Exercícios: Frequência relativa e probabilidade experimental

Lançamos uma moeda $50$ vezes e saiu cara $28$ vezes.

1. a) Qual é a frequência absoluta de «cara»? E a de «coroa»?
2. b) Calcule a frequência relativa de «cara» como fração e como decimal.
3. c) E a frequência relativa de «coroa»?

Uma jogadora de basquetebol acertou $45$ dos últimos $60$ lances livres que lançou.

1. a) Qual é a sua frequência relativa de acertos?
2. b) Se amanhã ela lançar um lance livre, que probabilidade experimental atribuirias a acertá-lo? Exprime-a como fração, como decimal e como percentagem.

O Marcos está a jogar com uma moeda equilibrada de $1$ euro. Lança-a $10$ vezes consecutivas e obtém $8$ coroas e apenas $2$ caras. Ao terminar, o Marcos afirma com muita convicção: «Como a probabilidade teórica de obter cara é $0,5$, nos próximos $10$ lançamentos têm de sair obrigatoriamente pelo menos $8$ caras para compensar a sequência e para que a frequência relativa estabilize na probabilidade teórica».

1. a) Identifica o erro na afirmação do Marcos e explica por que razão o seu raciocínio é falso, recordando o princípio de que «o acaso não tem memória».
2. b) Calcula a frequência relativa do acontecimento «sair cara» nos $10$ primeiros lançamentos do Marcos sob a forma de fração e sob a forma decimal. Este resultado contradiz o facto de a moeda ser equilibrada?
3. c) Se o Marcos continuasse a lançar a mesma moeda até completar $1\,000$ lançamentos, explica como se dá realmente a estabilização da frequência relativa: a moeda precisa de «devolver» as caras que faltavam ou simplesmente o impacto dessas $8$ coroas iniciais dilui-se entre o grande número total de lançamentos?

Numa estação de reciclagem de embalagens em Aveiro, um sensor ótico inspeciona garrafas de plástico para separar as defeituosas. Durante um teste matinal, o sensor detetou exatamente $18$ garrafas defeituosas, o que representou uma frequência relativa de defeitos de $0,03$.

1. a) Apresenta a relação matemática correspondente e calcula quantas garrafas o sensor inspecionou no total durante esse teste matinal.
2. b) Quantas garrafas não defeituosas passaram pelo sensor nesse teste? Qual foi a sua frequência relativa expressa em percentagem?
3. c) Se à tarde a máquina inspecionar um novo lote de $800$ garrafas do mesmo tipo e em condições idênticas, quantas garrafas defeituosas é de esperar que encontre? Justifica a tua resposta utilizando o conceito de probabilidade experimental.

Um grupo de alunos lança um dado $60$ vezes e anota os resultados: o $1$ sai $8$ vezes; o $2$, $11$ vezes; o $3$, $9$ vezes; o $4$, $10$ vezes; o $5$, $13$ vezes, e o $6$, $9$ vezes.

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas e relativas (estas últimas com três casas decimais).
2. b) Que frequência relativa «teórica» esperaria para cada face se o dado for equilibrado? Expresse-a como fração e como decimal aproximado.
3. c) Qual resultado se afastou mais do esperado? Acha que o dado está viciado? Justifique a sua resposta tendo em conta o número de lançamentos.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

No pátio joga-se a lançar um pionés: pode cair com a ponta para cima ou de lado. Após $200$ lançamentos, o pionés caiu com a ponta para cima $112$ vezes.

1. a) Calcule a frequência relativa de «ponta para cima» e a de «de lado».
2. b) Que probabilidade experimental atribuiria a cada resultado?
3. c) Porque é que nesta experiência não podemos usar a regra de Laplace para dizer que cada resultado vale $\frac{1}{2}$?

Um clube de jogos de tabuleiro organiza um sorteio com uma roleta de $5$ setores iguais numerados do $1$ ao $5$. Antes do sorteio, um espectador testa-a fazendo-a girar $500$ vezes e obtém: o $1$ sai $97$ vezes; o $2$, $103$ vezes; o $3$, $98$ vezes; o $4$, $101$ vezes, e o $5$, $101$ vezes.

1. a) Calcule as frequências relativas de cada número.
2. b) Que probabilidade teórica tem cada número se a roleta for equilibrada?
3. c) A roleta parece equilibrada? Justifique a sua resposta.

