Exercícios: Polígonos

Imagina que estás a projetar os ícones para uma nova aplicação de telemóvel. Para que o design seja limpo, o programador pede-te que identifiques quais destas figuras são polígonos e quais não são. Justifica a tua resposta resumidamente, indicando qual a característica que falha nas figuras que não são polígonos.

No polígono seguinte, que representa a planta de uma pequena arrecadação, identifica e conta os seguintes elementos:

• Número de vértices.

• Número de lados.

• Número de ângulos internos.

• Traça uma diagonal que una o vértice $A$ ao vértice $C$ (copia antes o polígono para o teu caderno).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Classifique os seguintes polígonos quanto ao número de lados utilizando os nomes técnicos correspondentes (triângulo, quadrilátero, pentágono, etc.):

Um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos são inferiores a $180^\circ$ e côncavo se tem pelo menos um superior a $180^\circ$. Observa estas duas setas de sinalização e indica qual é côncava e qual é convexa.

Para que um polígono seja regular, deve ter todos os seus lados com o mesmo comprimento e todos os seus ângulos iguais. Observa as seguintes figuras de um jogo eletrónico e determina qual delas cumpre as condições para ser um polígono regular.

Calcule o perímetro do seguinte terreno de jardim sabendo que os seus lados medem as quantidades indicadas no desenho. Lembre-se de que o perímetro é a soma dos comprimentos de todos os seus lados.

Sabemos que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$. No quadrilátero $ABCD$ da figura foi traçada a diagonal $AC$ (linha tracejada), que o divide em dois triângulos: $ABC$ (a laranja) e $ACD$ (a azul). Com base nisso, quanto achas que somarão os ângulos internos de qualquer quadrilátero? Justifica a tua resposta.

Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono. Observa o pentágono (5 lados) do desenho e desenha todas as diagonais possíveis que saem do vértice marcado a laranja. Quantas diagonais, no total, achas que um pentágono tem se desenhares todas elas?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A Leonor quer calcular quanto mede cada ângulo interno de um pentágono regular para um trabalho manual escolar e anota no seu caderno:

«Como é um pentágono, tem $5$ lados. A soma dos seus ângulos internos é $180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$. Sendo regular, divido $900^\circ$ por $5$ e obtenho que cada ângulo interno mede $180^\circ$».

1. a) Encontra os dois erros de raciocínio geométrico que a Leonor cometeu. Explica porque é impossível que um ângulo interno de um polígono fechado meça $180^\circ$.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o valor correto da soma dos ângulos internos e a amplitude de cada ângulo interno do pentágono regular.

Vais construir uma maquete de um sinal de trânsito de «STOP», que tem a forma de um octógono regular.

1. a) Estima sem usar fórmulas: Pensa em como se compara um ângulo reto ($90^\circ$) com um ângulo raso ($180^\circ$). Num octógono regular, achas que os ângulos internos serão agudos, retos ou obtusos? Estarão mais perto de $90^\circ$ ou de $180^\circ$? Justifica a tua estimativa qualitativa.
2. b) Verifica: Aplica a fórmula do ângulo interno de um polígono regular para calcular o valor exato de cada um dos seus ângulos: $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$.
3. c) Compara a tua estimativa com o resultado obtido e explica se o valor numérico concorda com a forma visual de um sinal de STOP.

Uma equipa de engenheiros está a projetar uma nova antena de comunicações com a forma de um heptágono convexo. Para reforçar a estrutura, precisam de colocar cabos de reforço que unam todos os vértices entre si, mas que não sejam os próprios lados da antena. Quantos cabos de reforço (diagonais) terão de instalar no total? Desenha o polígono e traça todas as diagonais que saem de um único vértice para ajudar no raciocínio.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num jogo de construção, um jogador projetou um terreno com a forma de um quadrilátero irregular para plantar uma horta. Ao medir os ângulos internos com uma ferramenta do jogo, obteve os seguintes valores: $115^\circ$, $82^\circ$ e $96^\circ$. O quarto ângulo está oculto por um erro na interface. Calcule o valor desse ângulo sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre a mesma.

Uma pista de skate tem o perfil lateral mostrado no desenho a seguir. Observa a figura e responde justificadamente às seguintes perguntas:

• Trata-se de um polígono côncavo ou convexo? Porquê?

• Indica o número total de lados, vértices e diagonais deste polígono.

O diafragma de uma máquina fotográfica profissional é formado por lâminas que, ao fecharem-se, deixam uma abertura com a forma de um octógono regular.

• Calcule quanto mede o ângulo ao centro deste octógono.

• Calcule quanto mede cada um dos seus ângulos internos.

• Se a máquina tivesse um diafragma de 10 lados (decágono regular), o ângulo ao centro seria maior ou menor? Justifique a sua resposta.

Um decorador está a projetar um mosaico moderno utilizando peças com a forma de um pentágono regular. Ao tentar juntar três peças num mesmo ponto (vértice comum), repara que fica um pequeno espaço vazio.

• Calcule a amplitude do ângulo interno de um pentágono regular.

