Ejercicios: La energía en el movimiento oscilatorio

Una masa oscila horizontalmente unida a un resorte, sin fricción, entre las posiciones $x = -A$ y $x = +A$. La figura muestra el oscilador con esas posiciones marcadas.

1. a) ¿En qué posición o posiciones es máxima la energía potencial elástica?
2. b) ¿En qué posición es máxima la energía cinética?
3. c) ¿En qué posiciones la energía cinética es nula? Justifica tus respuestas con las fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ y $E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$.

Las poleas y el arco de un arco de tiro deportivo se comportan en conjunto como un resorte de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Al tensarlo, la cuerda se desplaza $x = 0.1\ \text{m}$. Calcula la energía potencial elástica almacenada, $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$.

La energía mecánica de un oscilador masa-resorte es $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, donde $A$ es la amplitud. En el laboratorio, un oscilador tiene $k = 200\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0.05\ \text{m}$. Calcula su energía mecánica.

El vibrador de un celular almacena una energía mecánica de $2\ \text{J}$ mientras oscila.

1. a) ¿Cuánto vale su energía cinética máxima? ¿En qué posición se alcanza?
2. b) ¿Cuánto vale su energía potencial elástica máxima? ¿En qué posiciones se alcanza?
3. c) ¿Qué relación hay entre esos dos valores y la energía mecánica? Justifícalo.

Un carro de $m = 0.5\ \text{kg}$ unido a un resorte pasa por la posición de equilibrio con una velocidad de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su energía cinética en ese punto.
2. b) ¿Cuánto vale en ese punto su energía potencial elástica? ¿Y su energía mecánica? Justifícalo.

Un oscilador masa-resorte tiene una energía mecánica constante $E_m$.

1. a) Describe cómo varía la energía potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ con la posición: ¿qué forma tiene su gráfica frente a $x$ entre $-A$ y $+A$?
2. b) La energía cinética en cada punto es $E_c = E_m - E_p$. Describe cómo varía $E_c$ con la posición.
3. c) ¿Qué representa el punto donde se cruzan las gráficas de $E_c$ y $E_p$? Dibuja en tu cuaderno las tres gráficas ($E_p$, $E_c$ y $E_m$) frente a la posición.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un carro de $m = 0.5\ \text{kg}$ oscila sobre una mesa sin rozamiento unido a un muelle de $k = 400\ \text{N/m}$, con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$. La figura muestra cómo se reparte la energía del oscilador en función de la posición.

1. a) Calcula la energía mecánica del oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$.
2. b) Calcula la energía potencial elástica cuando la elongación es $x = 0.06\ \text{m}$.
3. c) Calcula la energía cinética en ese mismo punto y, a partir de ella, la velocidad del carro.

Un oscilador masa-resorte oscila con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$. Se quiere encontrar la posición donde la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales.

1. a) Plantea la condición $E_c = E_p$ teniendo en cuenta que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, y demuestra que en ese punto $E_p = \frac{1}{4} \times k \times A^2$.
2. b) Despeja la elongación y calcula su valor numérico.
3. c) Comprueba que el resultado es menor que la amplitud: ¿es razonable?

La membrana de un altavoz se puede modelar como un oscilador masa-resorte de masa $m = 0.4\ \text{kg}$ y constante elástica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra con amplitud $A = 0.08\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica de la vibración.
2. b) Toda esa energía es cinética al pasar por el equilibrio: calcula la velocidad máxima de la membrana.
3. c) Comprueba que coincide con el valor que da la expresión $v_{max} = A \times \sqrt{\frac{k}{m}}$.

El resorte del lanzador de un pinball tiene una constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. La figura muestra cómo crece la energía potencial elástica con la compresión.

1. a) Calcula la energía potencial elástica almacenada cuando se comprime $0.1\ \text{m}$ y cuando se comprime $0.2\ \text{m}$.
2. b) ¿Qué energía adicional hay que aportar para pasar de una compresión a la otra?
3. c) ¿Por qué no vale decir que «el doble de compresión es el doble de energía»? Razona con la fórmula.

El tambor de una lavadora, durante el centrifugado, vibra con una energía mecánica de $1.44\ \text{J}$. Los amortiguadores que lo sujetan se comportan como un resorte de constante efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Despeja la amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$.
2. b) Calcula la amplitud de la vibración, en metros, y exprésala también en centímetros.

El martillo de un timbre eléctrico oscila con amplitud $A = 5\ \text{cm}$ impulsado por un resorte de constante $k = 800\ \text{N/m}$; su masa es $m = 0.1\ \text{kg}$.

1. a) Expresa la amplitud en metros y calcula la energía mecánica del oscilador.
2. b) Calcula la energía cinética máxima del martillo.
3. c) Calcula la velocidad máxima del martillo.

Un oscilador masa-resorte tiene $k = 100\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica y la energía potencial elástica en los puntos $x = 0$, $x = 0.05\ \text{m}$ y $x = 0.1\ \text{m}$.
2. b) Calcula la energía cinética en esos mismos tres puntos.
3. c) Con esos valores, dibuja en tu cuaderno las gráficas de $E_p(x)$, $E_c(x)$ y $E_m(x)$ entre $-A$ y $+A$ y descríbelas: forma de cada curva, puntos de corte con los ejes y punto de cruce entre $E_p$ y $E_c$.
4. d) Calcula la posición exacta donde las gráficas de $E_p$ y $E_c$ se cruzan.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un oscilador de $m = 0.2\ \text{kg}$ y $k = 50\ \text{N/m}$ oscila con amplitud $A = 0.2\ \text{m}$.

1. a) Calcula su energía mecánica.
2. b) Calcula la energía potencial, la energía cinética y la velocidad cuando la elongación es $x = 0.16\ \text{m}$.
3. c) Demuestra, usando $E_c = \frac{1}{2} \times k \times (A^2 - x^2)$, que la velocidad es la mitad de la máxima cuando $x = A \times \frac{\sqrt{3}}{2}$, y calcula esa posición.

Un oscilador de $m = 1\ \text{kg}$ y $k = 100\ \text{N/m}$ oscila primero con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$ y después con amplitud $A' = 0.2\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica en cada caso y su cociente $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcula la velocidad máxima en cada caso y su cociente $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generaliza el resultado: si la amplitud se multiplica por un factor $n$, ¿por qué factor se multiplican la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifícalo con las fórmulas.

En un oscilador armónico se mide que, cuando la elongación vale $x = \frac{A}{2}$, la energía cinética es de $6\ \text{J}$.

1. a) Demuestra que en ese punto la energía potencial elástica vale la cuarta parte de la energía mecánica, es decir, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir de la medida, calcula la energía mecánica del oscilador.
3. c) Calcula la energía cinética al pasar por el equilibrio y la energía potencial en los extremos.