Exercícios: Conceitos

Na nossa vida diária acontecem muitas coisas, mas nem todas dependem do acaso. Indique quais das seguintes situações são experiências aleatórias e quais são determinísticas:

1. a) Lançar uma moeda ao ar e observar se sai cara ou coroa.
2. b) Calcular quanto custarão $3$ bilhetes de cinema se cada um custar $8$ euros.
3. c) Perguntar a um colega qual é a sua cor preferida.
4. d) Deixar cair uma pedra de uma varanda e ver se cai para baixo.
5. e) Retirar uma carta de um baralho sem olhar.

Uma empresa de videogames quer saber qual é o gênero favorito dos alunos da sua escola. Para não perguntar aos $800$ alunos, decide fazer uma pesquisa com $10$ estudantes de cada turma da escola.

Identifique os seguintes elementos do estudo estatístico:

• População:

• Amostra:

• Indivíduo:

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas (se expressam uma qualidade ou característica) ou quantitativas (se são expressas por meio de um número):

1. a) O nome das aplicações mais usadas no telemóvel dos teus amigos.
2. b) O número de irmãos que cada aluno da tua turma tem.
3. c) A marca dos ténis que os jogadores de uma equipa usam.
4. d) A temperatura máxima atingida na tua cidade a cada dia desta semana.
5. e) O desporto preferido dos sócios de um clube de atletismo.

Dentro das variáveis quantitativas, distinguimos entre discretas (quando tomam valores isolados, normalmente números inteiros) e contínuas (quando podem tomar qualquer valor num intervalo, como decimais). A figura mostra a diferença: em cima, valores isolados; em baixo, um troço da reta no qual cabe qualquer valor, também os decimais.

Classifica como discretas ou contínuas estas variáveis:

1. a) O número de golos que uma equipa marca em cada jogo do campeonato.

1. b) O tempo exato que um nadador demora a percorrer $50$ metros.

1. c) A quantidade de livros que há nas mochilas dos alunos.

1. d) A altura dos componentes da seleção portuguesa de basquetebol.

Um grupo de amigos está a discutir qual o filme a ver no cinema. Eles anotaram as suas preferências:

Aventura, Comédia, Terror, Aventura, Aventura, Terror, Comédia, Aventura, Comédia.

Responde às seguintes perguntas sobre os conceitos básicos:

1. a) Qual é a variável estatística que está a ser estudada?
2. b) De que tipo é essa variável?
3. c) Qual é a frequência absoluta (número de vezes que aparece) da categoria "Aventura"?

Às vezes é impossível estudar toda a população e, por isso, usamos uma amostra. Explique em qual destes casos acha que é obrigatório usar uma amostra em vez de pesquisar toda a população:

1. a) Queremos saber a nota média da última prova de matemática da sua turma do 1º ano do ESO.
2. b) Uma fábrica de lâmpadas quer saber quantas horas elas duram acesas antes de queimarem.
3. c) O diretor da escola quer saber quantos alunos vieram hoje à aula.
4. d) Um hospital quer analisar o grupo sanguíneo de todos os habitantes de uma comunidade autônoma.

Observe o seguinte gráfico de barras que representa os animais de estimação dos alunos de uma turma e responda com base nos conceitos aprendidos:

1. a) Qual é a dimensão da amostra (número total de alunos inquiridos)?
2. b) Qual é a variável estudada e de que tipo é?
3. c) Qual é a frequência absoluta da variável "Gato"?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Imagina que queres realizar um estudo sobre os hábitos de leitura dos adolescentes da tua cidade. Indica um exemplo de:

1. Uma pergunta cuja resposta seja uma variável qualitativa.

2. Uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa discreta.

3. Uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa contínua.

A Inês classificou as seguintes variáveis estatísticas recolhidas na ficha médica da sua escola, mas o seu professor indicou-lhe que cometeu dois erros conceptuais:

1. Código postal do domicílio: A Inês afirma que é quantitativa discreta «porque se escreve com números e não tem casas decimais».

2. Número de disciplinas aprovadas: A Inês afirma que é quantitativa discreta «porque se contam com números naturais ($0, 1, 2...$)».

