionais em cada uma das suas duas extremidades para fazer as amarrações regulamentares, calcula quantos metros de cabo devem ser adquiridos no total para os dois tensores. Arredonda o resultado final a duas casas decimais.

Uma empresa de sinalização rodoviária encomenda o desenho de um sinal de perigo com a forma de um losango cujo lado exterior deve medir exatamente $25\text{ cm}$.

1. a) Escreve a equação que relaciona o comprimento da diagonal maior ($D$), da diagonal menor ($d$) e do lado do losango a partir do teorema de Pitágoras.
2. b) Seguindo o raciocínio inverso, propõe duas combinações diferentes de números inteiros positivos para as medidas completas das diagonais ($D$ e $d$) que resultem exatamente num lado de $25\text{ cm}$. Justifica matematicamente, através dos cálculos adequados, por que razão ambas as propostas são válidas.

Um jogador quer guardar o seu teclado mecânico de $52\text{ cm}$ de comprimento dentro de uma caixa de transporte que comprou. A caixa é um paralelepípedo retângulo com dimensões internas de $48\text{ cm}$ de comprimento, $18\text{ cm}$ de largura e $10\text{ cm}$ de altura. O teclado caberá na caixa se for colocado unindo dois vértices opostos (a diagonal espacial)? Calcule a medida da diagonal principal do interior da caixa para justificar a resposta.

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar encomendas. Para que a aterragem seja segura num telhado, o drone projeta dois feixes de laser que formam um ângulo reto no emissor. O drone encontra-se a uma altura $h$ sobre o telhado. Os pontos de impacto dos lasers no chão estão alinhados com a vertical do drone e distam entre si $15,6\text{ m}$. Se um dos pontos de impacto está a $3,9\text{ m}$ da vertical do drone, calcule:

1. a) A altura $h$ a que o drone voa, utilizando o teorema da altura.
2. b) A distância do drone a cada um dos dois pontos de aterragem (os catetos do triângulo).

Para um festival de cinema, foi construída uma maquete à escala de uma pirâmide regular de base quadrada. A pirâmide real tem um lado da base de $24\text{ m}$ e uma altura de $16\text{ m}$. Se a maquete foi construída com uma razão de semelhança $k = 1:80$, calcule:

1. a) O comprimento da aresta lateral da pirâmide real (terás de aplicar o teorema de Pitágoras duas vezes).
2. b) O volume da maquete em centímetros cúbicos, sabendo que o volume de uma pirâmide é $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura}$. (Usa a relação $k^3$ para o volume).

Uma placa de trânsito tem a forma de um triângulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro dela, há uma faixa de cor vermelha que forma outro triângulo equilátero semelhante. Se a área da parte branca (o triângulo interior) é exatamente metade da área total da placa, qual é a razão de semelhança entre o triângulo pequeno e o grande? Quanto mede o lado do triângulo interior? Arredonde às centésimas.

Numa praça há um mastro vertical. A uma distância de $12\text{ m}$ da sua base, há um refletor no chão que projeta luz. Um adolescente que mede $1,65\text{ m}$ coloca-se entre o refletor e o mastro, a uma distância de $3\text{ m}$ do refletor.

1. a) Calcule a altura do mastro sabendo que a sombra da cabeça do rapaz coincide exatamente com a parte superior do mastro.
2. b) Se o rapaz caminhar $2\text{ m}$ em direção ao mastro, que comprimento terá a sua sombra projetada sobre o próprio mastro?

O logótipo de uma nova marca de roupa é um losango inscrito num retângulo de $16\text{ cm}$ de comprimento e $12\text{ cm}$ de largura. Os vértices do losango são os pontos médios dos lados do retângulo. Calcule:

1. a) O perímetro do losango.
2. b) A área de um segundo logótipo semelhante ao anterior cujo perímetro seja o triplo. Justifique como a área muda sem necessidade de calcular os novos lados.

