Exercícios: Operações com números inteiros

Numa estação de esqui da Serra da Estrela, o termómetro marcava $-4$ ºC às sete horas da manhã. Se ao meio-dia a temperatura subiu $9$ ºC, que temperatura marca agora o termómetro? Expresse a operação utilizando números inteiros.

Calcule as seguintes somas e subtrações simples de números inteiros:

1. a) $(+7) + (+5) =$
2. b) $(-8) + (-3) =$
3. c) $(+9) + (-4) =$
4. d) $(-6) + (+10) =$

A Nadia tem $25$ € na sua conta bancária. Se o banco lhe cobrar uma fatura de internet de $30$ €, qual será o seu novo saldo? Expresse o resultado como um número inteiro.

Utilize a regra dos sinais para resolver estas multiplicações e divisões:

1. a) $(+4) \cdot (-3) =$
2. b) $(-5) \cdot (-2) =$
3. c) $(-20) : (+5) =$
4. d) $(-18) : (-3) =$

Um mergulhador está a uma profundidade de $-15$ metros em relação ao nível do mar. Se ele decidir descer mais $12$ metros, a que profundidade se encontrará agora? Faça o desenho na reta numérica vertical.

Resolva as seguintes operações eliminando primeiro os parênteses:

1. a) $12 + (-5) =$
2. b) $8 - (+10) =$
3. c) $(-3) - (-7) =$
4. d) $(-5) + (+5) =$

Calcule o resultado destas operações combinadas simples, respeitando a ordem das operações (lembre-se: primeiro multiplicações e divisões, depois somas e subtrações):

1. a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-10) : 2 + 8 =$
3. c) $4 \cdot 3 - 15 =$

Está no piso $2$ de um centro comercial. Sobe $3$ pisos para ir à praça de alimentação e depois desce $6$ pisos para chegar ao estacionamento. Em que piso se encontra o estacionamento? Indique cada movimento com um número inteiro.

O Marcos resolveu dois exercícios no seu caderno e cometeu erros muito comuns com os números inteiros:

• Exercício 1: Escreveu $(-7) + (-4) = +11$, justificando que «menos com menos dá mais».

• Exercício 2: Escreveu $-5^2 = 25$, justificando que «qualquer número elevado ao quadrado dá positivo».

1. a) Explica fundamentadamente ao Marcos que erro conceptual cometeu no Exercício 1, esclarecendo a diferença entre somar inteiros com o mesmo sinal e multiplicar números inteiros. Escreve a solução correta.
2. b) Explica ao Marcos porque é que $-5^2$ não dá o mesmo resultado que $(-5)^2$ a partir do significado da base de uma potência e da prioridade das operações. Escreve o valor correto de ambas as expressões.

No observatório meteorológico de Bragança, o IPMA registou às 7:00 uma temperatura de $-7$ ºC. Ao longo do dia registaram-se as seguintes alterações consecutivas:

• Uma subida de $+11$ ºC durante a manhã.

• Uma descida de $6$ ºC a meio da tarde com a entrada de vento de norte.

• Uma descida adicional de $3$ ºC durante a noite.

1. a) Antes de calculares, faz uma estimativa: a temperatura final ao acabar a noite será positiva (acima de zero) ou negativa (abaixo de zero)? Justifica a tua estimativa comparando a subida total com o efeito conjunto do frio inicial e das descidas, sem calcular ainda o valor exato.
2. b) Escreve uma única expressão com adições e subtrações de números inteiros para determinar a temperatura exata no final da noite e verifica se a tua estimativa estava correta.

Calcule o resultado das seguintes expressões numéricas, prestando especial atenção à hierarquia das operações e à regra dos sinais:

1. a) $15 - (8 - 12) + (-5) \cdot 2$

1. b) $(-3) \cdot [(-2) + (-4) \cdot (-3)]$

1. c) $24 : (-4) - (-6) : (+3)$

1. d) $(-10) + (-2) \cdot (-5) + (-20) : 5$

Uma estação meteorológica na Serra da Estrela registou as seguintes variações de temperatura ao longo de um dia de inverno:

1. Às 8:00 h, a temperatura era de $-5\ ^\circ C$.

2. Às 12:00 h, tinha subido $8\ ^\circ C$.

3. Às 18:00 h, desceu $4\ ^\circ C$ em relação à medição anterior.