3. Cor dos olhos: A Inês afirma que é qualitativa «porque descreve uma qualidade e não uma quantidade».

4. Altura do estudante: A Inês afirma que é quantitativa discreta «porque na balança da enfermaria marca $154\text{ cm}$, que é um número inteiro sem vírgula».

Identifica os dois erros cometidos pela Inês, explica detalhadamente por que razão o seu raciocínio é incorreto em cada caso e classifica adequadamente ambas as variáveis fundamentando a diferença entre um código numérico e uma medida contínua.

A comissão organizadora do dia da juventude do teu município quer conhecer as preferências dos $400$ estudantes do 1.º ano do ESO da localidade. Encarregaram-te de redigir quatro perguntas para o inquérito, mas cada uma deve corresponder a um tipo concreto de variável estatística:

1. a) Escreve uma pergunta cuja resposta seja uma variável qualitativa.
2. b) Escreve uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa discreta (especifica claramente que elemento concreto está a ser contado).
3. c) Escreve uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa contínua (indica que unidade de medida será utilizada para registar o dado).
4. d) Se a comissão decidir entregar o questionário apenas aos $30$ alunos que frequentam a oficina municipal de teatro, este grupo de $30$ constitui a população ou uma amostra? Justifica se esta seleção é representativa de todos os estudantes do 1.º ano do ESO do município ou se causará um viés.

Um streamer famoso quer saber qual é o videojogo favorito dos seus seguidores em Espanha. Para isso, realiza um inquérito rápido durante uma transmissão em direto da qual participam $1500$ pessoas. Classifique as seguintes variáveis recolhidas no estudo em qualitativas ou quantitativas:

• a) Título do videojogo preferido.

• b) Número de horas que jogam por semana.

• c) Consola ou plataforma utilizada (PC, PS5, Switch, etc.).

• d) Quantidade de dinheiro gasta em "skins" ou passes de batalha por mês.

• e) Avaliação da transmissão em direto de 1 a 10.

Para melhorar a qualidade da comida na cantina de uma grande escola de $1200$ alunos, o conselho executivo decide perguntar a opinião aos $5$ primeiros alunos de cada turma que entram na escola na segunda-feira de manhã. Identifica os seguintes elementos deste estudo estatístico:

1. a) População.

1. b) Amostra.

1. c) Indivíduo.

Indique se os seguintes fenómenos são aleatórios ou determinísticos, justificando brevemente a sua resposta:

• a) Saber se vai chover na sua cidade exatamente no dia do seu aniversário no ano que vem.

• b) Calcular o preço de $5$ bilhetes de cinema se sabes que cada um custa $8,50$ €.

• c) Prever o número que sairá ao lançar um dado de 10 faces num jogo de RPG.

• d) Saber a classificação de um teste de matemática se deixaste todas as questões em branco.

• e) Retirar uma carta de um baralho e tirar o ás de ouros.

Num estudo sobre os hábitos de leitura dos adolescentes de uma cidade, a variável estatística é definida como: "Número de livros lidos durante o último verão".

• a) De que tipo é esta variável?

• b) Se o estudo for realizado com uma amostra de $200$ jovens e a soma de todos os livros lidos por eles for $450$, o que representa o valor $2,25$ neste contexto?

• c) Indica três possíveis valores que um indivíduo poderia assumir nesta variável.

Observe o seguinte esquema que representa um estudo sobre a saúde das árvores num parque natural que possui $5000$ exemplares. A equipa florestal analisou $150$ deles.

• a) Qual é a dimensão da população?

• b) Qual é a dimensão da amostra?

• c) Se os investigadores registarem se a árvore tem praga ou não, que tipo de variável estão a estudar?

Uma loja de roupa online quer saber o grau de satisfação dos seus clientes (Muito insatisfeito, Insatisfeito, Neutro, Satisfeito, Muito satisfeito).

• a) Classifique esta variável. É quantitativa ou qualitativa?

• b) Embora sejam usadas palavras, às vezes são atribuídos números ($1$ a $5$) para calcular a média. Achas que isso transforma a variável em quantitativa? Justifica a tua resposta.

• c) Se a loja enviar o inquérito a $500$ clientes que compraram ontem, quem é o "indivíduo" neste estudo?

