Exercícios: Fração geratriz de um número decimal

Para começar a trabalhar com as frações geratrizes, é fundamental saber que tipo de número temos pela frente. Classifique os seguintes números decimais em decimal exato, dízima periódica simples ou dízima periódica mista:

1. a) $3,15$
2. b) $0,666...$
3. c) $12,4777...$
4. d) $5,232323...$
5. e) $8,02333...$

No laboratório de Ciências Naturais, uma amostra de areia foi pesada e a balança marca $0,75$ gramas. Escreva esse número na forma de fração decimal (com potência de 10 no denominador) e depois simplifique-a até obter a sua fração geratriz irredutível.

Identifica os elementos dos seguintes números decimais periódicos. Para cada um, indica qual é a sua parte inteira, qual é o seu anteperíodo (se tiver) e qual é o seu período:

1. a) $5,888...$

1. b) $0,1232323...$

1. c) $14,5262626...$

Calcule a fração geratriz dos seguintes números decimais exatos. Lembre-se de simplificar o resultado sempre que possível:

1. a) $0,5$
2. b) $1,2$
3. c) $0,25$
4. d) $0,08$

Um jogo indica que foi concluído $0,\overline{6}$ de uma missão. Para saber a parte exata do mapa percorrida, converte esse número, uma dízima periódica simples, na sua fração geratriz.

Associa cada número decimal à sua fração correspondente. Não é necessário realizar cálculos longos, utiliza a lógica das dízimas finitas:

Encontre a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas simples de apenas um algarismo no período. Simplifique, se puder:

1. a) $0,\overline{3}$
2. b) $0,\overline{7}$
3. c) $1,\overline{1}$
4. d) $0,\overline{5}$

Numa promoção de uma loja de música, um álbum digital custa $9,90$ €. Expresse o preço do álbum como uma fração de números naturais e simplifique-a até que não se possa reduzir mais.

Para expressar a dízima periódica simples $0,\widehat{4}$ sob a forma de fração, o Carlos escreveu no quadro:

1. a) Sem efetuar nenhuma divisão ainda, explica que confusão fez o Carlos entre as dízimas finitas e as periódicas ao escolher o denominador.
2. b) Comprova o erro do Carlos fazendo à mão a divisão decimal de $2$ por $5$ e fundamenta por que razão o seu resultado não coincide com o número de partida.
3. c) Aplica a regra da fração geratriz para obter a fração irredutível que representa de forma exata $0,\widehat{4}$.

Queremos descobrir a fração geratriz da dízima periódica simples $0,\widehat{7}$.

1. a) Estima: Lembra-te de que $0,5 = \frac{1}{2}$ e que $0,75 = \frac{3}{4}$. Justifica se o valor de $0,\widehat{7}$ deve ser maior ou menor do que $\frac{3}{4}$.
2. b) Calcula: Obtém a fração geratriz de $0,\widehat{7}$ aplicando a regra das dízimas periódicas simples. É uma fração irredutível ou pode ser simplificada?
3. c) Verifica: Reduz ao mesmo denominador a fração $\frac{3}{4}$ e a fração obtida na alínea anterior para comparar os seus numeradores. Os cálculos confirmam a tua estimativa inicial?

Classifique os seguintes números decimais em exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas mistas. Depois de classificados, calcule a fração geratriz de cada um deles e simplifique o resultado até obter a fração irredutível:

1. a) $3,15$
2. b) $0,\widehat{12}$
3. c) $2,1\widehat{6}$

Num jogo de estratégia, uma barra de carregamento indica que foi concluído $0,85$ de uma missão especial. Que fração irredutível da missão já foi concluída? Calcule a fração geratriz desse número decimal e simplifique-a.

Numa etapa de contrarrelógio da Volta a Portugal em Bicicleta, o cronómetro oficial regista que o vencedor demorou exatamente $1,1\widehat{6}$ horas a completar o percurso.

1. a) Classifica este número decimal (finito, dízima periódica simples ou dízima periódica mista) e indica a sua parte inteira, o seu anteperíodo e o seu período.
2. b) Determina a fração geratriz irredutível deste tempo em horas, calculando a fração correspondente à parte decimal e somando-lhe depois a parte inteira.
3. c) Um comentador de televisão arredonda o dado para $1,16$ horas e afirma: «O ciclista demorou exatamente $1$ hora e $16$ minutos». Multiplica a fração geratriz irredutível da alínea anterior pelos $60$ minutos que tem uma hora para encontrar o tempo real exato e explica os dois erros cometidos pelo comentador.

Para calcular a fração geratriz da dízima periódica simples $2,\widehat{54}$, duas alunas seguem estratégias distintas:

• Estratégia da Irene (número misto): Separa a parte inteira e escreve $2 + \frac{54}{99}$. Depois simplifica a fração periódica e, por fim, soma a parte inteira.

• Estratégia da Sofia (fração direta): Coloca no numerador a subtração de todo o número sem vírgula menos a parte inteira: $\frac{254 - 2}{99}$, e depois simplifica a fração resultante.

1. a) Desenvolve passo a passo ambos os métodos e comprova que com os dois se chega à mesma fração irredutível.
2. b) Compara os dois caminhos: qual consideras mais vantajoso se tiveres de trabalhar com um número de parte inteira muito grande, como $340,\widehat{6}$? Justifica a tua resposta avaliando a dificuldade dos cálculos em cada caso.

Procuramos um número decimal superior a $1$ cuja fração geratriz irredutível tenha obrigatoriamente como denominador o número $33$. Sabemos que a sua parte inteira é $1$ e que o seu período tem dois algarismos que começam por $4$; isto é, o número é da forma $1,\widehat{4a}$, onde $a$ é um algarismo desconhecido.

1. a) Justifica por que razão este decimal deve ser necessariamente uma dízima periódica simples e não pode ser finito nem uma dízima periódica mista, analisando de que denominador por simplificar provém o $33$.
2. b) Escreve a fração com denominador $99$ equivalente à fração irredutível de denominador $33$. Por que fator se teve de simplificar?
3. c) Descobre que valores possíveis pode tomar o algarismo $a$ para que, após simplificar por esse fator, a fração resultante seja irredutível e conserve o denominador $33$ (lembra-te de que o numerador simplificado não pode ter divisores comuns com $33$). Escreve os números decimais encontrados e as respetivas frações irredutíveis.

Numa estação de vigilância sísmica do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) no Algarve, dois sensores registam o movimento de uma falha:

• O sensor A deteta um deslocamento de $0,2\widehat{6}$ milímetros.

• O sensor B deteta um deslocamento de $0,\widehat{4}$ milímetros.

Um técnico principiante afirma: «Somamos os algarismos diretamente: $0,2\widehat{6} + 0,\widehat{4} = 0,6\widehat{10}$, o que equivale exatamente a um deslocamento total de $0,7$ milímetros».

1. a) Justifica detalhadamente por que razão o procedimento do técnico é matematicamente incorreto e explica que problema surge ao tentar somar diretamente algarismos que se repetem até ao infinito.
2. b) Modela a situação calculando a fração geratriz irredutível do registo de cada sensor.
3. c) Soma ambas as frações para obter a fração geratriz irredutível do deslocamento total. Converte-a novamente para a forma decimal, classifica o decimal resultante e calcula a diferença exata entre o valor real e os $0,7$ milímetros que o técnico tinha estimado.