Exercícios: Quadriláteros

Estamos a projetar o logótipo para uma nova equipa de eSports. O logótipo principal tem a forma do quadrilátero que vês no desenho. Observa os seus lados e ângulos, e responde:

1. a) Como se chama este quadrilátero de forma precisa?
2. b) A qual grupo pertence: paralelogramos, trapézios ou trapezoides? Justifica a tua resposta observando o paralelismo dos seus lados.

Na aula de desenho técnico, um aluno desenhou um quadrilátero e mediu três dos seus ângulos internos: $110^\circ$, $70^\circ$ e $110^\circ$.

1. a) Sabendo que a soma dos ângulos de qualquer quadrilátero é sempre a mesma, quanto deve medir o quarto ângulo?
2. b) Se os lados opostos são iguais dois a dois, de que figura se trata?

O ecrã de um novo modelo de smartphone tem a forma de um retângulo. O fabricante indica que a sua base mede $7\text{ cm}$ e a sua altura é de $15\text{ cm}$.

1. a) Calcule o perímetro do smartphone (o comprimento da moldura metálica que envolve o ecrã).
2. b) Se quisermos colocar uma película protetora que cubra toda a superfície, qual será a área dessa película em $\text{cm}^2$?

Observe as diagonais dos seguintes quadriláteros. Uma das propriedades mais importantes é se estas são perpendiculares (formam $90^\circ$) e se se cortam no seu ponto médio.

Identifique qual destes desenhos representa as diagonais de um losango e qual as de um retângulo. Justifique a sua escolha.

O tampo de uma mesa de sala de aula tem a forma de um quadrilátero. Se observares bem, ele tem dois lados paralelos de comprimentos diferentes e os outros dois lados são iguais entre si.

1. a) Como se classifica este quadrilátero?
2. b) É um paralelogramo? Explica porquê.

Desenha no teu caderno um quadrado de $4\text{ cm}$ de lado, como o da figura.

1. a) Traça todos os seus eixos de simetria. Quantos encontraste no total?
2. b) Todos os eixos se cortam no mesmo ponto? Como se chama esse ponto?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Indique se as seguintes afirmações sobre paralelogramos são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente a sua resposta:

1. Todo o quadrado é também um retângulo porque tem 4 ângulos retos.

2. Um losango é um quadrado porque tem os seus 4 lados iguais.

3. O romboide não tem as diagonais iguais.

Calcule a área da zona sombreada da seguinte quadrícula, sabendo que cada quadrado pequeno mede $1\text{ cm}$ de lado. Para facilitar, divida a figura num retângulo e num triângulo.

Na aula de Educação Visual, o João está a construir uma moldura de madeira com a forma de um quadrilátero para uma gravura artística. Mediu com o transferidor três dos ângulos internos da moldura: $75^\circ$, $110^\circ$ e $85^\circ$. Para descobrir a medida que o quarto ângulo interno deve ter, o João escreve no seu caderno:

$$\hat{D} = 180^\circ - (75^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 270^\circ = -90^\circ$$

Ao obter um resultado negativo, percebe que algo está errado.

1. a) Identifica o erro concetual do João: com que outra figura geométrica confundiu a propriedade da soma dos ângulos internos e qual é a soma correta em qualquer quadrilátero?
2. b) Corrige o seu raciocínio e calcula a medida exata que o quarto ângulo deve ter.

Desenha tu mesmo as medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero que cumpra todas estas condições ao mesmo tempo:

1. A soma dos seus quatro ângulos internos deve ser a correspondente a qualquer quadrilátero convexo.

2. Nenhum dos seus quatro ângulos pode ser reto (nenhum pode medir exatamente $90^\circ$).

3. Não pode ser um paralelogramo (isto é, não pode ter os ângulos opostos iguais dois a dois).

Escreve os quatro valores em graus que escolheste, verifica numericamente que somam o que devem e justifica fundamentadamente por que motivo, com esses ângulos, é impossível que a figura seja um paralelogramo.

Numa oficina de design gráfico, o Tomás está a criar um logótipo com forma de romboide (paralelogramo não regular). Se um dos ângulos internos do romboide mede $65^\circ$, calcule de forma fundamentada a medida dos outros três ângulos do logótipo.

A secção transversal de uma nova rampa de skate tem a forma de um trapézio isósceles. Sabemos que a base superior mede $3\text{ m}$, a base inferior mede $7\text{ m}$ e os ângulos que a base inferior forma com os lados laterais são de $72^\circ$. Indica quanto medem os dois ângulos da parte superior e justifica a tua resposta com base nas propriedades dos trapézios.

Classifique os seguintes quadriláteros com base exclusivamente na descrição das suas diagonais:

• Figura A: As suas diagonais têm comprimentos diferentes, são perpendiculares e intersetam-se no seu ponto médio.

• Figura B: As suas diagonais são iguais, não são perpendiculares e intersetam-se no seu ponto médio.

• Figura C: As suas diagonais são iguais, são perpendiculares e intersetam-se no seu ponto médio.