Um farol de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre uma arriba vertical. De um barco no mar, observa-se que a distância até à base do farol (o ponto onde o farol começa na arriba) é de $100\text{ m}$ e a distância até à parte mais alta do farol é de $110\text{ m}$. Calcule:

1. a) A altura da arriba em relação ao nível do mar.
2. b) A distância horizontal do barco até à base da arriba.

Quer-se instalar um painel solar retangular num telhado inclinado. O telhado tem uma inclinação tal que a cada $4\text{ m}$ de avanço horizontal sobe $3\text{ m}$ de altura.

1. a) Calcule o comprimento real do troço de telhado que cobre $8\text{ m}$ de distância horizontal.
2. b) Se o painel solar mede $2\text{ m}$ de comprimento e é colocado seguindo a inclinação do telhado, que altura vertical $h$ vence o painel entre a sua borda inferior e a superior? (Usa semelhança de triângulos).

Um condomínio de proprietários em Lisboa vai instalar uma rampa reta contínua para vencer uma escadaria exterior formada por $4$ degraus idênticos. Cada degrau tem um cobertor (profundidade horizontal) de $18\text{ cm}$ e um espelho (altura vertical) de $15\text{ cm}$. Para encomendarem o corrimão inclinado que percorrerá toda a rampa, precisam de saber o seu comprimento total. Duas pessoas da administração propõem métodos diferentes:

• Método da Sónia: Calcula a hipotenusa de um único degrau aplicando Pitágoras às suas medidas ($18\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$) e multiplica o resultado obtido por $4$.

• Método do Roberto: Soma primeiro as medidas dos $4$ degraus para encontrar a base total ($4 \cdot 18 = 72\text{ cm}$) e a altura total ($4 \cdot 15 = 60\text{ cm}$), e aplica Pitágoras uma única vez sobre o triângulo retângulo global.

1. a) Desenvolve ambos os métodos apresentando os cálculos com duas casas decimais e verifica se se obtém o mesmo comprimento total.
2. b) Demonstra, apoiando-te na semelhança de triângulos, por que razão ambos os procedimentos são matematicamente equivalentes.
3. c) Justifica qual dos dois métodos é mais recomendável caso se pretenda minimizar a acumulação de erros de arredondamento quando as medidas dos degraus têm casas decimais inexatas.

Uma moradia unifamiliar em Viseu vai remodelar o seu telhado simétrico de duas águas (com perfil de triângulo isósceles) para instalar painéis solares fotovoltaicos. A fachada horizontal da casa mede $8\text{ m}$ de largura e o edifício tem um comprimento de $12\text{ m}$ de profundidade. Para cumprir a regulamentação técnica face a sobrecargas de neve e permitir um escoamento adequado da água, a altura vertical da cumeeira (o vértice superior do telhado) deve ser de, pelo menos, $3\text{ m}$, mas não pode ultrapassar os $4,5\text{ m}$ devido a restrições urbanísticas do município. O arquiteto dispõe de dois tipos de vigas de madeira para a vertente inclinada do telhado:

• Viga A: de $4,5\text{ m}$ de comprimento.

• Viga B: de $5,5\text{ m}$ de comprimento.

1. a) Identifica o triângulo retângulo do perfil do telhado, calcula com duas casas decimais a altura da cumeeira que seria atingida com cada tipo de viga e deduz qual das duas opções é a única que cumpre a regulamentação técnica.
2. b) Para a opção de viga regulamentar, calcula a área total da cobertura inclinada somando as duas águas retangulares da habitação.
3. c) Os painéis solares são retangulares e medem $2\text{ m}$ de comprimento por $1\text{ m}$ de largura, e serão instalados unicamente na água orientada a sul (um retângulo de $12\text{ m}$ de profundidade pelo comprimento da viga válida). Analisa como convém orientar os painéis (na horizontal ou na vertical em relação ao solo) para não ultrapassar os limites do telhado e calcula o número máximo de painéis completos que se podem colocar.