Exercícios: Conceito

Numa loja de desporto, os preços de três artigos foram escritos por extenso. Escreve no teu caderno o número decimal que corresponde a cada um, utilizando algarismos:

1. a) Uns óculos de natação que custam oito euros e quinze cêntimos.
2. b) Uma bola de ténis que custa dois euros e oito cêntimos.
3. c) Uns calções de corrida que custam doze euros e cinquenta cêntimos.

Indique qual é o valor posicional (unidades, décimas, centésimas ou milésimas) do algarismo $7$ em cada um dos seguintes números:

1. a) $15,72$
2. b) $0,007$
3. c) $7,431$
4. d) $2,075$

Decompõe os seguintes números decimais segundo as suas ordens de unidades, como no exemplo:

Exemplo: $4,25 = 4$ Unidades + $2$ décimos + $5$ centésimos.

1. a) $8,39$
2. b) $12,045$
3. c) $0,614$

Observe a seguinte reta numérica e escreva qual o número decimal que corresponde a cada uma das letras marcadas com um ponto laranja:

Copia para o teu caderno e utiliza os sinais $<$ ou $>$ para comparar estes pares de números decimais:

1. a) $5,4$ ____ $5,39$
2. b) $0,25$ ____ $0,3$
3. c) $12,07$ ____ $12,071$
4. d) $6,1$ ____ $6,099$

Relacione cada número decimal com a sua fração decimal correspondente:

• Números: $0,7$ | $0,07$ | $7,7$ | $0,77$

• Frações: $\frac{77}{100}$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{7}{100}$ | $\frac{77}{10}$

Se dividirmos um quadrado em $100$ partes iguais, cada parte é um centésimo ($0,01$). Observa a seguinte imagem e escreve qual é o número decimal que representa a região sombreada a laranja:

Complete estas equivalências entre ordens de unidades:

1. a) $4$ unidades = ____ décimas.
2. b) $70$ centésimas = ____ décimas.
3. c) $5$ décimas = ____ milésimas.
4. d) $300$ milésimas = ____ centésimas.

A Beatriz está a ordenar medidas para uma aula prática do laboratório escolar e afirma com segurança: «O número $3,125$ é maior do que $3,8$ porque $125$ é muito maior do que $8$».

1. a) Explica qual é o erro conceptual que a Beatriz comete relativamente ao valor posicional dos algarismos decimais a seguir à vírgula.
2. b) Mostra como se comparam corretamente ambos os números igualando a sua quantidade de algarismos decimais através de zeros.
3. c) Escreve a relação de ordem correta entre ambos utilizando o símbolo adequado ($<$ ou $>$).

Numa prova do Campeonato de Portugal de Atletismo Sub-14, o sistema de cronometragem digital registou os tempos de três atletas na final dos $80\text{ m}$ planos: o Duarte demorou $10,18\text{ s}$, o Lucas marcou $10,2\text{ s}$ e o Martim parou o cronómetro em $10,105\text{ s}$.

1. a) Escreve os três tempos com a mesma precisão (em milésimos de segundo) acrescentando os zeros necessários para que tenham o mesmo número de casas decimais.
2. b) Ordena os atletas do menor para o maior tempo (do mais rápido para o mais lento) para determinar as posições do pódio.
3. c) Quantos centésimos de segundo separaram o vencedor da prova do segundo classificado? Justifica a tua resposta a partir do valor posicional de cada algarismo.

Num laboratório de ciências, um grupo de alunos mediu a massa de uma amostra de mineral com uma balança de precisão. O resultado obtido é de $42,308$ gramas.

Indica qual o valor que cada algarismo representa neste número:

• O algarismo $4$ representa ............................

• O algarismo $2$ representa ............................

• O algarismo $3$ representa ............................

• O algarismo $0$ representa ............................

• O algarismo $8$ representa ............................

Escreve também a sua decomposição polinomial utilizando unidades e frações decimais.

Nas olimpíadas escolares, os tempos registados na final dos $100$ metros rasos foram muito próximos. Os juízes anotaram os seguintes resultados em segundos:

$12,45$ — $12,408$ — $12,5$ — $12,099$ — $12,41$

Ordena os corredores do mais rápido (menor tempo) ao mais lento (maior tempo) utilizando o símbolo $<$ e escreve como se lê o número decimal correspondente ao vencedor da medalha de ouro.