• Sabendo que uma volta completa em torno de um ponto é $360^\circ$, quantos graus mede o espaço livre que fica ao juntar três pentágonos?

Para um projeto de robótica, uma placa metálica deve ter a forma de um hexágono. O fabricante diz que a placa é "equiângula" (todos os seus ângulos internos são iguais), mas não é "equilátera" (os seus lados não têm a mesma medida).

• Este hexágono é um polígono regular? Justifica a resposta com base na definição.

• Se a placa tem 6 lados, quanto deve somar a medida de todos os seus ângulos internos?

• Qual é o valor de cada um dos seus ângulos internos?

Oito amigos sentam-se à volta de uma mesa circular para jogar um jogo de RPG. Cada jogador deve ter um "vínculo mágico" (uma corda de cor) com todos os outros jogadores da mesa, exceto com os que tem sentados mesmo ao seu lado esquerdo e direito. Se considerarmos que os jogadores são os vértices de um octógono:

1. a) Que elemento do polígono representam as cordas dos "vínculos mágicos"?

1. b) Calcula o número total de cordas que haverá sobre a mesa.

Na figura desenharam-se, para o jogador P₁, os seus dois vizinhos (pontos vermelhos, com os quais não tem vínculo) e os seus vínculos mágicos (linhas laranja).

Calcule o perímetro de um pentágono irregular sabendo que tem dois lados de $8\text{ cm}$ cada um, outros dois lados que medem o dobro dos anteriores, e um último lado que mede metade da soma dos outros quatro. Seria possível que este pentágono fosse regular? Explique porquê.

Uma equipa de design gráfico cria um novo ladrilho com a forma de um quadrilátero côncavo (com aspeto de ponta de seta) para decorar a parede de um pavilhão desportivo.

1. a) Quanto devem somar exatamente os quatro ângulos internos de qualquer quadrilátero? Justifica-o a partir do número de triângulos em que se divide a partir de um dos seus vértices.
2. b) O designer decidiu que o ângulo interno côncavo («o reentrante») meça $210^\circ$ e que os outros três ângulos internos tenham exatamente a mesma medida entre si. Formula o problema e calcula a medida de cada um desses três ângulos.
3. c) Raciocina se seria possível construir um quadrilátero que tenha dois ângulos internos côncavos (ou seja, maiores que $180^\circ$ cada um). Apoia-te na soma total dos ângulos para justificar a tua resposta.

O serviço de Parques e Jardins de um município em Portugal está a projetar uma zona de relvado com a forma de um polígono convexo. Para planear a instalação dos aspersores, um técnico observa que, a partir de um dos cantos (um único vértice), se podem traçar exatamente $4$ linhas retas até outros vértices sem que sejam os lados do recinto (ou seja, exatamente $4$ diagonais).

1. a) Modela a situação e deduz quantos lados tem no total a parcela. Explica detalhadamente como se relaciona o número de diagonais que partem de um vértice com o número total de lados $n$.
2. b) O perímetro total da parcela é de $49\text{ m}$ e os trabalhadores mediram que todos os seus lados têm o mesmo comprimento. Pode-se assegurar com total certeza matemática que a zona de relvado é um polígono regular? Justifica a tua resposta e dá um exemplo de quadrilátero onde todos os lados sejam iguais mas a figura não seja regular.
3. c) Se a parcela fosse efetivamente um polígono regular, quanto mediria cada lado e quanto somaria o total dos seus ângulos internos?

Um arquiteto está a projetar uma claraboia com formato de polígono regular. Sabe-se que a soma de todos os seus ângulos internos é de exatamente $1080^\circ$. No entanto, por um erro de fabrico, um dos ângulos internos resultou ser $5^\circ$ maior do que deveria.

1. Quantos lados tem a claraboia original?

2. Se os restantes ângulos se mantiverem iguais, quanto mede o ângulo que saiu com defeito?

3. Continua a ser um polígono regular? Justifique a sua resposta com base na definição de polígono regular.

Numa oficina de joalharia, está a ser projetado um pingente que une dois tipos de peças: um hexágono regular e seis triângulos equiláteros. Se o perímetro do hexágono central é de $24 \text{ cm}$:

1. Qual é o perímetro total da figura estrelada resultante?

2. Calcula o valor do ângulo interno das pontas da estrela (os ângulos que não tocam no hexágono).

3. Se duplicarmos o lado do hexágono, o que acontece ao perímetro total da estrela? Duplica, triplica ou aumenta noutra proporção?

Dispões de três varetas rígidas para construir um triângulo. A primeira mede $15 \text{ cm}$ e a segunda $8 \text{ cm}$. O comprimento da terceira é $x$.

1. a) Qual é a medida mínima (em números inteiros de centímetros) que a terceira vareta deve ter para poder formar o triângulo?

1. b) Qual é a medida máxima (em números inteiros de centímetros) que poderia ter?

1. c) Se a terceira vareta medisse exatamente $17 \text{ cm}$, que tipo de triângulo obterias segundo os seus ângulos? (Dica: verifica se se cumpre a relação $a^2 = b^2 + c^2$).