Uma empresa de telecomunicações quer projetar um ecrã para um novo modelo de smartphone com a forma de um retângulo. O projetista estabeleceu que a base deve medir o dobro da altura. Se o perímetro total do ecrã deve ser de $36\text{ cm}$, quais serão as dimensões (base e altura) do ecrã?

Um arquiteto está a projetar uma janela em forma de losango. Para que a estrutura seja estável, colocou duas ripas de madeira que coincidem com as diagonais do losango. A diagonal maior mede $160\text{ cm}$ e a diagonal menor mede $120\text{ cm}$. Ao cruzarem-se, as diagonais dividem o losango em quatro triângulos iguais.

1. Que tipo de triângulos são esses? (segundo os seus ângulos).

2. Se o lado do losango mede $100\text{ cm}$, calcule o perímetro total da janela.

Desenhe no seu caderno um quadrilátero qualquer (trapézio não, sem nenhum par de lados paralelos) que não tenha nenhum lado paralelo. Marque o ponto médio de cada um dos seus quatro lados e una-os seguindo a ordem do contorno.

1. Que figura geométrica especial se forma sempre no interior?

2. Se os lados do quadrilátero original medem $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, qual é o perímetro do quadrilátero original?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num teste de geometria, pedem à Beatriz que calcule o ângulo que falta num papagaio de papel que tem a forma de um trapezoide simétrico (papagaio). Os ângulos desiguais medem $110^\circ$ (o superior) e $40^\circ$ (o inferior). Se os outros dois ângulos são iguais entre si, quanto mede cada um deles? Lembra-te de utilizar a propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

Observe as seguintes afirmações sobre os quadriláteros e diga se são Verdadeiras ou Falsas, justificando a sua resposta:

1. "Um quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango".

2. "Um trapézio retângulo tem exatamente quatro ângulos retos".

3. "Num paralelogramo, as diagonais são iguais e perpendiculares".

4. "Qualquer paralelogramo tem dois pares de lados paralelos".

A cobertura de um pavilhão industrial num parque empresarial de Braga tem a forma de um trapézio isósceles visto de frente. Os dois lados inclinados medem exatamente o mesmo e a viga inferior (base maior) é horizontal e mais larga do que a viga superior (base menor). Sabe-se que os dois ângulos que os lados inclinados formam com a base inferior medem $35^\circ$ cada um.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo exato, estima fundamentadamente se os outros dois ângulos (os que se formam com a base superior) serão agudos ou obtusos, e explica se cada um deles deveria medir mais ou menos de $120^\circ$.
2. b) Calcula o valor exato dos dois ângulos superiores apoiando-te na propriedade da soma dos ângulos de um quadrilátero e na simetria do trapézio isósceles.
3. c) Compara o teu cálculo exato com a estimativa que fizeste na alínea a) e avalia se o teu raciocínio visual prévio estava correto.

Uma empresa de azulejos de Aveiro desenha ladrilhos com a forma de um romboide (um paralelogramo com lados contíguos desiguais e sem ângulos retos). No catálogo técnico especifica-se que o menor dos seus ângulos internos mede $50^\circ$. Para determinar a medida dos outros três ângulos, dois desenhadores seguem caminhos diferentes:

• Estratégia da Laura: Sabe que os quatro ângulos internos somam $360^\circ$ e que os ângulos opostos são iguais; portanto, estabelece a equação $2 \cdot 50^\circ + 2 \cdot \hat{B} = 360^\circ$ e resolve em ordem a $\hat{B}$.

• Estratégia do Tomás: Utiliza o facto de os lados opostos serem paralelos, pelo que dois ângulos consecutivos são suplementares; calcula diretamente $\hat{B} = 180^\circ - 50^\circ$.

1. a) Aplica ambos os métodos separadamente para calcular o valor do ângulo $\hat{B}$ e verifica se dão o mesmo resultado.
2. b) Compara ambos os caminhos: qual dos dois requer menos passos de cálculo e apoia-se de forma mais direta na definição de paralelogramo? Justifica a tua resposta explicando por que motivo os ângulos consecutivos somam $180^\circ$.

Num parque de diversões, projetou-se uma nova área de jogos com a forma de um papagaio (também chamado de pipa). Sabemos que o ângulo superior mede $\hat{A} = 110^\circ$ e o ângulo inferior mede $\hat{C} = 40^\circ$. Os outros dois ângulos laterais são iguais entre si. Calcule a amplitude desses dois ângulos laterais e explique de forma fundamentada por que razão devem ser iguais neste tipo de figura.

Uma empresa de design gráfico está a criar um logótipo. Desenharam um quadrilátero qualquer e marcaram os pontos médios de cada um dos seus lados. Ao unir esses pontos médios por ordem, forma-se um novo quadrilátero no interior.

1. Que tipo de quadrilátero se forma sempre no interior, independentemente da forma do original?

2. Se a área do quadrilátero exterior é de $120 \text{ cm}^2$, qual será a área da figura formada ao unir os pontos médios?

O ecrã de um novo modelo de smartphone tem forma retangular. O fabricante indica que o perímetro total do ecrã é de $48 \text{ cm}$ e que a base mede exatamente o dobro da altura.

1. Calcule as dimensões (base e altura) do ecrã.

2. Se for colocado um protetor que custa $0,50 \text{ €}$ por cada $\text{cm}^2$ de superfície, quanto custará proteger o ecrã inteiro?

Na construção de uma rampa para um skatepark, utiliza-se uma estrutura com a forma de um trapézio retângulo. O ângulo obtuso da estrutura mede $125^\circ$. Calcule a amplitude de todos os ângulos internos desse trapézio e justifique a sua resposta com base nas propriedades das retas paralelas cortadas por uma secante.

Um artista está a projetar um mosaico com peças em forma de losango. Ele sabe que as duas diagonais do losango somam $28 \text{ cm}$ e que a diagonal maior mede $4 \text{ cm}$ a mais do que a diagonal menor.

1. Calcule a medida de ambas as diagonais.

2. Calcule a área de uma única peça do mosaico.

3. Se o mosaico completo utiliza $50$ peças iguais, quantos decímetros quadrados ($\text{dm}^2$) de superfície cobrirá no total?

Descubra de que quadrilátero estamos a falar em cada caso com base nas suas diagonais:

1. "As minhas diagonais são iguais e intersetam-se perpendicularmente no seu ponto médio".

2. "As minhas diagonais são iguais, intersetam-se no seu ponto médio, mas não são perpendiculares".

3. "As minhas diagonais não são iguais, mas são perpendiculares e intersetam-se no seu ponto médio".

4. "Tenho dois lados paralelos e duas diagonais iguais, mas não se intersetam nos seus pontos médios".

Justifique a sua resposta fazendo um pequeno esquema das diagonais para cada caso.

Um jardim quadrado de $20 \text{ metros}$ de lado tem no seu centro uma fonte também quadrada. Sabemos que a distância de qualquer lado do jardim ao lado paralelo da fonte é de $6 \text{ metros}$.

1. Quanto mede o lado da fonte central?

2. Calcule a área da zona de passeio (a região do jardim não ocupada pela fonte).

Num romboide, a soma de dois dos seus ângulos opostos é $130^\circ$.

1. Quanto mede cada um desses dois ângulos?

2. Quanto medem os outros dois ângulos do romboide?

3. Se o lado maior do romboide mede $12 \text{ cm}$ e o perímetro é de $38 \text{ cm}$, quanto mede o lado menor?

Uma associação de regantes do Campo de Cartagena (Múrcia) gere um reservatório de rega cuja superfície tem a forma de um quadrilátero, com vértices consecutivos $A$, $B$, $C$ e $D$. Um levantamento topográfico fornece os seguintes dados sobre as suas margens:

• A margem $AB$ é paralela à margem $CD$.

• As margens $BC$ e $DA$ não são paralelas entre si.

• No vértice $A$, o canal de entrada entra em ângulo reto com a margem $AB$, de modo que $\hat{A} = 90^\circ$.

• No vértice $C$, o sensor de nível marca um ângulo interno de $\hat{C} = 130^\circ$.

1. a) Classifica a forma geométrica do reservatório com a maior precisão possível (grupo geral, tipo e subtipo de quadrilátero), justificando cada termo a partir dos dados.
2. b) Calcula de forma fundamentada a amplitude dos ângulos internos nos vértices $B$ e $D$. Explica em que propriedades geométricas te baseias (paralelismo entre lados e soma de ângulos internos).
3. c) Um operador afirma: «Como a margem $AB$ é paralela a $CD$ e o ângulo em $A$ é de $90^\circ$, obrigatoriamente o ângulo em $D$ também tem de ser de $90^\circ$». Demonstra se a sua afirmação é verdadeira ou falsa utilizando as propriedades das retas paralelas cortadas por uma secante.

Durante um debate na aula sobre como classificar quadriláteros a partir das suas diagonais, o Sérgio afirma categoricamente:

1. «Qualquer quadrilátero cujas duas diagonais sejam perpendiculares entre si é obrigatoriamente um losango».

2. «Se, além de serem perpendiculares, as duas diagonais medirem exatamente o mesmo, a figura é com toda a certeza um quadrado».

A tua tarefa é analisar com rigor geométrico ambas as afirmações:

1. a) Demonstra que a primeira afirmação é falsa nomeando e descrevendo um quadrilátero conhecido que tenha diagonais perpendiculares mas não seja um losango. Explica que condição adicional devem cumprir as diagonais em relação ao ponto onde se intersetam para garantir que seja um losango.
2. b) Demonstra que a segunda afirmação também é falsa descrevendo como construir um quadrilátero que tenha diagonais perpendiculares e iguais mas não seja um quadrado (pensa no que acontece se as diagonais não se intersetarem no seu ponto médio, como num papagaio ou trapezoide simétrico).
3. c) Redige, de forma clara e completa, a lista de condições que as diagonais de um quadrilátero devem cumprir simultaneamente para garantir que a figura é um quadrado.