Ejercicios: Contracción de la longitud, dilatación del tiempo y energía relativista

Un fenómeno dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ medido en su propio sistema de referencia. Para un observador que lo ve pasar a gran velocidad, el factor de Lorentz vale $\gamma = 2$. Sabiendo que la dilatación del tiempo es $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$, ¿cuánto dura el fenómeno para ese observador?

La contracción de la longitud es $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nave mide $L_0 = 100\ \text{m}$ en reposo y viaja con $\gamma = 2$. ¿Qué longitud mide un observador en la Tierra?

La energía asociada a una masa en reposo es $E = m \times c^2$, con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$. Calcula la energía correspondiente a $1\ \text{kg}$ de masa y exprésala en notación científica.

Una varilla tiene una longitud propia de $2\ \text{m}$ y se mueve respecto al laboratorio con $\gamma = 1.25$. Usando $L = \frac{L_0}{\gamma}$, calcula su longitud medida desde el laboratorio.

Un muón tiene una vida media en reposo de $2.2\ \mu\text{s}$. Un haz de muones viaja por un anillo de almacenamiento con $\gamma = 10$. Aplicando $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$, ¿cuál es la vida media de los muones medida desde el laboratorio?

Calcula la energía de la masa en reposo de un electrón, $m = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$. Expresa el resultado en notación científica con dos cifras significativas.

La contracción de la longitud solo afecta a la dimensión paralela al movimiento. Una nave de $50\ \text{m}$ de largo propio y $20\ \text{m}$ de alto viaja horizontalmente con $\gamma = 1.25$. La figura muestra sus dimensiones propias.

1. a) ¿Qué longitud mide desde la Tierra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) ¿Qué altura mide desde la Tierra? Justifícalo.

Un reloj viaja en una nave con $\gamma = 1.5$. Cuando para el viajero han pasado $6$ años, ¿cuántos años han transcurrido en la Tierra? Aplica $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$ e indica cuál de los dos tiempos es el tiempo propio del viaje.

Un astronauta viaja en una nave con $\gamma = 1.25$. Desde la Tierra se mide que el viaje dura $8$ años.

1. a) Usando $\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$, ¿cuántos años envejece el astronauta?
2. b) Si partió con $30$ años, ¿qué edad tiene al regresar y qué edad tiene su hermano gemelo, que se quedó en la Tierra?

Un muón se crea en la alta atmósfera viajando a $v = 0.998c$ con $\gamma = 15$; su vida media propia es $2.2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula su vida media medida desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distancia media que recorre según un observador terrestre.
3. c) Si el muón se hubiera creado a $30\ \text{km}$ de altura, ¿llegaría de media a la superficie? Justifica con el resultado anterior.

Una nave de longitud propia $L_0 = 120\ \text{m}$ viaja con $\gamma = 1.5$.

1. a) ¿Qué longitud mide un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viaje dura $10$ años para la Tierra, ¿cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$)?
3. c) Razona cuál de los dos observadores mide el tiempo propio del viaje y por qué.

Un kilovatio-hora, la unidad de energía de las facturas eléctricas, equivale a $3.6 \times 10^{6}\ \text{J}$.

1. a) Usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula a qué masa equivale $1\ \text{kW} \times \text{h}$ de energía.
2. b) Compara esa masa con la de un grano de arena ($10^{-5}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es el grano de arena? Comenta el resultado.

El Sol radia una potencia de $3.9 \times 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo parte de su masa en energía.

1. a) Calcula la energía que emite cada segundo.
2. b) Usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la masa que el Sol convierte en energía cada segundo.
3. c) Expresa el resultado en toneladas ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

Un pión tiene una vida propia de $2.6 \times 10^{-8}\ \text{s}$. En un acelerador lineal viaja a $v = 0.98c$ con $\gamma = 5$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) ¿Cuál es su vida media medida en el laboratorio ($\Delta t = \gamma \times \Delta t_0$)?
2. b) ¿Qué distancia media recorre en el acelerador antes de desintegrarse?
3. c) Explica por qué sin la dilatación del tiempo los piones apenas recorrerían unos $8\ \text{m}$ y qué consecuencia tendría eso para su detección.

Una bombilla de $100\ \text{W}$ permanece encendida durante $10$ años, es decir, $3.2 \times 10^{8}\ \text{s}$.

1. a) Calcula la energía eléctrica consumida.
2. b) Usando $E = m \times c^2$ con $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la masa equivalente a esa energía.
3. c) Compara esa masa con la de una bacteria ($10^{-15}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es?

El Sol tiene una masa de $2 \times 10^{30}\ \text{kg}$ y radia una potencia de $3.9 \times 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo masa en energía ($E = m \times c^2$; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la masa que el Sol pierde cada segundo.
2. b) Calcula la masa perdida en $10^{10}$ años ($3.2 \times 10^{17}\ \text{s}$), del orden de su vida total.
3. c) ¿Qué fracción de la masa solar representa? Exprésala en porcentaje.
4. d) Concluye si la radiación cambia apreciablemente la masa del Sol a lo largo de su vida y comenta por qué su gravedad apenas se ve afectada.

En el Sol, cada reacción de la cadena protón-protón convierte cuatro protones en un núcleo de helio con un defecto de masa de $\Delta m = 4.7 \times 10^{-29}\ \text{kg}$ ($c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la energía liberada en cada reacción ($E = \Delta m \times c^2$).
2. b) El Sol radia $3.9 \times 10^{26}\ \text{W}$: calcula cuántas de estas reacciones ocurren cada segundo.
3. c) Si cada reacción consume cuatro protones de $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ cada uno, calcula la masa de hidrógeno que el Sol fusiona cada segundo.
4. d) Compara la masa fusionada del apartado c) con la masa convertida en energía del apartado a) y b): ¿qué porcentaje de la masa se transforma en energía?

Un kilogramo de gasolina libera al quemarse $4.6 \times 10^{7}\ \text{J}$ ($c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la energía correspondiente a la masa en reposo de $1\ \text{kg}$ según $E = m \times c^2$.
2. b) ¿A cuántos kilogramos de gasolina equivaldría esa energía?
3. c) ¿Qué fracción de su masa en reposo convierte la gasolina en energía al arder?
4. d) A la vista del resultado, explica por qué la equivalencia masa-energía pasa desapercibida en las reacciones químicas y qué tipo de procesos sí convierten una fracción apreciable de masa en energía.

En una tomografía por emisión de positrones (PET), un positrón emitido por un trazador radiactivo se aniquila con un electrón del tejido y toda su masa se convierte en energía, emitida en dos fotones gamma. La masa de cada partícula es $9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$ (dato: $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$). El esquema representa el proceso.

1. a) Calcula la masa total que se aniquila en el evento.
2. b) Calcula la energía liberada ($E = m \times c^2$).
3. c) ¿Qué energía lleva cada fotón, si los dos se reparten la energía por igual?
4. d) Explica por qué la aniquilación materia-antimateria es el proceso de conversión de masa en energía más eficiente posible y compáralo con la fusión solar, que convierte menos del $1\ \%$ de la masa.