Observe a figura seguinte, que representa um logótipo formado por um quadrado de lado $10 \text{ cm}$ do qual foram "recortados" dois triângulos nos seus cantos superiores.

1. Classifique o polígono resultante (a área sombreada) quanto ao número de lados e ao seu tipo (côncavo ou convexo).

2. Se os cortes foram feitos exatamente pelos pontos médios dos lados do quadrado, calcule o perímetro do novo polígono.

3. Qual é a soma dos ângulos internos deste novo polígono?

Um parque infantil tem a forma de um pentágono irregular. Os seus ângulos internos são $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ e $90^\circ$.

1. Calcule a medida do quinto ângulo.

2. É possível que este parque seja um pentágono convexo? Justifique a sua resposta.

3. Se o ângulo de $90^\circ$ se encontra entre dois lados de $12 \text{ m}$ e $16 \text{ m}$, quanto mediria o segmento que une as extremidades desses dois lados? (Use o Teorema de Pitágoras).

Num quadrilátero qualquer, sabemos que as diagonais são perpendiculares e têm a mesma medida, mas não se intersetam no seu ponto médio.

1. De que figura se trata? Desenha um exemplo aproximado.

2. Se as diagonais medem $14 \text{ cm}$, podemos calcular a área do quadrilátero mesmo que não seja um losango nem um quadrado? Se sim, calcula-a.

3. Pesquisa: que nome recebe o quadrilátero que possui dois pares de lados consecutivos iguais (forma de papagaio)?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma equipa de design gráfico quer criar um azulejo com a forma de um hexágono regular de lado $L$. Dentro do hexágono, desenham todas as diagonais que saem de um mesmo vértice.

1. Em quantos triângulos fica dividido o hexágono?

2. Esses triângulos são iguais entre si? Classifica-os quanto aos lados.

3. Se o ângulo interno do hexágono é de $120^\circ$, quanto medem os ângulos de cada um dos triângulos formados?

Imagina um polígono regular em que o valor do seu ângulo ao centro é a quarta parte do valor do seu ângulo interno.

1. Escreve uma equação que relacione o ângulo ao centro ($360/n$) e o ângulo interno ($180 \cdot (n-2) / n$) para encontrares o número de lados $n$.

2. Como se chama este polígono?

3. Qual é a soma dos seus ângulos externos? (Lembra-te de que esta propriedade é comum a todos os polígonos convexos).

Para deduzir a soma dos ângulos internos de um heptágono convexo ($7$ lados) sem recorrer à fórmula memorizada, dois estudantes do 1.º ano do Ensino Secundário Obrigatório propõem duas estratégias distintas:

• Método do Sérgio: Escolhe um único vértice do heptágono e traça todas as diagonais possíveis a partir dele, dividindo o polígono em vários triângulos.

• Método da Alba: Coloca um ponto auxiliar no interior do heptágono e une-o aos $7$ vértices, formando $7$ triângulos que partilham esse ponto central.

1. a) Aplica o método do Sérgio: indica quantos triângulos se obtêm, calcula a soma total dos seus ângulos e justifica por que razão essa soma coincide exatamente com a soma dos ângulos internos do heptágono.
2. b) Aplica o método da Alba: calcula a soma dos ângulos dos $7$ triângulos formados e explica que operação adicional é necessário fazer com os ângulos que rodeiam o ponto interior para obter a soma dos ângulos do heptágono.
3. c) Escolhe o método: Se tivesses de explicar a um colega como encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono de $100$ lados, qual dos dois métodos escolherias? Compara a simplicidade de ambos os raciocínios e justifica a tua escolha analisando os possíveis descuidos de cada caminho.

No desenho de passeios e calçadas pedonais de várias cidades portuguesas utilizam-se ladrilhos com a forma de polígonos regulares. Para que um pavimento cubra o chão por completo sem deixar espaços vazios nem se sobrepor ao unir-se num mesmo vértice, a soma dos ângulos internos que coincidem nesse vértice deve ser exatamente igual a $360^\circ$.

Um gabinete de urbanismo quer pavimentar uma praça e analisa três propostas de ladrilhos regulares:

1. a) Proposta A (pentágonos regulares): Calcula a medida do ângulo interno de um pentágono regular e demonstra numericamente por que é impossível pavimentar a praça usando exclusivamente este tipo de ladrilho.
2. b) Proposta B (hexágonos regulares): Calcula a medida do ângulo interno de um hexágono regular e determina se permite pavimentar a praça sem espaços vazios. Em caso afirmativo, quantos ladrilhos coincidirão exatamente em cada vértice comum?
3. c) Proposta C (octógonos regulares): Um fabricante assegura que se pode pavimentar a praça combinando octógonos regulares com outra figura regular mais pequena para preencher os espaços que ficam livres. Calcula o ângulo interno de um octógono regular, demonstra que dois octógonos juntos não completam a volta nem três deles cabem num vértice, e deduz que tipo de polígono regular conhecido encaixa exatamente no espaço vazio para somar os $360^\circ$.