Exercícios: A linguagem algébrica

No mundo dos videojogos, às vezes usamos fórmulas para calcular pontuações. Traduza para a linguagem algébrica as seguintes frases, chamando $x$ ao número de gemas que um jogador conseguiu:

• a) O dobro do número de gemas.

• b) O triplo de gemas mais $50$ pontos extras.

• c) O número de gemas que teria se perdesse $5$ gemas.

• d) A metade das gemas que tem.

Copia no teu caderno a seguinte tabela e completa as informações sobre estes monómios (lembra-te de que, se não houver número à frente da letra, o coeficiente é $1$):

Monómio	Coeficiente	Parte literal	Grau
$7a^2$
$-5x$
$x^3y$
$\frac{1}{2}b$

Queremos vedar um recinto para um festival de música que tem a forma de um quadrado. Ainda não sabemos quanto mede o lado, por isso vamos chamar-lhe $x$.

• a) Escreva uma expressão algébrica para o perímetro do recinto (a soma de todos os seus lados).

• b) Escreva uma expressão algébrica para a área do recinto.

Calcule o valor numérico das seguintes expressões para o valor indicado (lembre-se de que entre um número e uma letra há sempre uma multiplicação invisível):

• a) $3x + 5$ quando $x = 2$

• b) $10 - 2n$ quando $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ quando $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ quando $x = 10$

Observe a seguinte sucessão de figuras formadas por pontos cor de laranja. Se chamarmos $n$ à posição da figura (Figura 1, Figura 2...):

• a) Quantos pontos terá a Figura 4?

• b) Escreva uma expressão algébrica que indique quantos pontos há na Figura $n$.

Numa loja de roupa, uma camisola de algodão custa $s$ euros. Se umas calças custam $12$ euros a menos do que a camisola, exprime em linguagem algébrica:

• a) O preço das calças.

• b) O preço total da compra de duas camisolas.

• c) O preço total da compra de uma camisola e de umas calças.

Chamamos $x$ à idade atual da Ioana. Expresse algebricamente as idades da família dela:

• a) A idade que a Ioana terá daqui a $8$ anos.

• b) A idade que a Ioana tinha há $3$ anos.

• c) O irmão dela tem o dobro da idade da Ioana. Qual é a idade do irmão?

• d) A mãe dela tem o triplo da idade que a Ioana terá daqui a $1$ ano.

Se $n$ representa um número inteiro qualquer, escreva a expressão algébrica para:

• a) O número sucessor de $n$.

• b) O número antecessor de $n$.

• c) O triplo do sucessor de $n$.

• d) A soma de um número e do seu antecessor.

O Tomás tem de traduzir para linguagem algébrica a seguinte indicação dada pela sua professora: «O triplo da soma de um número mais quatro». No seu caderno, escreveu a expressão:

$$3 \cdot x + 4$$

1. a) Localiza o erro cometido pelo Tomás e explica fundamentadamente que frase em linguagem quotidiana corresponde, na realidade, ao que ele escreveu.
2. b) Escreve a tradução algébrica correta utilizando os sinais de pontuação matemática necessários.
3. c) Verifica numericamente o erro substituindo $x = 2$ tanto na expressão errada do Tomás como na tua correta. Por que razão dão valores diferentes e o que é que isto demonstra sobre a necessidade de usar parênteses?

Numa aula de Matemática coloca-se o seguinte problema inverso: a partir da expressão algébrica já construída $2 \cdot (x - 5)$, deves reconstruir o problema original.

1. a) Traduz a referida expressão para uma frase em linguagem corrente utilizando de forma rigorosa as palavras «dobro», «diferença» e «número».
2. b) Modela uma situação quotidiana verosímil (por exemplo, sobre compras com desconto ou pontos obtidos num jogo) que se ajuste com exatidão à referida expressão, indicando claramente o que representa a variável $x$.
3. c) Se sabemos que o valor numérico final da expressão após realizar os cálculos é $16$, deduz, percorrendo as operações em sentido inverso (por ordem inversa), qual era o valor inicial de $x$.

