Ejercicios: El modelo cuántico y las partículas subatómicas

En el modelo cuántico actual ya no se habla de órbitas, como hacía Bohr, sino de orbitales. Explica la diferencia entre una órbita y un orbital: ¿qué información da cada uno sobre el electrón y cuál de los dos conceptos describe una trayectoria determinada?

El número cuántico principal $n$ etiqueta los niveles de energía del átomo.

1. a) ¿Qué valores puede tomar $n$?
2. b) ¿Qué les ocurre a la energía del nivel y al tamaño medio de la nube electrónica cuando $n$ aumenta?

Dentro de cada nivel hay subniveles. En este tema estudiaremos los subniveles s y p: el orbital s tiene forma esférica y cada orbital p tiene forma de dos lóbulos simétricos. Sus formas se muestran en la figura.

1. a) ¿Cuántos electrones caben como máximo en un orbital s?
2. b) Un subnivel p tiene $3$ orbitales: ¿cuántos electrones caben en total en un subnivel p?

En $1927$, Heisenberg enunció su principio de incertidumbre. Explica qué afirma ese principio sobre la posición y la velocidad del electrón y por qué, a causa de él, los físicos dibujan el electrón como una «nube de probabilidad» y no como una bolita que sigue una trayectoria.

Indica la carga eléctrica (positiva, negativa o nula) y la ubicación en el átomo (núcleo o corteza) del protón, del neutrón y del electrón. ¿Cuáles de las tres partículas tienen casi la misma masa? ¿Cuál es unas $2000$ veces más ligera que las otras dos?

Desde los años sesenta del siglo pasado sabemos que protones y neutrones no son partículas elementales: están formados por quarks.

1. a) ¿Cuántos quarks componen un protón? ¿Y un neutrón?
2. b) ¿Qué diferencia hay, en este sentido, entre esas dos partículas y el electrón?

Los escáneres PET de los hospitales funcionan gracias a los positrones.

1. a) ¿Qué es un positrón? ¿En qué se parece y en qué se diferencia de un electrón?
2. b) ¿Qué ocurre cuando un positrón se encuentra con un electrón?

Las centrales nucleares usan como combustible uranio-235, mientras que el uranio más abundante en la naturaleza es el uranio-238; ambos tienen número atómico $Z = 92$. La figura representa los dos núcleos.

1. a) Explica qué son los isótopos de un elemento.
2. b) Calcula cuántos neutrones tiene en el núcleo cada uno de estos dos isótopos del uranio.

El yodo es un oligoelemento esencial que se añade a la sal de mesa; su isótopo más común tiene $Z = 53$ y $A = 127$.

1. a) Calcula los protones, neutrones y electrones de un átomo neutro de yodo.
2. b) Escribe su símbolo con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.

En radioterapia contra el cáncer se utiliza cobalto-60, una fuente radiactiva con $Z = 27$.

1. a) Escribe el símbolo del cobalto-60 con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
2. b) Calcula sus protones, neutrones y electrones, suponiendo el átomo neutro.
3. c) ¿Qué diferencia hay entre el cobalto-60 y el cobalto-59, el isótopo estable del mismo elemento?

El cloro natural es una mezcla de dos isótopos: un $75\ \%$ de cloro-35 y un $25\ \%$ de cloro-37.

1. a) Calcula la masa atómica media del cloro como media ponderada de las masas de sus isótopos.
2. b) La tabla periódica indica para el cloro una masa de $35.5\ \text{u}$: explica por qué ese valor no es un número entero si cada átomo de cloro tiene un número entero de partículas en su núcleo.

En una prueba de PET, el paciente recibe glucosa marcada con flúor-18 ($Z = 9$), un isótopo que emite positrones. Cuando un positrón encuentra un electrón, ambos se aniquilan y se emiten dos fotones gamma en direcciones opuestas, que detecta el anillo del escáner. El esquema del escáner se muestra en la figura.

1. a) Calcula los neutrones del flúor-18 y del flúor-19, el isótopo estable del flúor.
2. b) ¿Por qué, al detectar los dos fotones a la vez, el equipo sabe que la aniquilación ocurrió sobre la línea que une los dos detectores?
3. c) Los tumores consumen más glucosa que el tejido sano: razona por qué el PET permite localizarlos.

Los quarks tienen cargas eléctricas fraccionarias: el quark up tiene $+\frac{2}{3}$ de la carga del protón y el quark down, $-\frac{1}{3}$. El protón está formado por dos quarks up y uno down (uud), y el neutrón, por uno up y dos down (udd). La figura resume esa composición.

