Exercícios: Conceito

Observe a seguinte figura, que representa uma tablete de chocolate. Que fração da tablete resta se comermos os quadradinhos que estão sombreados a laranja? Indique quais são o numerador e o denominador.

Escreva com algarismos as seguintes frações e classifique-as em próprias ou impróprias:

1. a) Três oitavos.
2. b) Sete meios.
3. c) Onze onze avos.
4. d) Quatro nonos.

Numa equipa de basquetebol há $12$ jogadores. Se $5$ deles medem mais de $1,80$ metros, escreva a fração que representa os jogadores que medem menos ou igual a essa altura.

Represente graficamente no seu caderno as seguintes frações utilizando retângulos ou círculos:

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Calcule o valor numérico destas frações (como número inteiro ou decimal):

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Relacione cada fração imprópria com o seu número misto correspondente:

Que fração de uma hora representam os seguintes intervalos de tempo? (Expressa a fração da forma mais simples que souberes).

1. a) $30$ minutos.
2. b) $15$ minutos.
3. c) $20$ minutos.
4. d) $10$ minutos.

No refeitório escolar vão ser distribuídas em partes iguais $3$ empadas idênticas por $4$ comensais. Ao organizar a distribuição, o Tomás afirma: «A cada um de nós correspondem $\frac{4}{3}$ de empada, porque somos $4$ pessoas e temos $3$ empadas».\na) Identifica o erro conceptual que o Tomás comete ao atribuir os números ao numerador e ao denominador, e explica o que representa cada um desses termos na fração.\nb) Classifica a fração proposta pelo Tomás ($\frac{4}{3}$) em própria ou imprópria. A partir dessa classificação, justifica por que razão a sua afirmação é impossível na prática se dispõem apenas de $3$ empadas.\nc) Escreve a fração correta que corresponde a cada comensal e calcula o seu valor decimal exato para verificar quanta empada come cada um.

Numa escola desportiva municipal de atletismo sabe-se que $\frac{3}{5}$ dos alunos inscritos são raparigas. O registo da secretaria confirma que há exatamente $27$ raparigas inscritas.\na) A partir destes dados, deduz quantas pessoas estão inscritas no total na escola desportiva. Explica detalhadamente o raciocínio que segues: que quantidade representa $\frac{1}{5}$ do total e como se obtém o total completo ($\frac{5}{5}$).\nb) Que fração do total representam os rapazes inscritos e quantos rapazes são?\nc) Se uma pessoa afirmasse que nessa mesma escola há $20$ raparigas inscritas mantendo exatamente a fração de $\frac{3}{5}$, fundamenta por que razão tal situação seria numericamente impossível na realidade.

Numa plataforma de jogos digitais, Maria tem guardados $180$ tokens. Decide gastar $\frac{4}{9}$ dos seus tokens numa nova skin para o seu personagem e $\frac{2}{5}$ do que lhe resta para melhorar o seu equipamento de proteção. Quantos tokens gastou no total e quantos lhe sobram no final?

Observa a seguinte figura e determina qual a fração da área total do retângulo que a região sombreada a laranja representa. Tem em mente que, para resolveres isto, deverás imaginar uma subdivisão da figura em partes iguais.

Um grupo de amigos comprou várias garrafas de refrigerante para uma festa. Cada garrafa tem uma capacidade de $\frac{1}{4}$ de litro. Se consumiram um total de $19$ garrafas, expressa essa quantidade por meio de uma fração imprópria e de um número misto. Quantos litros inteiros beberam?

Representa na mesma reta numérica os seguintes números racionais. Para isso, desenha a reta no teu caderno e utiliza uma escala adequada (por exemplo, que cada unidade meça $4$ cm, de modo que cada quarto de unidade meça $1$ cm):

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Três alunos estão a descarregar o mesmo videojogo nos seus computadores ao mesmo tempo. Ao fim de uma hora, as suas barras de progresso indicam o seguinte:

• Computador A: Descarregou $\frac{5}{8}$ do total.

• Computador B: Descarregou $\frac{11}{16}$ do total.

• Computador C: Descarregou $\frac{3}{4}$ do total.

Ordene os três computadores da menor para a maior quantidade de jogo descarregado utilizando o símbolo $<$ e reduzindo previamente as frações ao denominador comum.