Um fabricante de telemóveis quer testar a resistência do ecrã de um novo modelo. A fábrica produz $10,000$ telemóveis por dia. Para o estudo, são selecionados $50$ telemóveis e deixados cair repetidamente de uma altura de $1,5$ metros até que o ecrã quebre, registando quantas quedas cada um suporta.

• a) Explique por que razão, neste caso, é estritamente necessário utilizar uma amostra em vez de estudar toda a população.

• b) Identifique a variável estudada e classifique-a.

• c) O que aconteceria à produção se o fabricante decidisse não usar uma amostra e analisar cada indivíduo da população?

Identifique a população e o indivíduo em cada um dos seguintes estudos estatísticos:

• 1. Deseja-se saber o peso médio dos pães de $250$ g produzidos por uma padaria em um dia de trabalho.

• 2. Deseja-se saber qual é a disciplina favorita dos estudantes do 1º ano do ESO de toda a Espanha.

• 3. Um veterinário analisa o tipo de alimentação dos gatos que vivem em uma colônia urbana do seu bairro.

• 4. Uma empresa de lâmpadas quer saber quantas horas as suas lâmpadas de baixo consumo duram acesas antes de queimarem.

Um fabricante de lâmpadas LED em Aveiro produz $20\,000$ unidades por dia. Para garantir a qualidade, devem verificar quantas horas uma lâmpada dura acesa antes de fundir (um ensaio que destrói o produto testado). Por outro lado, num agrupamento de escolas rurais com $24$ alunos no total, a equipa docente deseja conhecer a opinião dos seus alunos sobre o destino da viagem de final de ano letivo.

1. a) Para cada um dos dois casos, compara as vantagens e desvantagens de realizar um recenseamento face a recolher uma amostra. Justifica qual dos dois métodos é o único viável ou o mais recomendável em cada situação, avaliando o custo, o tempo e se o produto é destruído.
2. b) Para o controlo de qualidade das $20\,000$ lâmpadas, a equipa de engenheiros hesita entre dois métodos para selecionar uma amostra de $100$ lâmpadas diárias:

• Método 1: Escolher as primeiras $100$ lâmpadas que saem da máquina às 6:00 da manhã.

• Método 2: Selecionar ao acaso $1$ lâmpada de cada lote de $200$ que é fabricado ao longo dos três turnos de trabalho do dia.

Escolhe o método mais adequado para que a amostra seja representativa e justifica a tua decisão explicando que fontes de erro ou viés o método descartado apresenta.

O Instituto Nacional de Estatística (INE) realiza um estudo sobre a sustentabilidade das casas numa região que conta com $600\,000$ habitações ocupadas. Para tal, os inquiridores selecionam aleatoriamente uma amostra de $1\,200$ habitações e registam os seguintes dados de cada uma:

• Tipo de habitação (apartamento, moradia em banda ou moradia unifamiliar isolada).

• Consumo médio de água no último trimestre (em metros cúbicos, $\text{m}^3$).

• Número de pessoas que vivem na casa.

• Temperatura média programada no termóstato no inverno (em graus Celsius, $^\circ\text{C}$).

• Se dispõem de sistema de reciclagem separada de matéria orgânica (Sim/Não).

1. a) Modela a situação identificando com exatidão a população, a amostra e o indivíduo deste estudo estatístico.
2. b) Classifica cada uma das cinco variáveis recolhidas em: qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua. Justifica por que razão o consumo de água e a temperatura são contínuas, diferenciando-as do número de pessoas que vivem na casa.
3. c) Supõe que, para reduzir custos de deslocação, se decide inquirir as $1\,200$ habitações unicamente no bairro mais abastado da capital. A amostra continuaria a ser representativa de toda a população estudada? Explica dois motivos concretos pelos quais os resultados sobre o consumo de água e a reciclagem estariam enviesados.

Um famoso influencer quer saber o que os adolescentes espanhóis pensam sobre o novo limite de tempo numa rede social. Para isso, publica um inquérito nos seus "stories" do Instagram durante 24 horas. Participam $15\,400$ pessoas.

