Exercícios: Figuras compostas e problemas de medição

A figura mostra uma casa formada por um retângulo de $8$ m de largura e $5$ m de altura e um telhado triangular de $3$ m de altura.

1. a) Calcule a área da parte retangular.
2. b) Calcule a área do telhado triangular.
3. c) Qual é a área total da fachada?

Na quadrícula da figura, cada quadrado representa $1\ \text{cm}^2$. O contorno azul é a margem de um pequeno lago.

1. a) Conta os quadrados que ficam completamente dentro do lago.
2. b) Conta os que o lago toca apenas em parte.
3. c) Dá uma estimativa da área do lago explicando o critério que utilizaste.

A moldura da figura é um retângulo de $30$ cm por $24$ cm, e a fotografia nela contida mede $24$ cm por $18$ cm.

1. a) Calcule a área do retângulo exterior e a da fotografia.
2. b) Qual é a área da moldura (a zona laranja)?
3. c) Quanto mede a largura da moldura na parte superior? Justifique como calculou.

Uma letra «T» gigante para um photocall é formada por dois retângulos: o travessão superior, de $120$ cm de comprimento e $30$ cm de altura, e a haste vertical, de $90$ cm de altura e $30$ cm de largura, unida por baixo e centralizada.

1. a) Calcule a área total do cartaz.
2. b) Se o material custa $8,50\ \text{€}$ o metro quadrado, quanto custa o cartaz? Exprima antes a área em $\text{m}^2$.

Para sinalizar um percurso pedestre, a Beatriz desenha uma placa de madeira juntando duas peças sem as sobrepor: um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado e, sobre o seu lado superior, um triângulo equilátero também de $10\text{ cm}$ de lado.

Para encomendar uma fita metálica que proteja todo o bordo exterior, a Beatriz faz o seguinte cálculo:

«Perímetro do quadrado = $4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$. Perímetro do triângulo = $3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$. Portanto, preciso de $40 + 30 = 70\text{ cm}$ de fita metálica».

1. a) Explica fundamentadamente que erro conceptual a Beatriz cometeu e que parte das figuras contou a mais.
2. b) De quantos centímetros de fita metálica se precisa realmente para rodear o contorno exterior da placa?
3. c) Se a altura do triângulo equilátero é de aproximadamente $8,7\text{ cm}$, calcula a área total de madeira que a placa tem.

Na disciplina de Biologia e Geologia desenharam sobre uma planta quadriculada um pequeno charco para anfíbios na horta escolar. Na planta, cada quadrado da quadrícula representa $1\text{ m}^2$.

O charco tem forma irregular e fica totalmente contido dentro de uma zona retangular de $5\text{ m}$ de comprimento por $4\text{ m}$ de largura. Ao contar na planta, o charco cobre por completo $9$ quadrados inteiros e toca ou cobre parcialmente outros $8$ quadrados.

1. a) Antes de fazer contas, faz uma estimativa: é possível que a superfície do charco seja de $22\text{ m}^2$? Justifica a tua resposta atendendo unicamente ao retângulo que o contém.
2. b) Indica entre que dois valores (mínimo e máximo) se encontra com total segurança a área real do charco.
3. c) Aplica o critério de somar aos quadrados completos metade dos parciais para obteres uma estimativa da área. Avalia se o resultado obtido é coerente com a tua análise da alínea a).

O jardim da figura é um retângulo de $12$ m por $8$ m com uma piscina circular de $2$ m de raio no seu interior.

1. a) Calcule a área do jardim completo.
2. b) Calcule a área da piscina (considere $\pi \approx 3,14$).
3. c) Que superfície resta de relva?
4. d) Quantos metros de vedação são necessários para vedar todo o jardim?

Pretende-se pintar uma parede retangular de $5$ m de largura e $2,5$ m de altura que tem uma janela de $1,5$ m por $1,2$ m.

1. a) Que superfície deve ser pintada?
2. b) Uma lata de tinta rende $10\ \text{m}^2$ e custa $24,90\ \text{€}$. Quantas latas são necessárias para dar duas demãos de tinta? Quanto custarão?

A figura mostra uma pista de atletismo formada por dois troços retos de $80$ m e dois semicírculos de $20$ m de raio nas extremidades.

1. a) Quanto mede cada um dos dois troços curvos? Lembra-te de que dois semicírculos iguais formam um círculo completo (considera $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcula o comprimento total de uma volta completa à pista pelo seu bordo interno.
3. c) As pistas medem $1,22$ m de largura. Um corredor percorre a mesma distância pela pista interior e pela exterior? Justifica a tua resposta sem fazer cálculos.

Um cartaz com forma de seta é formado por um retângulo de $30$ cm de comprimento e $12$ cm de altura (o corpo) e um triângulo de base $12$ cm e altura $9$ cm (a ponta).

1. a) Desenhe um esquema do cartaz no seu caderno.
2. b) Calcule a área total do cartaz.
3. c) Se o vinil para o imprimir custa $15\ \text{€}$ o metro quadrado, quanto custa o material do cartaz? Exprima antes a área em $\text{m}^2$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um escudo de madeira tem a forma de um pentágono: é um retângulo de $20$ cm de largura e $24$ cm de altura, rematado na sua parte inferior por um triângulo de base $20$ cm (a ponta do escudo) e $10$ cm de altura.

