Exercícios: Problemas com equações

No laboratório de Ciências temos uma balança em equilíbrio, como mostra a figura. No prato da esquerda há $2$ caixas iguais (que pesam $x$ kg cada uma) e um peso de $1$ kg. No prato da direita há um peso de $7$ kg. Escreve a equação que representa este equilíbrio e calcula quanto pesa cada caixa.

Marcos está a jogar videojogo e obteve no nível atual o dobro de pontos do que no nível anterior. Se entre os dois níveis soma um total de $150$ pontos, quantos pontos obteve em cada nível? Chama $x$ aos pontos do primeiro nível.

Estamos a projetar um logótipo para uma equipa de e-sports com formato de triângulo isósceles. Queremos que o perímetro seja de $30$ cm. Se a base mede $10$ cm e os outros dois lados são iguais, quanto deve medir cada um desses lados ($x$)?

Se a um número for somado o seu consecutivo (o número que vem logo a seguir), o resultado é $43$. Elabore uma equação para descobrir de que número se trata.

A Amina tem $3$ anos a mais do que o irmão mais novo. Se entre os dois somam $19$ anos, qual é a idade de cada um? Chama $x$ à idade do irmão mais novo.

Um grupo de amigos compra uma pizza familiar que custa $12$ €. Se depois de a pagarem sobram $8$ € do dinheiro que tinham reunido, quanto dinheiro tinham no início? Represente a quantidade inicial com a letra $x$.

Queremos vedar uma pequena horta retangular para plantar tomates. O comprimento da horta é o dobro da largura. Se foram utilizados $18$ metros de vedação para a vedar por completo (perímetro), quanto medem a largura e o comprimento da horta?

Numa prateleira de uma loja de banda desenhada há o triplo de mangás de ação do que de mistério. Se no total há $48$ livros de banda desenhada entre ambos os géneros, quantos há de cada tipo? Chama $x$ aos livros de mistério.

Num exame do 1.º ano do Ensino Básico (1.º ESO), o Hugo tem de resolver este problema: «A soma de três números inteiros consecutivos é $48$. Quais são esses três números?». O Hugo escreve o seguinte na sua folha:

«Chamo $x$ ao primeiro número. Como são consecutivos, os três números são $x$, $2x$ e $3x$.

Equação: $x + 2x + 3x = 48 \implies 6x = 48 \implies x = 8$.

Resposta: Os números são $8$, $16$ e $24$».

1. a) Localiza e explica fundamentadamente o erro concetual que o Hugo cometeu ao traduzir a expressão «três números inteiros consecutivos».
2. b) Escreve a equação correta definindo com precisão o que representa a incógnita $x$.
3. c) Resolve a equação, indica quais são os três números corretos e verifica que a sua soma é igual a $48$.

Na papelaria do bairro compras um dossier e $3$ cadernos iguais para o ano letivo. O dossier custa exatamente o dobro de um caderno, e no total pagas $12,50$ € na caixa.

1. a) Antes de formular qualquer equação, pondera se é possível que cada caderno custe $3$ €. Faz uma estimativa rápida de entre que dois valores inteiros de euros se deve situar o preço de um caderno.
2. b) Define a incógnita $x$ indicando as suas unidades, formula uma equação do 1.º grau e calcula o preço exato de um caderno e do dossier.
3. c) Verifica a solução obtida no enunciado e explica se a tua estimativa da alínea a) foi acertada.

Três amigos estão a comparar quantas músicas têm na sua lista de reprodução favorita. Leonor tem o dobro de músicas de Marcos, e Sara tem 15 músicas a mais do que Marcos. Se entre os três somam um total de 155 músicas, quantas músicas cada um tem na sua lista? Elabore uma equação onde $x$ seja o número de músicas de Marcos.

No aniversário do Duarte, foram distribuídos convites de dois tipos: digitais e em papel. O número de convites digitais foi o triplo do de papel. Se no total foram enviados 48 convites, quantas pessoas receberam o convite em papel e quantas em formato digital?

Marta comprou um jogo de vídeo em promoção e um comando novo. O comando custou $25$ € a menos que o jogo. Se ela pagou no total $89$ € pelas duas coisas, qual é o preço original de cada artigo sem contar outros descontos?

Num parque de estacionamento de um centro comercial há um total de $32$ veículos entre carros e motas. Se contarmos as rodas de todos eles (sem incluir as do pneu sobresselente), obtemos um total de $94$ rodas. Calcule quantos carros e quantas motas há no parque de estacionamento.