1. a) Identifique a população em estudo e a amostra utilizada.
2. b) Acredita que a amostra seja representativa da população? Justifique a sua resposta analisando dois possíveis fatores que possam invalidar os resultados (enviesamentos).
3. c) Proponha um método mais fiável para escolher uma amostra de $500$ indivíduos que represente realmente todos os adolescentes de Espanha.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas. No caso das quantitativas, reflita sobre se faz sentido realizar operações aritméticas (como a média) com os seus valores:

1. a) O código postal da residência dos alunos de uma escola.
2. b) O número de série dos computadores da biblioteca.
3. c) A temperatura média diária registada no pátio da escola durante o mês de janeiro.
4. d) O número da camisola dos jogadores de uma equipa de basquetebol.
5. e) O tempo, expresso em segundos, que um grupo de nadadores demora a atravessar uma piscina de $50$ metros.

Nota: Pensa se o "número" funciona como uma etiqueta ou como uma medida real.

Estamos a realizar uma experiência sobre o crescimento de plantas de tomate sob diferentes tipos de luz. Temos $200$ plantas no total.

1. a) Se decidirmos analisar apenas as plantas que estão na fila mais próxima da janela, estamos a estudar a população ou uma amostra?
2. b) Defina o indivíduo deste estudo.
3. c) Queremos medir três variáveis: a altura da planta em $cm$, a cor das folhas (verde-escuro, verde-claro ou amarelado) e o número de tomates que cada planta produz. Classifique cada variável.
4. d) Esta é uma experiência aleatória ou determinística? Justifique a sua resposta.

Num estudo sobre o consumo de fruta numa turma de $30$ alunos, perderam-se alguns dados da tabela de frequências. Sabemos que a frequência relativa ($h_i$) dos alunos que comem "3 porções por dia" é exatamente $0,2$ e que a frequência absoluta ($f_i$) dos que comem "1 porção por dia" é o triplo dos que não comem "nenhuma".

Se há $2$ alunos que não comem nenhuma peça de fruta por dia, completa fundamentadamente os seguintes dados:

1. a) Quantos alunos comem $3$ peças de fruta por dia?
2. b) Quantos alunos comem $1$ peça de fruta por dia?
3. c) Qual é a frequência absoluta dos que comem "2 peças por dia", sabendo que todas as opções anteriores juntas somam o total da turma?

Imagina que desejas realizar um estudo estatístico para convencer o diretor da tua escola de que as aulas deveriam começar 15 minutos mais tarde para melhorar o rendimento.

1. a) Define claramente a população e uma amostra adequada que não seja enviesada.
2. b) Cria três variáveis diferentes que poderias medir: uma qualitativa, uma quantitativa que seja uma contagem (números inteiros) e outra quantitativa que seja uma medição (com decimais).
3. c) Indica qual o instrumento de recolha de dados que usarias para cada uma (inquérito, observação direta ou aparelho de medição).

Identifique se os seguintes fenómenos são aleatórios ou determinísticos, explicando o motivo em cada caso. Para os aleatórios, descreva o seu espaço de resultados:

1. a) Lançar uma pedra de uma varanda e cronometrar o tempo que demora a chegar ao chão (supondo que não há vento e a altura é fixa).
2. b) O número que ganhará o primeiro prémio na lotaria de Natal.
3. c) Retirar uma carta de um baralho e observar se é uma "figura" (Valete, Cavalo ou Rei).
4. d) Misturar um ácido com uma base num laboratório de química seguindo uma proporção exata para obter um sal.
5. e) O tempo exato que o próximo autocarro demorará a chegar à paragem.

Foi realizado um inquérito sobre o número de filhos por família num condomínio de $200$ famílias. Sabe-se que $15\%$ das famílias têm $3$ ou mais filhos.

1. a) Qual é a frequência absoluta do acontecimento "ter 3 ou mais filhos"?
2. b) Se o ângulo num gráfico circular para as famílias com "1 filho" é de $144^\circ$, quantas famílias têm exatamente um filho?
3. c) Calcule a frequência relativa do grupo de famílias que têm "1 filho".

Analise a seguinte situação: A câmara municipal de uma cidade quer saber se os cidadãos estão satisfeitos com a nova ciclovia. Para poupar custos, decide perguntar apenas às pessoas que circulam pela ciclovia num sábado de manhã.