Para preparar uma receita de bolachas para $6$ pessoas, são necessários $\frac{3}{4}$ de kg de farinha. Se quisermos adaptar a receita para convidar $15$ pessoas:

1. a) Que fração de quilograma de farinha será necessária?
2. b) Essa fração é maior ou menor do que a unidade? Justifica se é uma fração própria ou imprópria.

Identifique se os seguintes pares de frações são equivalentes utilizando o método dos produtos cruzados:

1. a) $\frac{12}{15}$ e $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ e $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ e $\frac{6}{15}$

Para o caso em que não sejam equivalentes, indique qual das duas frações é maior.

Escreva uma fração que cumpra simultaneamente as três condições seguintes:

1. O seu denominador é o número primo mais próximo de $10$.

2. É uma fração imprópria.

3. O numerador é um múltiplo de $4$ compreendido entre $13$ e $22$.

Existe mais do que uma solução? Encontre todas e expresse-as na forma de numeral misto.

Uma etapa de montanha da Volta a Portugal tem um percurso total de $176\text{ km}$. A transmissão televisiva informa que os ciclistas na liderança já completaram $\frac{5}{8}$ do itinerário previsto.\na) Sem realizar ainda a divisão exata, estima se superaram ou não a metade da etapa ($88\text{ km}$) comparando a fração $\frac{5}{8}$ com $\frac{1}{2}$. Justifica a tua conclusão.\nb) Estima de forma fundamentada entre que duas dezenas de quilómetros consecutivas ($100$ e $110\text{ km}$, $110$ e $120\text{ km}$, etc.) se deve encontrar a distância percorrida.\nc) Calcula o valor exato dos quilómetros percorridos aplicando a fração como operador sobre a distância total.\nd) Verifica se a tua estimativa prévia foi acertada e calcula quantos quilómetros lhes faltam para cruzar a linha de meta, exprimindo a distância restante como fração irredutível do total.

Para organizar uma visita de estudo, a equipa docente deve calcular os $\frac{2}{5}$ dos $135$ estudantes do 1.º de ESO matriculados na escola, que viajarão no primeiro turno de autocarros.\nDois estudantes da turma propõem estratégias diferentes para calcular esse número:\n- A Lucía diz: «Primeiro divido $135$ por $5$ para calcular quanto é um quinto do total e depois multiplico esse resultado por $2$».\n- O Marcos diz: «Primeiro multiplico $135$ por $2$ e depois divido o número obtido por $5$».\na) Desenvolve ambos os métodos passo a passo e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado.\nb) No método da Lucía, que significado concreto tem o resultado intermédio obtido após a primeira operação ($135 : 5$)?\nc) Supõe agora que se deve calcular os $\frac{2}{5}$ de um orçamento restante de $19\text{ \euro}$. Se aplicares o método da Lucía obténs um número decimal no primeiro passo ($19 : 5 = 3,8$), enquanto com o do Marcos o primeiro passo dá um número inteiro ($19 \cdot 2 = 38$). Qual dos dois métodos escolherias neste segundo caso para realizar o cálculo mentalmente de forma mais prática e porquê?

A Marina decidiu organizar o seu tempo de estudo semanal da seguinte maneira: dedica $\frac{2}{5}$ do tempo total à matemática. Do tempo restante, utiliza $\frac{1}{3}$ para português. Se ainda lhe sobram $8$ horas semanais para as restantes disciplinas, qual é o tempo total, em horas, que dedica ao estudo por semana? Representa através de um esquema de barras que fração do total representam as $8$ horas finais.

Encontre uma fração equivalente a $\frac{4}{9}$ tal que a soma do seu numerador e do seu denominador seja exatamente $104$. Uma vez encontrada, determine se essa fração é própria ou imprópria e justifique se o seu valor decimal é maior ou menor que $0,5$.

Observe a seguinte reta numérica onde foram representados vários pontos. O ponto $A$ corresponde ao número $-1$ e o ponto $B$ corresponde ao número $0$. Se o segmento entre $A$ e $B$ for dividido em $12$ partes iguais, indique qual a fração irredutível representada pelos pontos marcados com um círculo laranja. Que número misto representaria um ponto situado $5$ divisões à esquerda do ponto $A$?

