Exercícios: Equações do primeiro grau

A linguagem das equações permite-nos resolver mistérios. Imagina um jogo de "Adivinha o meu número" com um amigo. O amigo diz:

"Se ao meu número secreto for somado $12$, o resultado é $35$".

Traduz esta frase para a linguagem algébrica, chamando $x$ ao número secreto, e escreve a equação correspondente.

Uma equação é como uma balança em perfeito equilíbrio. Observa a imagem seguinte, onde os círculos laranja representam a nossa incógnita $x$ e os quadrados cinzentos representam unidades de $1$ kg.

Escreva a equação que representa o equilíbrio da balança:

Num videojogo, obteve-se uma pontuação de $x$ pontos. Após completar uma missão diária, foram concedidos $25$ pontos extra, e agora há um total de $110$ pontos.

Escreve a equação que descreve esta situação e descobre mentalmente quantos pontos havia no início.

Verificar se um número é a solução de uma equação é fundamental. Indica se o valor $x = 4$ é a solução das seguintes equações do primeiro grau:

1. a) $x + 7 = 11$

1. b) $3x = 12$

1. c) $2x - 1 = 5$

Aisha tem uma coleção de cromos de futebol. O seu irmão mais novo tirou $8$ cromos e agora só lhe restam $22$.

Designando por $x$ o número inicial de cromos que a Aisha tinha, escreve a equação que representa este problema e resolve-a para saberes quantos cromos ela tinha no início.

Resolva estas equações do primeiro grau muito simples utilizando a operação inversa (se algo soma, passa a subtrair; se algo multiplica, passa a dividir):

1. a) $x + 5 = 15$

1. b) $x - 9 = 2$

1. c) $4x = 24$

1. d) $\frac{x}{3} = 5$

O perímetro de um terreno retangular mede $60$ metros. Sabe-se que o comprimento do terreno mede $20$ metros. Quer-se descobrir quanto mede a largura ($x$).

Utilize a fórmula do perímetro do retângulo para escrever uma equação:

$2 \cdot 20 + 2 \cdot x = 60$

Escreva os passos para isolar $x$ e calcular a largura do terreno.

Três amigos foram lanchar e pediram três batidos iguais. Ao pagar com uma nota de $20$ €, receberam $11$ € de troco.

Chamando $x$ ao preço de um único batido, escreva uma equação que represente o custo total do lanche mais o troco recebido.

(Dica: $3 \cdot (\text{precio batido}) + \text{vuelta} = \text{total pagado}$)

O Marcos tentou resolver a equação $4x - 6 = 14$ no seu caderno e escreveu a seguinte resolução passo a passo:

Passo 1: $4x = 14 - 6$

Passo 2: $4x = 8$

Passo 3: $x = \dfrac{8}{4} = 2$

1. a) Localiza o erro que o Marcos cometeu ao passar do enunciado original para o Passo 1 e explica que regra básica da transposição de termos não respeitou.
2. b) Resolve a equação corretamente, mostrando todos os passos.
3. c) Verifica a tua solução substituindo o valor obtido na equação inicial para demonstrar que a igualdade se verifica.

Imagina que estás a preparar um teste para os teus colegas de turma e inventa uma equação de primeiro grau que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. A sua solução exata deve ser $x = -2$.

2. A incógnita $x$ deve aparecer obrigatoriamente em ambos os membros da equação.

3. Pelo menos um dos coeficientes que multiplicam a $x$ deve ser maior do que $1$.

Explica com clareza o raciocínio que seguiste para construir a tua equação e demonstra que está correta, verificando que, ao substituir $x = -2$, ambos os membros dão o mesmo valor numérico.

Numa balança digital de precisão, foram colocadas duas caixas de material idênticas (a que chamaremos $x$) e um peso de $25$ gramas no prato esquerdo. Para equilibrar a balança, no prato direito foi colocado um peso de $135$ gramas.

Elabora a equação que representa esse equilíbrio e calcula quanto pesa cada caixa $x$.

Um famoso streamer está a sortear cartões-presente entre os seus subscritores. Anunciou que "o triplo dos cartões que ofereceu ontem, menos os 12 que guardou para hoje, equivale a 48 cartões".

Chamando $x$ ao número de cartões que ofereceu ontem, escreva a equação que descreve a situação e resolva-a para encontrar esse número.

Resolva a seguinte equação do primeiro grau eliminando primeiro os parênteses e agrupando depois os termos com incógnita:

$4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$

Encontra um número tal que a sua metade mais a sua quarta parte seja igual a $15$. Para o resolveres, procura o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar as frações da equação.

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 15$

Três amigos estão a colecionar cromos de uma série de animação. A Beatriz tem o dobro dos cromos do Marcos, e a Paula tem 10 cromos a mais do que o Marcos. Se entre os três somam um total de $110$ cromos, quantos cromos tem cada um?

Resolva a seguinte equação com denominadores, simplificando cada passo:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$

Lembre-se de multiplicar todos os termos da equação pelo $m.c.m.(3, 6)$ para trabalhar apenas com números inteiros.

A soma de três números inteiros consecutivos é igual a $72$. Escreva uma equação do primeiro grau para determinar quais são esses três números.

Numa estação meteorológica do IPMA em Évora, durante um dia de primavera, a temperatura às 9:00 era de $14\ ^\circ\text{C}$. A partir dessa hora, a temperatura aumentou a um ritmo constante de $3\ ^\circ\text{C}$ por cada hora decorrida até atingir a temperatura máxima do dia, que foi de $29\ ^\circ\text{C}$.