(Dica: Chamando $x$ ao número de carros, o número de motas será $32 - x$).

O professor de Educação Física comprou três caixas de bolas de ténis. Na segunda caixa há o dobro de bolas do que na primeira, e na terceira há $10$ bolas a mais que na segunda. Se no total há $85$ bolas, quantas bolas contém cada caixa?

Tomás tem 5 anos a mais do que a irmã Inês. Daqui a 8 anos, a soma das suas idades será de 41 anos. Qual é a idade atual de cada um?

(Lembra-te de somar 8 anos à idade de cada um para obteres a soma futura).

Para equilibrar uma balança no laboratório de Ciências Naturais, colocou-se no prato esquerdo uma pedra que pesa um valor desconhecido $x$ e um peso de $12$ gramas. No prato direito, para ficar em equilíbrio, foi preciso colocar quatro pesos iguais, cada um com o mesmo peso $x$ da pedra original. Quanto pesa a pedra?

O consórcio de transportes de uma cidade portuguesa oferece dois tarifários para jovens estudantes:

• Tarifa Jovem: paga-se uma mensalidade fixa de $10$ € e cada viagem realizada custa $0,40$ €.

• Bilhete Ocasional: não se paga nenhuma mensalidade fixa, mas cada viagem custa $0,90$ €.

1. a) Modela matematicamente a situação: define a incógnita $x$ com o seu significado e formula uma equação que exprima para que número de viagens mensais o custo total de ambos os tarifários é exatamente o mesmo.
2. b) Resolve a equação formulada e indica o número exato de viagens do ponto de equilíbrio.
3. c) Interpreta o resultado: se uma aluna souber que fará $25$ viagens por mês para ir para a escola e para as suas atividades desportivas, qual dos dois tarifários lhe é mais económico? Justifica a tua resposta calculando o gasto que teria com cada opção.

Imagina que fazes parte da equipa docente e que te pediram para elaborar um problema de geometria para o próximo exame do 1.º ano do Ensino Básico (1.º ESO). O problema deve ser sobre o perímetro de uma parcela retangular e deve cumprir rigorosamente estas três condições:

1. A base da parcela deve medir mais $4\text{ m}$ do que o triplo da sua altura.

2. A incógnita $x$ deve representar a altura da parcela em metros.

3. Ao resolver a equação do perímetro, a solução deve ser obrigatoriamente $x = 6\text{ m}$.

1. a) Escreve a expressão algébrica simplificada da base em função de $x$ e a expressão algébrica simplificada do perímetro total do retângulo.
2. b) Utiliza o valor $x = 6\text{ m}$ para deduzir que número deve constar como perímetro total no enunciado do problema.
3. c) Redige o enunciado definitivo do problema tal como os teus colegas o leriam no exame, formulando com clareza os dados e a pergunta final.

Numa expedição científica pela Amazónia, a equipa consome no primeiro dia $\frac{1}{4}$ das suas provisões de água. No segundo dia, consome $\frac{2}{5}$ do que restava no depósito. Se depois desses dois dias ainda restam $135$ litros, quantos litros de água havia ao começar a expedição?

O perímetro de um parque tecnológico com formato de triângulo isósceles é de $110$ metros. Sabe-se que cada um dos lados iguais mede $10$ metros a mais do que o dobro da base. Determine a medida de cada um dos três lados do parque, elaborando uma equação.

Numa loja de videojogos, foi vendido o triplo de cópias de um jogo de aventura do que de um de desporto. Além disso, foram vendidas $15$ unidades a menos de um jogo de plataformas do que do de aventura. Se no total foram vendidos $125$ videojogos entre os três títulos, quantas cópias foram vendidas de cada um?

Um criador de conteúdo digital analisou as suas estatísticas mensais. O vídeo de humor tem o dobro de visualizações do de tecnologia, e o vídeo de viagens tem $4000$ visualizações a mais que o de humor. Se entre os três somam um total de $24000$ visualizações, quantas visualizações tem cada vídeo?

A mãe da Salma tem atualmente o triplo da sua idade. Daqui a $12$ anos, a idade da mãe será apenas o dobro da idade da Salma. Qual é a idade atual de cada uma? Utiliza uma tabela para organizar os dados do presente e do futuro.