1. a) Comprueba, sumando las cargas de sus quarks, que el protón tiene carga $+1$ y el neutrón, carga $0$.
2. b) ¿Qué combinación de tres quarks up o down daría una partícula de carga $-1$?
3. c) ¿Y una de carga $+2$? Justifica ambas respuestas con la suma de fracciones.

El nivel $n = 1$ tiene un único subnivel s; el nivel $n = 2$ tiene un subnivel s y un subnivel p.

1. a) ¿Cuántos electrones caben como máximo en el nivel $n = 1$? ¿Y en el nivel $n = 2$?
2. b) La primera fila de la tabla periódica tiene $2$ elementos y la segunda, $8$: relaciona esos números con los resultados del apartado anterior.

La masa atómica media del boro es $10.8\ \text{u}$ y sus dos isótopos naturales son el boro-10 y el boro-11.

1. a) Llama $x$ a la fracción de boro-10 y plantea la ecuación que cumple la media ponderada: $10\times x + 11\times(1 - x) = 10.8$.
2. b) Resuélvela y expresa las abundancias de cada isótopo en porcentaje.
3. c) Comprueba el resultado calculando de nuevo la masa media con esas abundancias.

El magnesio natural tiene tres isótopos: magnesio-24 ($78.7\ \%$), magnesio-25 ($10.1\ \%$) y magnesio-26 ($11.2\ \%$).

1. a) Calcula la masa atómica promedio del magnesio como media ponderada.
2. b) Explica por qué el resultado está mucho más cerca de $24$ que de $26$.
3. c) ¿Podría la masa promedio de un elemento coincidir exactamente con un número entero? Razona en qué caso ocurriría.

Calcula los protones, neutrones y electrones de cada una de estas especies y responde después:

1. a) ${}^{40}_{20}\text{Ca}^{2+}$
2. b) ${}^{37}_{17}\text{Cl}^{-}$
3. c) ${}^{35}_{17}\text{Cl}$

1. d) ¿Cuáles de ellas son isótopos entre sí? ¿Por qué?
2. e) ¿Cuáles tienen el mismo número de electrones?

El cobre de los cables eléctricos es una mezcla de dos isótopos, cobre-63 y cobre-65, con masa media $63.5\ \text{u}$.

1. a) Sin hacer cálculos, razona cuál de los dos isótopos es más abundante.
2. b) Plantea la ecuación de la media ponderada y calcula las abundancias porcentuales de ambos isótopos.
3. c) En medicina nuclear se usa a veces cobre-64, producido artificialmente. ¿Sigue siendo cobre? Explica qué es lo que decide que un átomo sea de cobre y no de otro elemento.

Reto del tema. ¿Cómo sabemos qué hay dentro de la materia si no podemos ver un átomo? Investiga la escala atómica y el paso del modelo de Thomson al cuántico mediante una experiencia casera.

1. Medida experimental: Corta 5 cuadrados de papel de aluminio de lados crecientes ($L = 5.0\text{ cm}$; $8.0\text{ cm}$; $10.0\text{ cm}$; $12.0\text{ cm}$; $15.0\text{ cm}$), con incertidumbre de $\pm 0.1\text{ cm}$. Mide la masa de cada uno en una balanza de precisión ($\pm 0.01\text{ g}$).

2. Tratamiento de datos: Construye una tabla con área ($A = L^2$), masa ($m$) e incertidumbres asociadas. Representa el gráfico $m$ frente a $A$. A partir de la pendiente y de la densidad del aluminio ($2.70\text{ g/cm}^3$), calcula el espesor de la lámina y estima cuántos átomos apilados contiene ($d \approx 0.28\text{ nm}$).

3. Propuesta razonada: Redacta un informe breve: explica por qué las partículas $\alpha$ de Rutherford atravesaban casi todas láminas similares con desviaciones mínimas mientras unas pocas se desviaban mucho o rebotaban, y por qué estas grandes desviaciones refutaron el modelo de Thomson, y justifica cómo el modelo cuántico actual describe ese volumen atómico mediante orbitales y probabilidad electrónica.

Se valorará:

• Rigor en la toma de medidas, tabla con incertidumbres y gráfico lineal.

• Corrección en el cálculo del espesor y estimación de capas atómicas.

• Coherencia científica al contrastar los modelos clásicos y el modelo cuántico.