No laboratório de ciências, dois alunos investigam a probabilidade experimental de uma cápsula metálica de refrigerante cair com a parte côncava para cima ou com a face plana para cima. Após lançarem a cápsula $250$ vezes sobre uma mesa lisa em condições idênticas, observam que a face plana fica para cima em $165$ ocasiões.

1. a) Antes de fazeres qualquer divisão com casas decimais, estima mentalmente entre que valores redondos de percentagem se encontra a frequência relativa de «face plana para cima» (por exemplo, está mais próxima de $50\,\%$, de $65\,\%$ ou de $80\,\%$?). Explica que raciocínio mental rápido utilizaste para te orientares.
2. b) Confirma a tua estimativa calculando a frequência relativa exata de «face plana para cima» e de «parte côncava para cima», expressando-as como número decimal e como percentagem com uma casa decimal.
3. c) Se um colega for lançar essa mesma cápsula apenas $5$ vezes num jogo rápido, é certo que cairá com a face plana para cima exatamente na proporção calculada na alínea anterior? Justifica por que razão a probabilidade experimental apenas oferece garantias fiáveis quando o número de repetições é grande.

Numa aula de Matemática pretende-se descobrir a probabilidade de uma pirâmide maciça de madeira com base quadrada e quatro faces triangulares idênticas ficar apoiada sobre a sua base quadrada ao ser lançada ao ar. Para o investigar, surgem duas propostas:

• Método da Clara: Aplicar diretamente a regra de Laplace fundamentando que, como o sólido tem $5$ faces no total e uma delas é a base, a probabilidade teórica é $\dfrac{1}{5} = 0,2$ ($20\,\%$).

• Método do Tomás: Lançar a pirâmide $400$ vezes sobre uma superfície almofadada, registar quantas vezes fica apoiada sobre a base e calcular a frequência relativa desse acontecimento.

1. a) Compara ambos os métodos e justifica qual é o adequado para esta experiência. Que condição imprescindível exige a regra de Laplace que não se cumpre neste objeto geométrico?
2. b) Ao aplicar o método correto e lançar a pirâmide $400$ vezes, a base fica apoiada em $144$ ocasiões. Atribui a probabilidade experimental aos acontecimentos «apoiar-se sobre a base» e «apoiar-se sobre uma face triangular», expressando-as como frações irredutíveis, números decimais e percentagens.
3. c) Se um terceiro aluno propusesse lançar a pirâmide apenas $10$ vezes para terminar mais cedo, fundamenta por que razão a sua estimativa não seria cientificamente fiável comparada com a de $400$ lançamentos.

O gráfico mostra como evolui a frequência relativa do acontecimento «sair cara» quando lançamos uma moeda cada vez mais vezes.

1. a) De que valor se aproxima a frequência relativa quando o número de lançamentos é muito grande?
2. b) Porque achas que as oscilações são grandes no início e pequenas no final?
3. c) Se lançássemos a moeda $100\,000$ vezes, que frequência relativa esperarias obter, aproximadamente? E quantas caras?
4. d) Este gráfico contradiz a afirmação «em $10$ lançamentos têm de sair $5$ caras»? Justifica a tua resposta.

Duas jogadoras de basquetebol orgulham-se da sua pontaria:

• Lara acertou $12$ dos seus últimos $20$ lances livres.

• Miriam acertou $45$ dos seus últimos $100$ lances livres.

1. a) Calcule a frequência relativa de acertos de cada uma.
2. b) Qual das duas tem a melhor percentagem de acertos?
3. c) O treinador tem de escolher uma das duas para lançar o lance livre decisivo e diz: «Confio mais no dado da Miriam, porque vem de muitos mais lançamentos». O que ele quer dizer? Concorda com o raciocínio dele? Argumente usando o que sabe sobre a frequência relativa.

Uma aplicação de matemática simula o lançamento de um dado $11\,000$ vezes e obtém estes resultados: o $1$ sai $1\,660$ vezes; o $2$, $1\,668$ vezes; o $3$, $1\,655$ vezes; o $4$, $1\,670$ vezes; o $5$, $1\,647$ vezes, e o $6$ sai $2\,700$ vezes.

1. a) Calcula a frequência relativa de cada resultado, com quatro casas decimais.
2. b) Se o dado virtual fosse equilibrado, que frequência relativa esperarias para cada face, aproximadamente?
3. c) De que face suspeitas que esteja «viciada»? Justifica a tua resposta comparando as frequências obtidas com as esperadas.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) dispõe do registo histórico dos últimos $50$ anos sobre precipitações na cidade de Faro durante o mês de maio (que é composto por $31$ dias). Nesse período histórico de $1\,550$ dias de maio observados, registaram-se precipitações em $310$ deles.