Num popular videojogo de aventura, os jogadores obtêm pontuações diferentes de acordo com as suas ações. Se chamarmos $x$ ao número de baús de ouro encontrados e $y$ ao número de missões secundárias concluídas, expressa em linguagem algébrica as seguintes situações:

• O triplo de baús de ouro encontrados.

• O número de missões secundárias mais cinco missões extra de bónus.

• O dobro da soma dos baús de ouro e das missões secundárias.

• A metade dos baús encontrados após perder três deles numa batalha.

• O total de pontos se cada baú valer 100 pontos e cada missão valer 50 pontos.

Calcule o perímetro do seguinte campo de padel cujas dimensões são dadas em metros por meio de expressões algébricas. Uma vez obtida a expressão simplificada, calcule o seu valor numérico para $x = 4$ metros.

Um criador de conteúdo do TikTok analisa os seus ganhos mensais. Se $v$ representa o número de vídeos publicados num mês, o seu ganho em euros é definido pela expressão algébrica: $G = 0,5 \cdot v + 12$.

• O que representam os números $0,5$ e $12$ neste contexto?

• Qual será o seu ganho se este mês conseguir publicar um total de $v = 40$ vídeos?

• Se no mês que vem decidir publicar o dobro de vídeos deste mês, escreva a nova expressão para o seu ganho.

Observa a seguinte sequência de mesas hexagonais dispostas em linha para uma comemoração na escola. Cada hexágono representa uma mesa onde os alunos se sentam.

Se numa mesa ($n=1$) cabem 6 pessoas, em duas mesas ($n=2$) cabem 10 pessoas e em três mesas ($n=3$) cabem 14 pessoas:

• Crie uma expressão algébrica que permita calcular o número de pessoas que se podem sentar em função do número de mesas $n$.

• Calcule quantas pessoas se poderão sentar se forem reunidas 15 mesas.

Numa loja de desporto, uma camisola de futebol custa $x$ euros e uns calções custam $y$ euros. Traduza da linguagem algébrica para a linguagem comum o significado das seguintes expressões:

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 10$

• $0,85 \cdot x$

• $3(x + y)$

Copia e completa a seguinte tabela sobre monómios no teu caderno. Lembra-te de que, se o coeficiente não aparecer, entende-se que é a unidade.

Monómio	Coeficiente	Parte literal	Grau
$-5x^2$
$ab^3c$
$\frac{3}{4}x^4y$
$-z$
$12$

Amina, Duarte e Clara estão a comparar quantos seguidores têm nas suas redes sociais. Duarte tem o dobro de seguidores de Amina. Clara tem 500 seguidores a menos que Duarte. Se chamarmos $s$ ao número de seguidores que Amina tem:

• Expresse em linguagem algébrica os seguidores que Duarte tem.

• Expresse em linguagem algébrica os seguidores que Clara tem.

• Escreva uma expressão que represente a soma dos seguidores dos três amigos.

• Se Amina tem $s = 1200$ seguidores, quantos seguidores têm os três juntos?

A Beatriz propõe um truque de magia ao irmão utilizando a linguagem algébrica. Segue os passos e depois explica algebricamente porque é que se obtém sempre o mesmo resultado:

1. Pensa num número qualquer ($n$).

2. Adiciona 5 a esse número.

3. Multiplica o resultado por 2.

4. Subtrai 10 ao valor obtido.

5. Divide o resultado por 2.

6. Que número obténs em relação ao número inicial? Escreve a expressão simplificada do processo.

No serviço público de táxis de uma cidade portuguesa, as tarifas diurnas oficiais são calculadas combinando vários conceitos:

• Uma bandeirada (custo fixo por iniciar a viagem) de $2,50$ €.

• Um custo de $1,30$ € por cada quilómetro percorrido.

• Um suplemento fixo adicional de $3,20$ € se o trajeto tiver como destino a estação central de comboios.