1. a) A amostra é aleatória?
2. b) Que tipo de viés achas que este estudo apresentará? Os resultados sobrestimarão ou subestimarão a satisfação geral da cidade?
3. c) Propõe uma forma de escolher a amostra que inclua pessoas que não usam a bicicleta para que o estudo seja objetivo.
4. d) Se a variável for "Grau de satisfação (Nada, Pouco, Muito)", de que tipo de variável se trata? Seria possível calcular a média aritmética desses dados? Justifica porquê.

Numa escola de Ensino Secundário estão matriculados $800$ estudantes distribuídos da seguinte forma:

• 1.º ano do ESO: $240$ alunos.

• 2.º ano do ESO: $200$ alunos.

• 3.º ano do ESO: $180$ alunos.

• 4.º ano do ESO: $180$ alunos.

A escola pondera instalar cacifos individuais e decide consultar uma amostra de $80$ alunos. Para os selecionar, colocam um inquiridor à porta do bar durante o intervalo, que entrevista os primeiros $80$ alunos que entram. Ao rever os dados, verificam que a amostra é formada por: $4$ alunos do 1.º ano do ESO, $10$ do 2.º ano do ESO, $31$ do 3.º ano do ESO e $35$ do 4.º ano do ESO.

1. a) Estima e verifica o viés: Antes de calcular percentagens, estima fundamentadamente se um aluno do 1.º ano do ESO teve as mesmas hipóteses de ser escolhido do que um do 4.º ano do ESO com esse procedimento. Depois, verifica numericamente o desajuste calculando que percentagem representa o 1.º ano do ESO em toda a escola ($240$ de $800$) e que percentagem representa realmente na amostra obtida ($4$ de $80$). É razoável considerar que a amostra é representativa?
2. b) Justifica de que modo este viés influencia os resultados do inquérito sobre a necessidade de cacifos, considerando as diferenças de horário, disciplinas ou peso das mochilas entre os anos iniciais e finais do ESO.
3. c) Se se pretendesse desenhar uma amostra de $80$ estudantes que fosse estritamente proporcional à população de cada ano:

1. Estima mentalmente quantos alunos do 1.º ano do ESO deveriam ser inquiridos aproximadamente (observando que fração de $800$ representam os $240$ alunos).

2. Calcula o número exato de alunos que devem ser escolhidos de cada ano e verifica que a soma de todos os grupos totaliza exatamente os $80$ estudantes previstos.

A câmara municipal de uma cidade de $60\,000$ habitantes quer consultar os cidadãos sobre o traçado de uma nova rede de ciclovias. A cidade está dividida em três zonas com características demográficas e geográficas muito distintas:

• Zona Centro: $15\,000$ habitantes (ruas pedonais e terreno plano).

• Zona Nova: $30\,000$ habitantes (avenidas largas, planas e com grande densidade de tráfego rodoviário).

• Zona da Colina: $15\,000$ habitantes (bairro residencial situado sobre colinas com declives acentuados).

Para realizar o estudo decide-se inquirir uma amostra de $600$ cidadãos, e são propostas três alternativas de amostragem:

• Método A: Colocar dois inquiridores à porta da maior loja de venda e reparação de bicicletas da cidade durante uma semana e entrevistar $600$ clientes.

• Método B: Realizar um sorteio com o recenseamento municipal para inquirir exatamente $200$ pessoas na Zona Centro, $200$ na Zona Nova e $200$ na Zona da Colina.

• Método C: Realizar um sorteio com o recenseamento municipal distribuindo os $600$ indivíduos de forma proporcional à quantidade real de habitantes que reside em cada zona.

1. a) Escolhe qual dos três métodos é o ideal para obter conclusões válidas para o conjunto da cidade e justifica detalhadamente por que razão garante a representatividade.
2. b) Analisa criticamente os dois métodos descartados:

1. Explica o viés de seleção que invalida o Método A.

2. Explica por que razão o Método B não é equitativo nem representativo, indicando que zona resulta sobrerrepresentada e qual fica sub-representada em relação ao seu peso demográfico real.

1. c) Calcula quantos cidadãos de cada zona devem ser selecionados exatamente com o Método C para que a amostra reproduza com total fidelidade a proporção populacional da cidade.