4. Às 22:00 h, voltou a descer mais $6\ ^\circ C$.

Escreva uma única expressão matemática com números inteiros que reflita todas essas variações e calcule a temperatura final ao terminar o dia.

Aplique a propriedade distributiva para calcular da forma mais simples possível estas expressões (coloque o fator comum em evidência quando necessário):

1. a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$

1. b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$

1. c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$

Um drone de inspeção parte de uma altura de $15$ metros sobre o nível de uma ponte. Realiza os movimentos indicados no gráfico (subidas a laranja, descidas a vermelho):

Calcula, através de uma soma de números inteiros, a posição final do drone em relação à ponte. Encontra-se acima ou abaixo dela?

No extrato da conta bancária de uma loja de banda desenhada aparecem os seguintes movimentos:

• Saldo inicial: $+450\ €$

• Pagamento a fornecedor: $-620\ €$

• Venda de figuras de coleção: $+185\ €$

• Devolução de um artigo com defeito: $-45\ €$

• Recebimento de assinaturas: $+110\ €$

Calcule o saldo final da conta. Se o banco cobrar uma comissão de $15\ €$ caso a conta fique com saldo negativo (saldo menor que 0), o dono da loja terá de a pagar?

Encontra o número inteiro que cumpre simultaneamente estas três condições:

1. O seu valor absoluto é maior que $5$ e menor que $10$.

2. Ao multiplicá-lo por $-3$, o resultado é um número positivo.

3. Se somares o seu oposto a ele, o resultado é $0$.

Existe mais de uma solução possível? Justifica a tua resposta.

Resolva as seguintes expressões numéricas com parênteses retos. Lembre-se de realizar primeiro o que está dentro dos parênteses:

1. a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$

1. b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$

1. c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$

1. d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$

Uma equipa de investigação marinha utiliza um sonar para medir a distância entre um helicóptero de salvamento e um submarino que está a realizar testes de profundidade.

Se o helicóptero está a uma altura de $+120$ metros e o submarino a uma profundidade de $-85$ metros:

1. a) Qual é a distância vertical total que os separa?
2. b) Se o submarino subir $25$ metros e o helicóptero descer $30$ metros, qual será a nova distância entre eles? Exprime usando operações com números inteiros.

O parque de estacionamento subterrâneo de uma estação de comboios em Lisboa tem $5$ pisos abaixo do nível da rua (de $-1$ a $-5$) e o edifício de escritórios superior tem $6$ pisos acima do solo (de $+1$ a $+6$). O nível da rua é o piso $0$.

Um funcionário da manutenção começa o seu dia de trabalho na rua e realiza as seguintes deslocações consecutivas:

1. Desce ao piso $-4$ para verificar os contadores.

2. Sobe $5$ pisos para deixar material nos escritórios.

3. Desloca-se um número de pisos igual ao simétrico de $+3$.

4. Finalmente, sobe o dobro do número de pisos que desceu no passo anterior.

1. a) Modela todo o percurso através de uma única expressão combinada de números inteiros que determine o piso final do funcionário.
2. b) Resolve a expressão passo a passo e indica em que piso ele termina e se se encontra acima ou abaixo do solo.
3. c) Se a partir da sua posição final tiver de ir à sala das caldeiras no piso $-5$, calcula a variação de pisos através de uma subtração de inteiros na forma: $\text{piso de destino} - \text{piso de origem}$, e interpreta o sinal do resultado obtido.

Para abrir uma caixa misteriosa numa oficina de matemática, deves resolver dois desafios encadeados utilizando exclusivamente os números inteiros $-6$, $+4$, $-2$ e $+3$:

• Desafio 1: Utiliza os quatro números exatamente uma vez cada um, juntamente com as operações que escolheres ($+$, $-$, $\cdot$, $:$) e os parênteses de que precisares, para formar uma expressão combinada cujo resultado seja exatamente igual a $-12$. Escreve a expressão completa e verifica o seu resultado passo a passo.

• Desafio 2: Sem tentar combinações ao acaso, raciocina se é possível multiplicar três quaisquer desses quatro números e somar o quarto para obter um resultado estritamente positivo. Justifica a tua resposta utilizando a regra dos sinais da multiplicação e escreve, se for possível, uma combinação que cumpra essa condição com o respetivo cálculo.