1. a) Calcule a área do escudo.
2. b) Quer-se contornar todo o perímetro com uma fita metálica. Os lados inclinados da ponta medem $14,1$ cm cada um. Quantos centímetros de fita são necessários?

Numa parede quer-se construir um mural com a forma da letra «L» formado por dois retângulos: um vertical de $3$ m de altura e $0,8$ m de largura, e outro horizontal de $1,6$ m de comprimento e $0,8$ m de altura que sai para a direita a partir da parte inferior do primeiro, sem se sobrepor a ele.

1. a) Desenhe um esquema e calcule a área total do mural.
2. b) A tinta do mural é comprada em latas que cobrem $2\ \text{m}^2$ cada uma. Quantas latas são necessárias?
3. c) Qual é o perímetro exterior do mural?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O pátio comum de um edifício tem a forma de «L». Pode ser descrito geometricamente como um retângulo grande de $12\text{ m}$ de comprimento por $8\text{ m}$ de largura ao qual falta, num dos seus cantos, um espaço retangular de $5\text{ m}$ de comprimento por $3\text{ m}$ de largura ocupado pelo compartimento dos contadores.

1. a) Método 1 (por subtração): calcula a área do pátio subtraindo a área desse espaço à área do retângulo grande.
2. b) Método 2 (por decomposição): divide mentalmente o pátio em dois retângulos mediante um corte reto. Escreve as dimensões dos dois retângulos que escolheste, calcula as suas áreas em separado e soma-as para verificar que obténs o mesmo resultado.
3. c) Se te pedissem para calcular o perímetro exterior de todo o pátio, algum dos cálculos das áreas anteriores serviria diretamente ou terias de proceder de outra forma? Justifica que método te pareceu mais cómodo para a área e porquê.

O município vai renovar o pavimento da pista de patinagem do complexo desportivo. A pista é formada por um retângulo central de $25\text{ m}$ de comprimento por $12\text{ m}$ de largura, e duas zonas semicirculares encostadas nos seus dois topos mais curtos (cada semicírculo tem um diâmetro de $12\text{ m}$, ou seja, um raio de $6\text{ m}$).

Para proteger o chão, será aplicada uma resina sintética com as seguintes especificações técnicas:

• São necessários $0,4\text{ kg}$ de resina por cada metro quadrado de pista.

• O produto é comercializado unicamente em bidões de $10\text{ kg}$.

• Cada bidão tem um preço de $45,80\text{ €}$.

(Considera $\pi \approx 3,14$).

1. a) Que figura geométrica completa formam juntos os dois topos semicirculares? Calcula a área total da pista de patinagem.
2. b) De quantos quilogramas de resina se necessita, no mínimo, para cobrir toda a superfície?
3. c) Quantos bidões inteiros deve o município adquirir e qual será o custo total da resina?

Uma piscina retangular de $10$ m de comprimento e $4$ m de largura está rodeada por um passeio de $1,5$ m de largura.

1. a) Quanto medem o comprimento e a largura totais do conjunto (piscina mais passeio)? Faça um esquema no seu caderno.
2. b) Calcule a área do passeio.
3. c) Os ladrilhos do passeio custam $32,90\ \text{€}$ o metro quadrado, instalados. Quanto custará pavimentá-lo?
4. d) Por segurança, pretende-se vedar todo o bordo exterior. Se a vedação custa $14,50\ \text{€}$ o metro, qual é o custo total da obra (piso mais vedação)?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

De um quadrado de cartolina de $8$ cm de lado recorta-se um quadrado pequeno de $2$ cm de lado.

1. a) Calcule a área da figura resultante. Depende de onde se faz o recorte?
2. b) Calcule o perímetro da figura resultante em cada um destes três casos: o recorte é feito num canto, no centro de um lado e no interior da cartolina (um buraco).
3. c) Um aluno afirma: «Se ao retirar um pedaço de uma figura a área diminui, o perímetro também diminui sempre». Isto é verdade? Usa os teus resultados da alínea b) para justificar.

Para determinar a área da fachada de uma casa formada por um retângulo de $8$ m de largura e $5$ m de altura com um telhado triangular de $3$ m de altura, uma aluna calculou $8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 64$ e respondeu $64\ \text{m}^2$.

1. a) Explique que erro ela cometeu no cálculo do telhado.
2. b) Calcule a área correta da fachada.
3. c) A fachada tem ainda uma porta de $2$ m por $1$ m e uma janela quadrada de $1,5$ m de lado. Que superfície deve ser pintada?

Um quarto retangular de $4,5$ m por $3,2$ m tem duas portas de $0,9$ m de largura e um armário embutido que ocupa $1,8$ m de uma das paredes.

1. a) Calcule o perímetro do quarto.
2. b) Quantos metros de rodapé são necessários? Lembra-te de que não se coloca rodapé nos vãos das portas nem onde fica o armário.
3. c) O rodapé custa $6,75\ \text{€}$ o metro e só é vendido em tiras de $2$ m. Quantas tiras é preciso comprar e quanto custarão?