Observe a seguinte reta numérica onde foram representados vários pontos. Identifique qual número decimal exato corresponde a cada uma das letras marcadas ($A$, $B$ e $C$).

Classifique os seguintes números decimais indicando se são decimais exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas. Para os periódicos, indique claramente qual é o período e, se houver, a parte não periódica:

1. a) $5,08$
2. b) $2,333...$
3. c) $14,252525...$
4. d) $0,1666...$
5. e) $3,141592...$ (este último é um número decimal periódico?)

Às vezes as frações ajudam-nos a entender melhor o tipo de número decimal que temos. Sem efetuar a divisão, classifique a representação decimal das seguintes frações como finita ou dízima infinita periódica:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{4}{9}$
3. c) $\frac{13}{6}$
4. d) $\frac{1}{25}$

A Maria está a organizar a sua mochila para uma excursão. Comprou uma garrafa de água por $1,25$ €, um saco de frutos secos por $3,050$ € e um boné por $9,9$ €.

1. a) Escreva todos os preços de forma que tenham o mesmo número de casas decimais (adicionando zeros, se necessário).
2. b) Transforme o preço do boné numa fração irredutível.
3. c) Quantos cêntimos de euro custa o saco de frutos secos?

Uma das propriedades mais curiosas dos números decimais é que sempre podemos encontrar outro número entre dois dados, por mais próximos que estejam.

Represente graficamente numa reta o intervalo entre $0,56$ e $0,57$ e posicione nela três números decimais que estejam entre ambos.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Para descobrir se a fração $\frac{18}{150}$ dá origem a uma dízima finita, dízima infinita periódica simples ou dízima infinita periódica mista, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método A (Marcos): Realizar diretamente a divisão $18 : 150$ com o algoritmo tradicional no papel até verificar se o resto é zero ou se os algarismos começam a repetir-se.

• Método B (Sara): Simplificar primeiro a fração para a sua forma irredutível e decompor depois o novo denominador em fatores primos para aplicar o critério dos dois e dos cincos.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo e classifica o decimal resultante.
2. b) Se em vez dessa fração te pedissem para classificar $\frac{21}{8\,750}$, qual dos dois métodos escolherias e porquê? Justifica a tua decisão explicando a relação entre os fatores primos do denominador e as potências de $10$.

Propomos-te estudar o valor decimal da fração $\frac{13}{32}$ combinando estimativa e análise teórica:

1. a) Estima: Sem realizar a divisão, calcula mentalmente entre que duas décimas consecutivas ($0,1$; $0,2$; $0,3$; $0,4$; $0,5$...) deve encontrar-se este número. Para te orientares, compara-a com frações de referência mais simples com esse mesmo denominador, como $\frac{8}{32}$ e $\frac{16}{32}$.
2. b) Verifica: Realiza a divisão até obteres as três primeiras casas decimais e verifica se a tua estimativa estava correta.
3. c) Justifica: Observando a decomposição em fatores primos do denominador de $\frac{13}{32}$, justifica se o desenvolvimento decimal completo acabará por ter um número finito de algarismos (dízima finita) ou infinitos algarismos periódicos. Se for finita, deduz quantas casas decimais terá no total sem necessidade de continuar a dividir.

Um número decimal é composto por $4$ unidades, $15$ décimas, $27$ centésimas e $105$ milésimas. Faz os agrupamentos necessários (por exemplo, $10$ milésimas formam $1$ centésima, $10$ centésimas formam $1$ décima e $10$ décimas formam $1$ unidade) para escrever o número corretamente na sua forma decimal padrão e, depois, indica quantas milésimas totais contém esse número.

Encontra um número decimal $x$ que esteja exatamente à mesma distância de $3,14$ e $3,15$. Exprime-o tanto na forma decimal como na forma de fração irredutível. Que tipo de número decimal é o resultado?

