Ejercicios: Concepto de función

Dada la función real de variable real $f(x) = -2x^2 + 4x - 1$, calcula las imágenes correspondientes a los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Observa las dos curvas representadas en los paneles A y B. Determina, justificando tu respuesta mediante el concepto de función real de variable real, cuál de las dos gráficas corresponde a la representación de una función $y = f(x)$ y cuál no.

Un plomero cobra $35$ dólares por el desplazamiento a domicilio, más $22$ dólares por cada hora de mano de obra. Escribe la expresión analítica de la función $C(t)$ que determina el costo total de la reparación en función del tiempo $t$ (en horas) empleado.

Indica, razonando tu respuesta, si las siguientes relaciones entre magnitudes definen una función matemática $y = f(x)$:

• A cada número entero $x$ se le asocia su cubo $y$.

• A cada número real positivo $x$ se le asocian sus raíces cuadradas $y$.

Dada la siguiente tabla de valores que relaciona dos variables $x$ e $y$, justifica si puede corresponder a una función matemática $y = f(x)$.

• Valores de $x$: $-2, -1, 0, 1, -1, 3$

• Valores de $y$: $4, 1, 0, 1, 2, 9$

Dada la función $f(x) = 3x - 7$, halla la preimagen (o preimágenes) del valor $y = 8$. Es decir, encuentra el valor o valores de $x$ tales que $f(x) = 8$.

Calcula el valor numérico de la función $g(x) = \frac{x^2 - 1}{2x + 3}$ para $x = \frac{1}{2}$ y para $x = -1$.

Identifica la variable independiente y la variable dependiente en las siguientes situaciones cotidianas:

• El precio que se paga por una pieza de queso y su peso en la balanza.

• El nivel de agua de un depósito que se está vaciando y el tiempo transcurrido desde que se abrió la válvula de vaciado.

Expresa analíticamente el área $A(x)$ de un recinto rectangular cuyo perímetro es de $40$ m, en función de la longitud $x$ de su base. Indica también cuál debe ser el dominio lógico de esta función atendiendo al contexto geométrico del problema.

La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba desde una plataforma viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 30t + 10$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en segundos.

Calcula la altura inicial desde la que se lanzó, la altura a los $2$ segundos, y plantea la ecuación que resolverías para saber en qué instante el proyectil impacta contra el suelo.

Una empresa fabrica componentes electrónicos. Los costos fijos mensuales de mantenimiento de la galera ascienden a $1500$ dólares, y fabricar cada componente tiene un costo adicional de $12$ dólares. Si cada componente se vende a $25$ dólares, determina la función de Beneficio $B(x)$ en función del número $x$ de componentes fabricados y vendidos al mes. ¿Cuántos componentes deben venderse para empezar a obtener ganancias?

Se sabe que la gráfica de una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, -3)$, $(1, -4)$ y $(-1, 0)$. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente para determinar los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ$C) de una disolución química en función del tiempo $t$ (en minutos) transcurrido desde el inicio de una reacción. A partir de la gráfica, determina la temperatura inicial de la disolución y los instantes de tiempo en los que la temperatura fue exactamente de $20^\circ$C.

Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, obtén la expresión simplificada y desarrollada de $f(x+2) - f(x-1)$.

Considera la relación matemática dada por la ecuación implícita $x^2 + y^2 = 16$.

Explica por qué esta ecuación no define a $y$ como una única función de $x$. Escribe las expresiones analíticas de las dos funciones $f_1(x)$ y $f_2(x)$ que se pueden extraer al despejar la variable $y$.

Una empresa de telefonía ofrece una tarifa de datos en roaming con las siguientes condiciones: se cobra una cuota fija de $5$ dólares que incluye hasta $2$ Gigabytes (GB) de consumo. A partir de los $2$ GB, se cobra $1.50$ dólares por cada GB adicional consumido. Escribe la expresión analítica de la función definida por partes $C(x)$ que proporciona el costo total en función de los GB consumidos $x$.

Un rectángulo está inscrito en un triángulo isósceles de base $12$ cm y altura $8$ cm, de forma que uno de los lados del rectángulo descansa sobre la base del triángulo. Expresa el área del rectángulo $A(x)$ en función de la longitud $x$ de su base.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x-1}$, calcula y simplifica al máximo la expresión del cociente de diferencias:

$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $

Asume que $h \neq 0$ y que tanto $x$ como $x+h$ pertenecen al dominio de la función.

El costo de envío de un paquete por una empresa de mensajería es de $4$ dólares por el primer kilogramo (o fracción de kilogramo), más $1.50$ dólares por cada kilogramo (o fracción) adicional.

Expresa el costo total del envío $C(x)$ en función del peso $x$ del paquete en kilogramos (para $x > 0$). Puedes utilizar la función "parte entera" o "techo" si lo consideras necesario, o definirla por partes para los primeros intervalos. Calcula el costo exacto de enviar un paquete de $3.2$ kg.

Una función racional tiene la forma $f(x) = \frac{ax+b}{x+c}$. Sabemos que su gráfica pasa por el origen de coordenadas, que no está definida para $x = -2$, y que $f(1) = 3$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$, y escribe la expresión analítica final de la función.

Se inscribe un cilindro circular recto dentro de una esfera hueca de radio $R$. Expresa el volumen del cilindro $V(h)$ en función exclusivamente de su altura $h$ y del parámetro constante $R$. ¿Cuál es el dominio lógico de esta función en el contexto geométrico del problema?

En un mercado, la cantidad de un artículo que los consumidores están dispuestos a comprar depende del precio del artículo. La relación de demanda viene dada por $q = 2000 - 40p$, donde $q$ es la cantidad y $p$ es el precio unitario en dólares.

Sabiendo que los ingresos totales se calculan como el producto del precio unitario por la cantidad, expresa la función de Ingresos $I(q)$ dependiendo exclusivamente de la cantidad demandada $q$.

Dada la relación matemática $x = y^2 - 6y + 5$, queremos expresar $y$ como función de $x$.

Resuelve la ecuación para despejar $y$ en función de $x$. ¿Cuántas funciones obtienes? Determina el dominio de estas funciones para que los valores de $y$ sean números reales.

Dos vehículos parten desde una misma intersección de carreteras que forman un ángulo recto. El vehículo A viaja hacia el Norte a una velocidad constante de $60$ km/h, y el vehículo B viaja hacia el Este a $80$ km/h. Si el vehículo A sale a las 10:00 h y el vehículo B sale a las 11:00 h, expresa la distancia $d(t)$ que separa a ambos vehículos en función del tiempo $t$ (en horas) transcurrido desde las 10:00 h, asumiendo que $t \ge 1$.