1. a) Escreve a expressão algébrica que permite calcular o custo total de um trajeto normal de $k$ quilómetros (sem suplemento de estação).
2. b) Escreve a expressão algébrica para um trajeto de $k$ quilómetros que termina na estação de comboios e reduz-a somando os dois montantes fixos num único termo.
3. c) Duas colegas de trabalho partilham o táxi até à estação e combinam pagar o montante total exatamente em partes iguais. Escreve a expressão algébrica do preço que cada uma deve pagar em função de $k$ e calcula quanto pagará cada uma se o percurso total for de $10$ km.

Para renovar o gradeamento de um passadiço pedonal no Parque Natural da Ria Formosa, os operários colocam postes verticais unidos por travessas de madeira formando módulos contínuos:

• Para $1$ metro de passadiço são necessárias $6$ madeiras.

• Para $2$ metros de passadiço são necessárias $10$ madeiras.

• Para $3$ metros de passadiço são necessárias $14$ madeiras.

• Para $4$ metros de passadiço são necessárias $18$ madeiras.

1. a) Estima e verifica: antes de deduzir qualquer fórmula, se os operários tiverem de construir um troço de $25$ metros, faz uma estimativa mental rápida: achas que vão precisar de mais ou de menos de $100$ madeiras? Justifica a tua estimativa sem fazer o cálculo passo a passo.
2. b) Observa o padrão: quantas madeiras se adicionam por cada metro adicional? Deduz fundamentadamente a expressão algébrica que dá o número total de madeiras necessárias para um troço de $n$ metros de passadiço.
3. c) Utiliza a tua expressão para calcular o número exato de madeiras que se vão gastar nos $25$ metros. Compara o resultado obtido com a tua estimativa da alínea a) e avalia se foi acertada e razoável.

Numa empresa de paisagismo, utilizam-se ladrilhos hexagonais para cercar canteiros de flores. Se colocarmos os canteiros em linha, cada canteiro adicional partilha alguns ladrilhos com o anterior para economizar material. Observa a seguinte sequência de design:

Se chamarmos $n$ ao número de canteiros que queremos colocar em fila:

1. a) Encontra uma expressão algébrica que permita calcular o número de ladrilhos necessários para $n$ canteiros.
2. b) Usa essa expressão para calcular quantos ladrilhos seriam necessários para uma fila de $25$ canteiros.

Exprime em linguagem algébrica as seguintes frases complexas, utilizando uma única variável $x$ para o número desconhecido:

1. a) O triplo da diferença entre o quadrado de um número e a sua metade.
2. b) A soma de três números naturais consecutivos, sabendo que o primeiro deles é $x-2$.
3. c) O preço final de um casaco de lã que custava $x$ euros, se primeiro for aplicado um aumento de $10\%$ por custos de envio e depois um desconto de $5$ euros por um cupão.
4. d) A diferença entre o cubo do sucessor de um número e o dobro do seu antecessor.

Um grupo de amigos quer oferecer uma consola de videojogos a um colega. A consola custa $C$ euros. Eles decidem que dois dos amigos, que são irmãos, pagarão apenas metade do que cada um dos outros pagar.

1. a) Se $x$ é a quantia de dinheiro com que cada um dos amigos que não são irmãos contribui, e há um total de $6$ amigos (incluindo os dois irmãos), exprima algebricamente o custo total $C$ da consola.
2. b) Se o custo da consola é de $300$ euros, calcule quanto dinheiro cada um dos irmãos deve contribuir.

No projeto de uma piscina moderna, pretende-se cercar uma área retangular de água com comprimento $l$ e largura $a$ por uma borda de madeira de $2$ metros de largura em todo o seu contorno.

1. a) Escreva a expressão algébrica que representa a área total ocupada pela madeira (a borda).
2. b) Simplifique a expressão obtida na alínea anterior.
3. c) Qual seria o valor numérico dessa área se a piscina medisse $10$ metros de comprimento e $5$ metros de largura?

Considere a expressão algébrica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Calcule o valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ e $x = 10$.
2. b) Observando os resultados, poderias propor uma expressão muito mais simples que seja equivalente a $P(x)$ para qualquer valor de $x$ (exceto para $x = -2$)?
3. c) Porque achas que não é possível calcular o valor numérico de $P(x)$ para $x = -2$? Justifica a tua resposta com base no que sabes sobre frações.