1. a) Modela esta situação calculando a probabilidade experimental de chover num dia qualquer de maio em Faro, expressa como fração irredutível, como número decimal e como percentagem.
2. b) No ano atual, durante os primeiros $10$ dias de maio choveu em $5$ deles. Calcula a frequência relativa de chuva nessa primeira dezena. Este dado permite afirmar que o modelo histórico do IPMA está incorreto? Argumenta a tua resposta analisando a diferença entre o comportamento aleatório a curto prazo e a estabilização de frequências a longo prazo.
3. c) Se durante os restantes $21$ dias desse mês de maio não chovesse em nenhum dia, qual seria a frequência relativa de dias chuvosos do mês completo de maio deste ano? Compara este valor final com a probabilidade histórica e explica que princípio probabilístico ilustra esta alteração em relação ao dado dos primeiros $10$ dias.

Dois grupos de alunos querem verificar se uma moeda antiga está viciada a favor da cara ou se é uma moeda equilibrada. Para o estudar, dispõem de $100$ lançamentos já realizados, divididos em $5$ séries consecutivas de $20$ lançamentos cada uma, com as seguintes contagens de «cara»:

• Série 1: $13$ caras em $20$

• Série 2: $8$ caras em $20$

• Série 3: $14$ caras em $20$

• Série 4: $9$ caras em $20$

• Série 5: $12$ caras em $20$

O Grupo A analisa as séries separadamente e conclui: «Em $3$ das $5$ séries a frequência relativa superou $0,55$ ($65\,\%$, $70\,\%$ e $60\,\%$). Como a maioria das séries favorece a cara, fica demonstrado que a moeda está viciada».

O Grupo B sustenta que essa análise é imperfeita e propõe consolidar todos os lançamentos e alargar a experiência até atingir pelo menos $1\,000$ lançamentos antes de tirar conclusões.

1. a) Aponta o erro metodológico do Grupo A. Por que razão classificar as séries curtas de forma isolada pode conduzir a uma conclusão falsa num fenómeno aleatório?
2. b) Calcula a frequência relativa global do acontecimento «sair cara» no conjunto dos $100$ lançamentos realizados (sob a forma decimal e em percentagem). Se a moeda fosse equilibrada, este resultado de $100$ lançamentos é uma prova conclusiva de que está viciada ou pode ser atribuído à oscilação natural do acaso? Justifica a tua resposta.
3. c) Justifica por que razão a proposta do Grupo B de alargar para $1\,000$ lançamentos é superior: descreve que padrão matemático mostraria a frequência relativa acumulada se a moeda estivesse bem equilibrada face ao padrão que mostraria se estivesse realmente viciada com uma probabilidade teórica de cara igual a $0,60$.

Desafio do tema. Podemos prever o clima com a matemática? Transforma-te em analista meteorológico com este desafio.

1. Espaço de resultados e dados: Entra no site do IPMA e regista numa folha de cálculo se choveu ou não na tua localidade durante os últimos $30$ dias. Define o espaço de resultados $E$ do tempo diário.

2. Laplace versus realidade: Calcula a frequência relativa do acontecimento «dia de chuva» ($f$). Questiona se faz sentido aplicar a regra de Laplace atribuindo $P = 1/2 = 0,5$ ao facto de chover. Justifica se ambos os resultados são equiprováveis no teu concelho.

3. Simulação experimental: Lança uma moeda $50$ vezes (cara = chuva, coroa = sem chuva) para simular um modelo equiprovável. Anota as frequências relativas acumuladas a cada $10$ lançamentos e observa a sua tendência para a probabilidade teórica.

4. Produto final: Elabora um relatório breve (uma página) com um gráfico comparativo entre os teus lançamentos e os registos reais do IPMA, explicando que diferenças existem entre probabilidade experimental e teórica.

Será valorizado:

• Identificação correta do espaço de resultados e justificação rigorosa sobre o uso de Laplace.

• Utilização da folha de cálculo para tabular dados e calcular frequências relativas com precisão.

• Comparação reflexiva entre a experiência aleatória e os dados climáticos reais.

• Clareza expositiva nas conclusões do relatório final.