Uma ONG distribui os $48\,000$ € angariados numa corrida solidária entre três projetos. Ao primeiro corresponde $\frac{3}{8}$ do total. Ao segundo, $\frac{5}{12}$ do total. Que fração do total corresponde ao terceiro projeto? Quanto dinheiro recebe cada um? Expressa as três quantidades como frações com o mesmo denominador $24$ para comparares qual projeto recebeu mais de forma visual.

Numa competição de robótica, os protótipos devem percorrer um circuito de $60$ metros. O robô A percorreu $\frac{7}{10}$ do circuito, o robô B percorreu $45$ metros e o robô C percorreu $\frac{3}{4}$ da distância que faltava para o robô A terminar. Ordene os robôs da maior para a menor distância percorrida e expresse a posição do robô C como uma fração do total do circuito.

Um agricultor tem um terreno quadrado de $10\,000$ $m^2$. Decide dedicar $\frac{1}{4}$ da área ao cultivo de hortaliças. Do restante do terreno, divide a área em $5$ partes iguais para plantar diferentes árvores frutíferas. Que fração do terreno total representa cada uma das partes dedicadas às frutíferas? Se cada árvore frutífera precisa de $20$ $m^2$ de espaço, quantas árvores poderá plantar numa dessas cinco partes?

Considera as frações $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$.

1. a) Calcula os seus valores decimais.
2. b) Encontra uma fração com denominador $24$ que esteja exatamente no ponto médio entre ambas.
3. c) Essa fração é maior ou menor que $\frac{5}{7}$? Justifica a tua resposta comparando os produtos cruzados.

Imagina um relógio de parede.

1. a) Que fração de uma volta completa representam os minutos decorridos entre as 12:15 e as 12:50? Exprime o resultado como fração irredutível.
2. b) Se o ponteiro dos minutos percorreu $\frac{5}{6}$ de hora, quantos graus rodou? (Lembra-te de que uma volta completa é $360^\circ$).
3. c) Se uma tarefa escolar demora $\frac{3}{10}$ de hora e outra demora $\frac{1}{4}$ de hora, que fração de hora sobra se tens uma hora completa para estudar?

De acordo com dados hidrológicos oficiais, uma albufeira tem uma capacidade máxima de armazenamento de $240\text{ hm}^3$. Após um período de seca, a albufeira armazena apenas $\frac{3}{10}$ da sua capacidade total. Ao longo de uma semana com chuvas abundantes, os rios fornecem à albufeira um volume de água equivalente a $\frac{1}{4}$ da capacidade máxima desta. Durante essa mesma semana, para responder às necessidades de consumo urbano e rega, são descarregados $18\text{ hm}^3$.\na) Modela a situação apresentando uma única expressão numérica que combine as frações e os dados fornecidos para determinar o volume final de água armazenada.\nb) Calcula quantos $\text{hm}^3$ de água contém a albufeira no final dessa semana.\nc) Exprime o volume final de água como uma fração própria irredutível da capacidade total da albufeira.\nd) O protocolo de seca da bacia estipula que uma região passa a «situação de normalidade» apenas se a albufeira ultrapassar metade da sua capacidade total. Justifica matematicamente se a albufeira já atingiu a situação de normalidade ou se continua abaixo dela.

Numa fábrica de embalamento de alimentos vão comercializar-se frascos de leguminosas cozidas a partir de um grande reservatório. Estão a ser considerados dois formatos de embalagem:\n- O formato normal tem uma capacidade de $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- O formato familiar tem uma capacidade de $1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nO responsável de produção observa que, se for utilizado o formato familiar, são necessários exatamente menos $6$ frascos do que se for utilizado o formato normal para embalar todo o conteúdo do reservatório.\na) Exprime a capacidade do formato familiar como fração imprópria e converte a capacidade do formato normal para uma fração equivalente com denominador $8$. Quantos oitavos de quilograma contém cada formato?\nb) A partir das frações obtidas em oitavos, deduz quantos frascos normais são necessários para embalar exatamente a mesma quantidade de leguminosas que $2$ frascos familiares contêm.\nc) Deduz quantos frascos de cada tipo seriam necessários para que a diferença entre ambos os formatos fosse de $6$ frascos no total. Explica a tua dedução com clareza.\nd) Quantos quilogramas de leguminosas havia no reservatório? Exprime a quantidade como número misto e como número decimal exato.