1. a) Antes de propor qualquer operação algébrica, faz uma estimativa mental: achas que a temperatura máxima foi atingida antes das 13:00 ou depois? Justifica brevemente a tua previsão.
2. b) Chama $t$ ao número de horas decorridas desde as 9:00. Formula uma equação de primeiro grau que modele a situação e resolve-a passo a passo para saber quantas horas se passaram.
3. c) Determina a que hora exata se atingiram os $29\ ^\circ\text{C}$ e avalia se o resultado numérico confirma a tua estimativa prévia e é coerente com o ritmo do dia.

Para ir diariamente para a escola e para os seus treinos de basquetebol, o João analisa duas tarifas do passe de transportes metropolitanos:

• Tarifa Jovem: assinatura mensal de $15$ euros fixos mais $0,60$ euros por cada viagem realizada.

• Tarifa Carteira: sem mensalidade fixa, mas cada viagem custa $1,10$ euros.

1. a) Formula uma equação do primeiro grau que permita calcular o número de viagens $v$ com o qual a despesa mensal seria idêntica em ambas as opções.
2. b) Resolve a equação para encontrar esse número de viagens.
3. c) Se o João calcula que realizará aproximadamente $36$ viagens por mês, interpreta o resultado obtido na alínea anterior para o aconselhar sobre qual das duas tarifas lhe será mais económica. Justifica o teu conselho comparando os custos previstos.

Num jogo de RPG, a força da tua personagem é calculada por meio de uma "fórmula de equilíbrio". Para subir de nível, deve-se encontrar o valor da incógnita $x$ que faz com que ambos os lados da balança mágica sejam iguais. Resolve a seguinte equação:

$2(3x - 5) - 4(x - 2) = 16 - (x + 3)$

Três amigos decidem comprar uma subscrição anual de uma plataforma de streaming que custa um total de $165$ €. Pelo uso que fazem, acordaram que:

• Sara pagará o dobro de Lucas.

• Lucas pagará $15$ € a mais do que Mateo.

Designando por $x$ o dinheiro que Mateo paga, elabore uma equação do primeiro grau e calcule quanto cada um deve contribuir para completar o pagamento.

Estamos a projetar uma nova pista de skate com formato triangular. O perímetro total da pista deve ser de $54$ metros. As condições do projeto são as seguintes:

• O lado mais longo mede $x$ metros.

• O lado médio mede metade do lado longo mais $3$ metros.

• O lado mais curto mede $10$ metros a menos do que o lado longo.

Determine as dimensões dos três lados da pista resolvendo a equação correspondente.

Resolva a seguinte equação com denominadores, prestando muita atenção ao sinal negativo que precede a segunda fração:

$\frac{x + 5}{2} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{5}{6}$

Lembre-se de que, para eliminar os denominadores, se devem multiplicar todos os termos pelo mmc dos mesmos.

A idade da Marina é o triplo da que tinha há $10$ anos. Chamando $x$ à sua idade atual, calcule quantos anos ela tem, elaborando e resolvendo uma equação do primeiro grau.

A equipa de robótica da tua escola construiu um circuito com forma de retângulo para uma competição. O comprimento do circuito mede o triplo da sua largura. Se aumentarmos a largura em $2$ metros e diminuirmos o comprimento em $4$ metros, o perímetro do novo retângulo passa a ser de $44$ metros. Calcula as dimensões originais do circuito.

Encontra o valor de $x$ que resolve a seguinte equação complexa com parênteses encadeados:

$3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$

Certifica-te de que resolves primeiro os parênteses interiores e simplificas cada membro antes de transpor os termos.

Uma loja de videojogos vendeu durante a manhã um terço das consolas que tinha em stock. À tarde, vendeu metade das que restavam. Se ao fechar a loja ainda restavam $12$ consolas por vender, com quantas consolas começaram o dia?

Escreve a equação, chamando $x$ ao número total de consolas no início do dia.

Dada a equação com parênteses e frações:

$\dfrac{3(x - 1)}{2} - \dfrac{2x + 4}{5} = 2$

Dois alunos propõem estratégias de resolução diferentes:

• Estratégia da Helena: Multiplicar primeiro todos os termos de ambos os membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores ($10$) para eliminar de uma só vez as frações, e depois retirar os parênteses.

• Estratégia do David: Aplicar primeiro a propriedade distributiva nos numeradores, separar cada fração em frações simples e operar somando os termos com $x$ e os termos numéricos através de cálculo fracionário.

1. a) Resolve a equação seguindo ordenadamente a estratégia da Elena.
2. b) Resolve a equação seguindo a estratégia do David.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual consideras mais eficaz para evitar erros comuns de sinais e simplificar os cálculos intermédios no 1.º de ESO? Justifica a tua resposta analisando um ponto crítico onde seja fácil errar em qualquer um dos dois métodos.

A Câmara Municipal quer delimitar uma horta escolar retangular aproveitando um lote de rede metálica doada com $68\text{ metros}$ de comprimento total, que deve ser totalmente utilizada para vedar todo o perímetro.

1. a) O projeto técnico estabelece como condição que o comprimento da horta deve medir $4\text{ metros}$ a mais do que o triplo da sua largura. Chama $x$ à largura em metros, escreve a expressão algébrica do comprimento e formula a equação que expressa o perímetro total.
2. b) Resolve a equação e calcula as dimensões exatas (largura e comprimento) da horta projetada.
3. c) Supõe que a associação de moradores pede para modificar o caderno de encargos: querem que o comprimento seja o quádruplo da largura, utilizando exatamente os mesmos $68\text{ metros}$ de rede. Formula a nova equação e resolve-a. A partir do valor de $x$ obtido, reflete: é possível construir a horta com estas novas condições se as estacas de delimitação só puderem ser colocadas a distâncias que sejam números inteiros de metros? Justifica a tua conclusão.