Numa competição de triatlo, um atleta corre a uma velocidade constante de $v$ km/h.

1. a) Expresse algebricamente a distância que ele percorre num tempo de $t$ horas e $15$ minutos. (Lembre-se de expressar o tempo numa única unidade).
2. b) Se o atleta decidir aumentar a sua velocidade em $2$ km/h durante a segunda metade do tempo, escreva a expressão da distância total percorrida num tempo total de $t$ horas.
3. c) Calcule a distância total do item b) se $v = 12$ km/h e $t = 2$ horas.

Um mágico pede a um espectador que siga as seguintes instruções:

1. Pensa num número natural qualquer $n$.

2. Multiplica-o por $6$.

3. Adiciona $12$ ao resultado anterior.

4. Divide tudo por $3$.

5. Subtrai o dobro do número que pensaste no início.

1. a) Traduz para a linguagem algébrica cada passo do truque e escreve a expressão final simplificada.
2. b) Qual é o resultado final do truque? Depende do número que o espectador pensou? Justifica a tua resposta usando a linguagem algébrica.

Num armazém de logística, as caixas são empilhadas formando estruturas piramidais de base quadrada. No nível mais alto (nível 1), há $1$ caixa. No nível 2 (abaixo do primeiro), há $4$ caixas formando um quadrado de $2 \times 2$. No nível 3, há $9$ caixas formando um quadrado de $3 \times 3$.

1. a) Escreva a expressão algébrica que representa o número de caixas no nível $n$.
2. b) Escreva uma expressão algébrica que represente o número total de caixas se a pirâmide tiver apenas $3$ níveis.
3. c) Se uma pirâmide tem $n$ níveis, sabe-se que o número total de caixas é dado pela fórmula $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calcule quantas caixas haverá no total numa estrutura de $10$ níveis.

Num ateliê de matemática recreativa propõe-se o seguinte truque de magia numérica:

1. Pensa num número inteiro qualquer.

2. Soma-lhe $5$.

3. Multiplica o resultado obtido por $2$.

4. Subtrai-lhe $6$.

5. Divide o resultado por $2$.

6. Subtrai-lhe o número em que tinhas pensado no início.

O resultado final é sempre $2$, não importa o número escolhido!

Para convencer a turma de que não é por acaso, debatem-se dois caminhos:

• Método A (Verificação empírica): Testar o truque com cinco números muito diferentes entre si (um número de um algarismo, um de três algarismos, o zero, um número negativo e uma fração).

• Método B (Demonstração algébrica): Chamar $n$ ao número inicial, encadear algebricamente todas as operações numa só expressão e simplificá-la passo a passo.

1. a) Desenvolve por completo o Método B: escreve a expressão algébrica resultante após cada uma das 6 instruções e simplifica-a até demonstrar que o resultado final é $2$.
2. b) Escolhe o método e justifica: compara ambos os caminhos explicando por que razão o Método A, apesar de testar muitos casos, não demonstra que o truque funcione sempre, e que vantagem definitiva traz a linguagem algébrica do Método B.

Durante uma atividade de revisão, o professor pede para traduzir para linguagem algébrica a seguinte frase: «O triplo do anterior de um número $x$, aumentado no dobro do seguinte do referido número $x$».

Dois alunos entregam propostas diferentes:

• O Marcos escreve: $3 \cdot x - 1 + 2 \cdot x + 1$

• A Leonor escreve: $3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x + 1)$

1. a) Analisa a proposta do Marcos: localiza os dois erros cometidos por não utilizar parênteses e explica que frase quotidiana corresponderia textualmente à expressão que ele escreveu.
2. b) Desenvolve e simplifica a expressão da Leonor aplicando a propriedade distributiva e agrupando os termos semelhantes para obter uma expressão reduzida da forma $a \cdot x + b$.
3. c) Raciocina e justifica: seria possível que, sendo $x$ um número inteiro, o valor final da expressão da Leonor fosse igual a $40$? Iguala a expressão reduzida a $40$, resolve em ordem a $x$ e justifica a tua conclusão analisando se o resultado pertence ao conjunto dos números inteiros.