Coloca os parênteses curvos e retos necessários na seguinte expressão para que o resultado final seja exatamente igual a $-5$:

$-15 + 3 \cdot -4 - 12 : -6 + 1$

Uma equipa de espeleologia está a explorar um abismo profundo. Eles começam na entrada (nível $0$ metros). Realizam os seguintes movimentos de forma consecutiva:

1. Descem $45$ metros.

2. Sobem $12$ metros para instalar um acampamento base.

3. Descem o triplo do que acabaram de subir.

4. Finalmente, descem mais $18$ metros até ao fundo.

Escreve uma única expressão com números inteiros que reflita todo o processo e calcula a que profundidade se encontra o fundo do abismo.

Calcule o valor da seguinte expressão numérica passo a passo, respeitando rigorosamente a hierarquia das operações:

$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$

Nota: Presta atenção à diferença entre $(-2)^2$ e $-2^2$.

Num jogo de estratégia, um jogador começa com $500$ pontos de honra. As regras são:

• Por cada batalha ganha: $+120$ pontos.

• Por cada batalha perdida: $-150$ pontos.

• Se perder três batalhas seguidas, é penalizado, duplicando a sua pontuação negativa acumulada nessas três batalhas.

Se um jogador ganhar $2$ batalhas e depois perder $3$ batalhas seguidas, escreva a expressão numérica para calcular a sua pontuação final e resolva-a.

Encontra o número inteiro desconhecido $x$ em cada uma das seguintes igualdades:

1. a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$

1. b) $(-30) : x + (-12) = -18$

1. c) $2 \cdot |x| = 14$ (Procura todas as soluções possíveis para $x$).

Diz-se que um "trio de inteiros" é equilibrado se a soma dos dois primeiros multiplicada pelo terceiro dá como resultado $-24$.

Determine quais dos seguintes trios são equilibrados realizando as operações correspondentes:

1. a) $(+5, -8, +8)$
2. b) $(-10, +2, +3)$
3. c) $(-4, -2, +4)$

Complete o seguinte "Muro dos Inteiros". O número de cada casa superior deve ser o resultado da multiplicação dos dois números das casas sobre as quais se apoia.

Inventa um problema real que seja resolvido por meio da seguinte expressão matemática e, em seguida, calcula o resultado final para dares resposta ao teu problema:

$100 + 4 \cdot (-15) - 3 \cdot (10 - 4)$

Duas alunas, a Leonor e a Marta, têm de calcular o valor da seguinte expressão com números inteiros:

• A Leonor aplica a prioridade habitual: realiza primeiro as duas multiplicações separadamente e depois soma os resultados obtidos.

• A Marta observa a estrutura do cálculo e aplica a propriedade distributiva em sentido inverso (colocar em evidência o fator comum): $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.

1. a) Calcula o resultado seguindo detalhadamente o método da Leonor e o método da Marta. Confirma que ambos os caminhos chegam à mesma solução.
2. b) Compara os dois métodos e justifica qual deles é mais eficiente para o cálculo mental e por que razão reduz o risco de errar nos sinais e nas operações intermédias.
3. c) Cria uma nova operação combinada formada pela soma ou subtração de três produtos de números inteiros onde a aplicação da estratégia da Marta permita resolvê-la mentalmente em poucos segundos, sem necessidade de fazer contas longas no papel. Mostra a tua expressão e a sua resolução justificada.

Três números inteiros desconhecidos, $a$, $b$ e $c$, cumprem simultaneamente as três seguintes condições:

1. O seu produto é estritamente negativo: $a \cdot b \cdot c < 0$.

2. A divisão $a : b$ é exata e dá como resultado um número inteiro positivo: $a : b > 0$.

3. A soma de dois deles é zero: $a + c = 0$, sabendo ainda que $a \neq 0$.

1. a) Deduz de forma lógica e fundamentada o sinal (positivo ou negativo) de cada um dos três números ($a$, $b$ e $c$). Justifica cada passo com base no conceito de números simétricos e na regra dos sinais da multiplicação e da divisão.
2. b) Se se souber que $|b| = 2$ e que o produto dos três números é $a \cdot b \cdot c = -72$, determina os valores numéricos exatos de $a$, $b$ e $c$.
3. c) Com os valores encontrados na alínea anterior, calcula o resultado da seguinte operação combinada respeitando a prioridade das operações e a regra dos sinais: