Exercícios: Elementos do plano

Observa a imagem seguinte e identifica qual dos elementos desenhados corresponde a uma reta, qual a uma semirreta e qual a um segmento. Explica brevemente a diferença entre eles observando as respetivas extremidades.

Na planta do teu bairro, duas ruas podem cruzar-se ou ser paralelas. Observa o esquema das retas $a$, $b$ e $c$. Indica qual par de retas é paralelo e qual par é secante. Como se chama o ponto laranja onde duas delas se cortam?

Classifique os seguintes ângulos segundo a sua amplitude em agudo, reto ou obtuso. Para ajudar, lembre-se de que um ângulo reto mede exatamente $90^\circ$.

• Ângulo $A = 45^\circ$

• Ângulo $B = 120^\circ$

• Ângulo $C = 90^\circ$

• Ângulo $D = 10^\circ$

Dois ângulos são complementares se a sua soma é $90^\circ$ e suplementares se a sua soma é $180^\circ$. Calcule quanto vale o ângulo que falta em cada caso:

1. a) O complementar de um ângulo de $35^\circ$.
2. b) O suplementar de um ângulo de $110^\circ$.

Quando duas retas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais. No desenho seguinte, se sabemos que o ângulo laranja $\hat{\alpha}$ mede $40^\circ$, quanto medirão os ângulos $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ e $\hat{\delta}$?

Os ponteiros de um relógio formam diferentes ângulos ao longo do dia.

1. a) Que tipo de ângulo formam os ponteiros quando são 3:00 em ponto?
2. b) E quando são 6:00 em ponto?
3. c) Que ângulo (em graus) percorre o ponteiro dos minutos em 15 minutos?

Desenha um polígono de três lados (um triângulo) e nomeia os seus elementos principais. Deves indicar onde estão os vértices, os lados e os ângulos internos. Quantos de cada um tem um triângulo?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Os seguintes segmentos têm estes comprimentos:

• Segmento $AB = 40$ $mm$

• Segmento $CD = 2,5$ $cm$

• Segmento $EF = 0,5$ $dm$

Calcula a soma total dos seus comprimentos em centímetros ($cm$).

Lembra-te de passar todas as medidas para a mesma unidade antes de somar.

O Lucas tem de calcular o ângulo complementar de $\hat{A} = 42^\circ\ 35'$. No seu caderno escreveu a seguinte resolução:

«Como dois ângulos complementares somam $90^\circ$, subtraio: $90^\circ - 42^\circ\ 35'$. Converto $90^\circ$ em $89^\circ\ 100'$, pelo que faço $89^\circ\ 100' - 42^\circ\ 35' = 47^\circ\ 65'$. Como $65'$ ultrapassa um grau, passo $60'$ para os graus e obtenho como resultado final $48^\circ\ 5'$».

1. a) Identifica o erro cometido pelo Lucas e explica detalhadamente por que razão o seu raciocínio sobre as unidades falha e como afeta o resultado final, recordando a base do sistema sexagesimal.
2. b) Realiza a operação de forma correta e encontra a medida exata do ângulo complementar de $\hat{A}$.

Num atelier de desenho geométrico pedem-te para encontrar um ângulo $\hat{A}$ desconhecido que cumpre uma propriedade matemática muito concreta: a medida do seu ângulo suplementar é exatamente o triplo da medida do seu ângulo complementar.

1. a) Raciocina, sem necessidade de calcular ainda o ângulo $\hat{A}$, quantos graus de diferença existem sempre entre o ângulo suplementar e o complementar de qualquer ângulo do plano.
2. b) Utiliza essa diferença e a condição de que um é o triplo do outro para deduzir quanto deve medir obrigatoriamente o ângulo complementar de $\hat{A}$.
3. c) Determina, a partir do anterior, a medida exata do ângulo $\hat{A}$ e verifica que se cumpre a condição inicial, calculando o seu complementar e o seu suplementar.

Num mapa de caminhada, um percurso reto une o ponto $A$ (um abrigo) ao ponto $B$ (uma cascata). Se prolongarmos o percurso além da cascata em direção ao cume da montanha (ponto $C$), identifica qual elemento geométrico cada um dos seguintes troços representa:

1. O caminho que começa no abrigo e termina na cascata.

2. O caminho que começa no abrigo e segue indefinidamente passando pela cascata e pelo cume.

3. A linha teórica que contém o abrigo, a cascata e o cume, estendendo-se sem fim em ambas as direções.

Um arquiteto está a projetar uma nova zona residencial. Ele traçou três ruas representadas pelas retas $r$, $s$ e $t$. Observa a planta e responde de forma fundamentada:

• Se a rua $r$ é perpendicular à rua $s$, e a rua $t$ é paralela à rua $r$, como são entre si as ruas $s$ e $t$?

• Se um carro circula pela rua $s$ e quer virar para entrar na rua $t$, que ângulo (em graus) terá de virar?

Um radar de trânsito gira sobre o seu eixo, varrendo um ângulo total de $145^\circ$ $30'$. Se o radar já girou $82^\circ$ $45' $ $20''$, quanto falta girar para completar a sua varredura total? Expresse o resultado em graus, minutos e segundos.

No projeto de uma rampa para skaters, foram calculados três ângulos internos que devem somar um ângulo raso para que a estrutura seja estável. Se os dois primeiros ângulos medem $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ e $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$, calcule a medida do terceiro ângulo $\hat{C}$. De que tipo de ângulo se trata segundo a sua amplitude (agudo, reto ou obtuso)?

Dois ângulos são suplementares. Se um deles mede o triplo do outro, qual é a amplitude de cada um dos ângulos? Utilize um esquema gráfico para visualizar a situação.

Dois amigos, Ana e Duarte, querem instalar uma antena repetidora de Wi-Fi no pátio da escola de modo que esteja exatamente à mesma distância de ambos. Se a Ana está no ponto $A$ e o Duarte no ponto $B$:

1. Como se chama a linha imaginária onde poderiam colocar a antena?

2. Se a distância entre a Ana e o Duarte é de $12$ metros, a que distância mínima de cada um estará a antena?

3. Desenhe um esquema representando os pontos $A$ e $B$, o segmento que os une e a linha onde devem situar a antena.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um jardineiro quer dividir um canteiro de flores em forma de setor circular em dois setores iguais. Para isso, precisa de traçar a bissetriz do ângulo central formado pelo canteiro original, que mede $135^\circ$.

• Calcule quanto medirá cada um dos novos ângulos após traçar a bissetriz.

• Se o jardineiro cometer um erro e traçar uma linha que deixa um ângulo de $60^\circ$ $40'$, quantos graus, minutos e segundos de diferença há em relação à bissetriz correta?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observa os ponteiros de um relógio analógico quando marca exatamente as $15:00$ (as três em ponto). A figura mostra esse relógio: o ponteiro curto é o das horas e o comprido é o dos minutos.

Responde:

1. a) Que tipo de ângulo formam os dois ponteiros às $15:00$?

1. b) Se o relógio avançar até às $15:10$, o ponteiro dos minutos girou um certo ângulo. Sabendo que cada minuto equivale a uma rotação de $6^\circ$ do ponteiro dos minutos, que ângulo percorreu o ponteiro dos minutos?

1. c) Às $15:10$, o ângulo formado pelos dois ponteiros é maior ou menor do que o que formavam às $15:00$? Tem em conta que o ponteiro das horas também se desloca um pouco: gira $0,5^\circ$ a cada minuto.

O braço giratório de uma máquina de triagem num centro logístico de Aveiro parte de uma posição de referência e roda um ângulo de $58^\circ\ 48'$. Para completar uma calibração que exige atingir exatamente um ângulo reto ($90^\circ$), o operador deve programar uma segunda rotação complementar a seguir à primeira.

1. a) Antes de fazeres contas com lápis e papel, estima fundamentadamente entre que duas dezenas inteiras de graus (por exemplo, entre $20^\circ$ e $30^\circ$, ou entre $30^\circ$ e $40^\circ$) estará o valor da rotação restante. Explica em que reparas para realizar a estimativa sem calcular o valor exato.
2. b) Calcula com precisão sexagesimal (em graus e minutos) a medida da rotação que falta à máquina fazer para atingir os $90^\circ$.
3. c) Compara o valor exato obtido com a tua estimativa prévia e avalia fundamentadamente se tem sentido geométrico.

Na remodelação urbanística de uma zona de Coimbra, cruzam-se duas avenidas retas, a Avenida do Norte e a Avenida Central, cortando-se num ponto $P$. Um dos quatro ângulos gerados nesse cruzamento mede $68^\circ\ 40'$.

1. a) Modela a situação classificando a posição relativa de ambas as avenidas no plano e determina fundamentadamente a medida dos outros três ângulos originados no cruzamento $P$, justificando quais são opostos pelo vértice e quais são suplementares.
2. b) Para facilitar a curva dos autocarros urbanos, projeta-se uma plataforma cujo eixo central coincide exatamente com a bissetriz do ângulo de $68^\circ\ 40'$. Calcula a medida exata do ângulo (em graus e minutos) que essa plataforma forma com a Avenida Central.
3. c) Se mais adiante for aberta uma nova rua totalmente paralela à Avenida do Norte que também corte a Avenida Central noutro ponto diferente, justifica que ângulos formará essa nova rua com a Avenida Central sem necessidade de os medir no terreno.