Num cofre há moedas de $0,50$ € e de $1$ €. No total há $35$ moedas que somam um valor de $26$ €. Quantas moedas de cada tipo há no cofre? (Dica: chamando $x$ ao número de moedas de $1$ €, o número de moedas de $0,50$ € será $35 - x$).

Três irmãos, Alberto, Berta e Carlos, querem comprar um presente para os pais que custa $105$ €. O Alberto contribui com uma quantia de dinheiro, a Berta coloca o dobro do Alberto e o Carlos coloca $15$ € a menos do que a Berta. Quanto dinheiro contribui cada um para que o valor seja exato para o presente?

Uma cooperativa de azeite em Santarém reparte $45\,000$ € de lucros anuais entre os seus três sócios fundadores. Pelo seu nível de dedicação, o segundo sócio recebe o dobro do primeiro, e o terceiro sócio recebe exatamente metade da soma do que recebem os outros dois juntos.

Para calcular quanto dinheiro cabe a cada um, duas alunas propõem caminhos distintos:

• Caminho da Leonor: chama $x$ à quantia que o primeiro sócio recebe, expressa a partir dela o que os outros dois recebem e formula a equação somando as três partes.

• Caminho da Matilde: chama $y$ à quantia que o terceiro sócio recebe e deduz que a soma do primeiro e do segundo sócio equivale a $2y$.

1. a) Formula e resolve a equação seguindo o método da Leonor, indicando passo a passo a quantia que cabe a cada sócio.
2. b) Formula e resolve a equação seguindo o método da Matilde. Verifica se se obtêm os mesmos valores finais para cada pessoa.
3. c) Compara ambos os métodos e reflete: que vantagem matemática oferece a abordagem da Matilde ao resolver a primeira equação? Qual dos dois métodos consideras mais intuitivo e direto para evitar bloqueios caso não descubras a relação oculta entre as partes? Justifica a tua resposta.

Numa habitação familiar de Coimbra, a fatura mensal de eletricidade é composta por um termo fixo de $14$ € (pela potência contratada) e por um termo variável de $0,18$ € por cada $\text{kWh}$ consumido. No mês de janeiro, o valor total da fatura antes de impostos ascendeu a $64,40$ €.

1. a) Antes de resolver com recurso à álgebra, faz uma estimativa mental fundamentada: o consumo terá estado mais próximo de $200\text{ kWh}$, de $300\text{ kWh}$ ou de $400\text{ kWh}$? Justifica a tua dedução calculando mentalmente valores aproximados.
2. b) Define a incógnita $x$ com as suas unidades, formula uma equação do 1.º grau e calcula o consumo exato em $\text{kWh}$ do mês de janeiro.
3. c) Na primavera, a família adota hábitos de poupança e consegue reduzir o seu consumo para exatamente metade dos $\text{kWh}$ de janeiro, mantendo a mesma potência contratada. Uma pessoa da família afirma: «Como consumimos metade da eletricidade, a fatura deste mês será exatamente metade ($32,20$ €)». Escreve a expressão matemática do novo custo e justifica algebricamente por que razão essa afirmação é falsa, explicando o papel que o termo fixo desempenha na proporcionalidade da fatura.

Desafio do tema. Que tarifa compensa mais em nossa casa? Investiga e otimiza a fatura de eletricidade familiar aplicando equações do primeiro grau.

1. Recolha de dados: Analisa uma fatura de eletricidade real da tua casa ou consulta o site da ERSE. Anota o custo fixo mensal e o preço por kWh (por exemplo, $0,14$ €/kWh). Escolhe depois uma tarifa alternativa de outra companhia com diferente custo fixo e variável.

2. Modelação algébrica: Formula um problema e a sua equação do primeiro grau para descobrir com que consumo mensal em kWh ($x$) ambas as opções custariam exatamente o mesmo: $F_1 + V_1 \cdot x = F_2 + V_2 \cdot x$. Resolve a equação detalhando e justificando cada passo algébrico.

3. Simulação e proposta: Desenha numa folha de cálculo uma tabela que compare ambas as tarifas para diferentes consumos ($100$, $200$ e $300$ kWh) e verifica a tua solução. Redige um relatório breve recomendando de forma fundamentada a melhor opção de acordo com o consumo real da tua casa.

Será valorizado:

• Extração e organização adequada de dados reais de consumo e tarifas.

• Formulação correta e resolução passo a passo da equação do primeiro grau.

• Utilização da folha de cálculo para verificar soluções e simular cenários.

• Justificação coerente e crítica da proposta final de poupança.