Um parque com forma de trapézio tem uma base maior de $50$ m, uma base menor de $30$ m e uma altura de $24$ m. No seu interior há uma área de jogos triangular de $18$ m de base e $12$ m de altura; o restante é relvado.

1. a) Calcule a área total do parque.
2. b) Calcule a área dedicada ao relvado.
3. c) Para semear o relvado são necessários $1$ kg de semente por cada $40\ \text{m}^2$, e a semente é vendida em sacos de $5$ kg a $22,40\ \text{€}$ o saco. Quantos sacos é preciso comprar e quanto custarão?

Sobre uma folha de papel quadriculado de quadrados de $1\ \text{cm}^2$ caiu uma mancha de tinta. Contando com cuidado, a mancha cobre por completo $14$ quadrados e toca parcialmente noutros $18$.

1. a) Entre quais dois valores está com certeza a área da mancha? Justifique a sua resposta.
2. b) Dê uma estimativa razoável da área e explique o critério que utilizou.
3. c) Qual é o erro máximo que a sua estimativa pode ter?

Uma empresa de remodelações vai pintar a fachada de um pavilhão agrícola. A fachada é formada por uma parede retangular de $10\text{ m}$ de largura por $4\text{ m}$ de altura, rematada na sua parte superior por um frontão triangular de base $10\text{ m}$ e altura $h$ desconhecida.

Na parede retangular situam-se uma porta de acesso de $3\text{ m}$ de largura por $3\text{ m}$ de altura e duas janelas quadradas de ventilação de $1,5\text{ m}$ de lado cada uma. Nem a porta nem as janelas vão ser pintadas.

1. a) Escreve uma expressão algébrica simplificada que represente a área líquida a pintar em função da altura $h$ do telhado triangular.
2. b) Na fatura final consta que foram pintados exatamente $46,5\text{ m}^2$ de fachada. Formula uma equação a partir da tua expressão anterior e calcula a altura $h$ do frontão triangular.
3. c) Para rematar a obra, coloca-se uma caleira metálica nos dois lados inclinados do telhado triangular. Se cada um desses lados mede $6,4\text{ m}$, qual é o perímetro exterior completo da fachada terminada?

Numa escola vai ser remodelado um pátio retangular de terra de $24\text{ m}$ de comprimento por $16\text{ m}$ de largura para o converter numa zona verde com relva natural. Dentro deste recinto devem respeitar-se três zonas que não terão relva:

• Um espaço circular em redor de uma oliveira centenária, com um raio de $3\text{ m}$.

• Duas zonas quadradas idênticas para mesas de xadrez, de $4\text{ m}$ de lado cada uma.

(Considera $\pi \approx 3,14$).

1. a) Modela a situação e calcula a área líquida de terreno que será coberta com relva.
2. b) Em redor do bordo do círculo da oliveira e das duas zonas quadradas será colocada uma bordadura protetora de borracha para separar a terra da relva. De quantos metros lineares de bordadura se necessita, no mínimo? Arredonda às unidades por excesso.
3. c) Recebem-se dois orçamentos de empresas locais:

• Empresa VerdeSul: cobra uma taxa fixa de $750\text{ €}$ pelo transporte e nivelamento do terreno, mais $8,50\text{ €}$ por cada metro quadrado de relva instalada.

• Empresa EcoJardim: não cobra taxa fixa, mas fatura $11,00\text{ €}$ por cada metro quadrado de relva instalada.

Qual das duas empresas é mais económica para a escola? Justifica a tua decisão comparando os valores totais de ambas as opções.

Desafio do tema. Desenha o teu cantinho ideal! Vais planear a remodelação do teu quarto ou de uma divisão da tua casa aplicando a geometria plana a uma situação real.

1. Medição real: Com uma fita métrica, mede o comprimento e a largura da divisão (supõe que é retangular) e obtém com precisão o seu perímetro e a sua área total em $\text{m}^2$.

2. Desenho à escala: No GeoGebra ou em papel quadriculado, desenha a nova distribuição. Deves incluir obrigatoriamente: uma mesa triangular, um tapete quadrilátero e um pufe ou candeeiro de base circular ou semicircular.

3. Cálculos geométricos: Determina o perímetro e a área de cada elemento plano. Depois, calcula a área livre de circulação resolvendo o problema de figuras compostas (subtraindo os móveis à área total).

4. Orçamento e relatório: Consulta no site de uma loja de bricolage o preço por $\text{m}^2$ de um pavimento vinílico (por exemplo, $8,95\text{ €/m}^2$) e calcula o custo de cobrir a zona livre. Redige um relatório breve de uma página com a planta e os cálculos justificados.

Será valorizado:

• Correção na recolha de medidas reais e na aplicação de fórmulas de perímetros e áreas com as respetivas unidades.

• Traçado geométrico adequado e justificado de triângulos, quadriláteros e círculos.

• Resolução correta do cálculo da área composta e da estimativa do orçamento final.