Três vilas, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) e Cañotal ($C$), estão situadas de forma que o ângulo de vértice em $A$ formado pelas estradas que vão para $B$ e $C$ mede $74^\circ \ 12'$. Pretende-se construir uma torre de telecomunicações que esteja exatamente à mesma distância da estrada $AB$ e da estrada $AC$. Além disso, a torre deve estar situada à mesma distância das vilas $B$ e $C$. Descreva, fundamentando, que elementos geométricos do plano (retas notáveis) devem ser traçados para encontrar a localização exata da torre e que nome recebe o ponto de interseção.

No projeto de uma peça metálica, dois ângulos são suplementares. Se um deles é o triplo do outro diminuído em $20^\circ$, quanto mede cada um dos ângulos? Proponha uma estratégia lógica ou matemática para encontrar as suas medidas em graus, minutos e segundos.

Calcule de forma exata o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio analógico quando marca $10:20$ da manhã. Tenha em conta que o ponteiro das horas se desloca proporcionalmente ao movimento do ponteiro dos minutos. (Sugestão: a cada minuto, o ponteiro das horas avança $0,5^\circ$).

Duas retas paralelas, $r$ e $s$, são cortadas por uma secante $t$. Sabe-se que dois ângulos alternos internos são expressos pelas medidas $2x + 15^\circ$ e $3x - 10^\circ$.

1. a) Determina o valor de $x$.
2. b) Calcula a amplitude dos oito ângulos que se formam na interseção.

Desenhe um ângulo obtuso $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Trace a sua bissetriz $OC$. Posteriormente, trace a bissetriz $OD$ do ângulo $\widehat{AOC}$. Sem utilizar o transferidor para a medida final, calcule aritmeticamente quanto mede o ângulo suplementar do ângulo $\widehat{DOB}$. Mostre todos os passos da operação no sistema sexagesimal.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma pizzaria quer dividir uma pizza circular de $30 \text{ cm}$ de diâmetro em 7 fatias iguais.

1. a) Qual é a medida exata da amplitude do ângulo ao centro de cada fatia, em graus, minutos e segundos?
2. b) Se, por engano, o primeiro corte for feito a $52^\circ$, quantos minutos e segundos a mais tem essa fatia em relação à medida correta?

Dois estudantes do 1.º ano do ESO, a Irene e o Marcos, querem descobrir quanto mede o ângulo formado entre si pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares quaisquer, $\hat{A}$ e $\hat{B}$ (que somam $180^\circ$ e partilham o vértice e um lado comum).

• Método da Irene (verificação numérica): Escolhe um caso concreto, por exemplo $\hat{A} = 120^\circ$ e $\hat{B} = 60^\circ$. Divide cada um por dois para encontrar as suas bissetrizes ($60^\circ$ e $30^\circ$), soma-as ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) e conclui que formarão sempre $90^\circ$.

• Método do Marcos (dedução geral): Formula que se $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$, o ângulo formado pelas duas bissetrizes é a soma das suas metades: $\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

1. a) Compara criticamente ambos os caminhos: por que razão o método da Irene serve como indício mas não demonstra formalmente que a propriedade se cumpre para todos os pares de ângulos suplementares possíveis? Que vantagem traz o método do Marcos?
2. b) Aplica o método dedutivo geral do Marcos para calcular e demonstrar quanto medirá sempre o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes que sejam complementares.
3. c) A partir da tua dedução, raciocina se é possível que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares formem um ângulo obtuso em algum caso.

No centro de Salvamento Marítimo de Sines, os controladores traçam num ecrã plano a navegação de várias embarcações:

• O navio Alfa segue uma trajetória retilínea representada pela reta $r$.

• O navio Bravo segue outra rota retilínea representada pela reta $s$. Ambas as rotas são secantes e cortam-se num ponto $P$, formando um ângulo agudo de $41^\circ\ 35'$.

• Uma lancha de salvamento parte do cruzamento $P$ navegando em linha reta seguindo exatamente a bissetriz do ângulo obtuso que as rotas de Alfa e Bravo formam nesse ponto.

• Um navio-mãe Charlie desloca-se ao longo de uma trajetória retilínea $t$ que é perpendicular à trajetória do navio Alfa ($r \perp t$) num ponto situado a várias milhas de $P$.

1. a) Determina de forma fundamentada a medida exata do ângulo obtuso que as trajetórias de Alfa e Bravo formam no ponto $P$.
2. b) Calcula a medida exata (em graus, minutos e segundos sexagesimais) do ângulo que o rumo da lancha de salvamento forma com a trajetória do navio Bravo.
3. c) Demonstra de forma puramente geométrica se as trajetórias do navio Charlie ($t$) e do navio Bravo ($s$) chegarão a cortar-se em algum ponto do plano ou se existe a possibilidade de serem paralelas. Para o justificar, deduz que condição angular teriam de cumprir $r$ e $s$ para que $t$ pudesse ser paralela a $s$.