Classifique as seguintes frações de acordo com o tipo de representação decimal que geram (Decimal Exata, Dízima Periódica Simples ou Dízima Periódica Mista) sem realizar a divisão, baseando-se apenas na decomposição em fatores primos dos seus denominadores:

1. a) $\frac{7}{40}$
2. b) $\frac{5}{18}$
3. c) $\frac{11}{21}$
4. d) $\frac{9}{250}$

Escreve a fração geratriz irredutível dos seguintes números decimais periódicos, mostrando o processo passo a passo:

1. a) $2,1\widehat{36}$
2. b) $0,00\widehat{5}$

Ordene do menor para o maior os seguintes números decimais misturados com frações. Para os comparar, transforme todos os elementos na sua representação decimal com pelo menos quatro algarismos decimais:

$1,2\widehat{5}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $1,2525...$ ; $1,25$ ; $\frac{11}{9}$

Descobre de que número se trata sabendo que cumpre as seguintes condições:

1. A sua parte inteira é o menor número primo par.

2. Tem quatro casas decimais.

3. O algarismo das milésimas é o triplo do das décimas.

4. A soma de todos os seus algarismos é $15$.

5. O algarismo das décimas de milésima é metade do das centésimas.

Um nanómetro ($nm$) equivale a $0,000000001$ metros. Se a espessura de um cabelo humano é de aproximadamente $0,08$ milímetros, expresse essa espessura em metros usando potências de $10$ e determine quantos nanómetros mede o cabelo.

Representa numa reta numérica o intervalo compreendido entre $5,67$ e $5,68$. Divide esse intervalo em dez partes iguais (cada parte mede $0,001$) e marca a posição exata dos números $5,674$ e $5,679$.

1. a) Desenha a reta com o intervalo dividido em dez partes iguais e escreve debaixo das marcas os números correspondentes.

1. b) Marca na tua reta os números $5,674$ e $5,679$.

1. c) Encontra um número decimal que tenha exatamente cinco casas decimais (o último algarismo diferente de $0$) e que esteja situado entre $5,674$ e $5,679$.

É-te proposto o desafio inverso de construir duas frações irredutíveis distintas, $\frac{A}{B}$ e $\frac{C}{D}$, que cumpram simultaneamente estas três condições:

1. O valor decimal de ambas as frações deve estar compreendido estritamente entre $0,65$ e $0,75$.

2. Os denominadores $B$ e $D$ devem ser números inteiros de dois algarismos menores do que $30$.

3. A fração $\frac{A}{B}$ deve ser uma dízima finita, enquanto a fração $\frac{C}{D}$ deve ser uma dízima infinita periódica mista.

1. a) Deduz que fatores primos podem (e quais não podem) formar os denominadores $B$ e $D$ para garantir o tipo de dízima pedido em cada caso.
2. b) Encontra um par de frações $\frac{A}{B}$ e $\frac{C}{D}$ que cumpra todas as condições.
3. c) Verifica a tua resposta calculando a representação decimal de ambas e identificando, no caso da dízima periódica mista, o seu anteperíodo e o seu período.

Num debate sobre números decimais, o Hugo defende a seguinte regra: «Para saber se uma fração irredutível dá uma dízima finita só é preciso olhar para o último algarismo do denominador: se terminar em $5$ ou em $0$, é sempre finita porque os números que terminam em $5$ ou em $0$ são divisíveis por $5$ ou por $10$. Pelo contrário, se terminar em qualquer outro algarismo, nunca pode ser finita».

1. a) Demonstra que a afirmação do Hugo é falsa encontrando:

• Um contraexemplo de fração irredutível cujo denominador termine em $5$ e NÃO seja finita.

• Um contraexemplo de fração irredutível cujo denominador termine em $0$ e NÃO seja finita.

• Um contraexemplo de fração irredutível cujo denominador NÃO termine nem em $5$ nem em $0$ e SEJA finita.

1. b) Classifica o tipo de dízima que cada um dos teus três contraexemplos gera.
2. c) Explica o erro concetual do Hugo: por que razão não basta olhar para o último algarismo e que relação têm os fatores primos do denominador simplificado com a possibilidade de amplificar a fração até uma potência de $10$ ($10$, $100$, $1\,000$...)?.