Ejercicios: Interacción con cargas en movimiento

Una carga eléctrica se encuentra en reposo dentro de un campo magnético uniforme. El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\times v\times B\times\sen\alpha$.

1. a) ¿Actúa alguna fuerza magnética sobre ella? Justifícalo con la fórmula.
2. b) La carga se pone en movimiento en la dirección exacta del campo ($\alpha = 0^\circ$). ¿Cambia la respuesta? ¿Por qué?

El módulo de la fuerza de Lorentz es $F = q\times v\times B\times\sen\alpha$ y su dirección viene dada por el producto vectorial $\vv{F} = q\times(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que se determina con la regla de la mano derecha. Un protón se mueve horizontalmente hacia el este dentro de un campo magnético uniforme dirigido también horizontalmente hacia el norte. La situación, vista desde arriba, se representa en la figura.

1. a) Determina la dirección y el sentido de la fuerza sobre el protón.
2. b) ¿Cuál sería el sentido de la fuerza si la partícula fuera un electrón? Justifica la diferencia.

Un protón ($q = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 2\times10^{6}\ \text{m/s}$ en dirección perpendicular a un campo magnético $B = 0.5\ \text{T}$. Calcula el módulo de la fuerza de Lorentz sobre él, $F = q\times v\times B$.

La fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es siempre perpendicular a su velocidad.

1. a) Teniendo en cuenta que el trabajo depende de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, explica por qué la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la carga.
2. b) ¿Qué le ocurre entonces al módulo de la velocidad de la carga?
3. c) ¿Y a su energía cinética?

Un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 1\times10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 1\times10^{-3}\ \text{T}$, como se muestra en la figura.

El radio de su trayectoria circular es $r = \frac{m\times v}{q\times B}$. Calcula su valor y exprésalo en centímetros.

Una partícula cargada entra con velocidad $\vv{v}$ perpendicular a un campo magnético uniforme.

1. a) Explica por qué la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta y escribe la igualdad $q\times v\times B = \frac{m\times v^2}{r}$.
2. b) Despeja el radio $r$ y comenta de qué magnitudes depende: ¿aumenta o disminuye si la partícula va más rápida? ¿Y si el campo es más intenso?

A partir de la expresión del módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\times v\times B$ (caso perpendicular):

1. a) Despeja $B$ y deduce a qué combinación de unidades del Sistema Internacional equivale un tesla.
2. b) Usando que $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, expresa el tesla como $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\times\text{m}}$ y explica con tus palabras qué campo hace falta para que una carga de $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ sufra una fuerza de $1\ \text{N}$.

Un protón ($q = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 3\times10^{6}\ \text{m/s}$ en un campo magnético uniforme $B = 0.8\ \text{T}$, formando un ángulo $\alpha = 30^\circ$ con él. Observa el esquema:

1. a) Calcula el módulo de la fuerza de Lorentz, $F = q\times v\times B\times\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0.5$).
2. b) ¿Para qué ángulo sería máxima la fuerza? ¿Y para cuál sería nula?

Un protón ($m_p = 1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 5\times10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, en un campo magnético uniforme $B = 0.2\ \text{T}$.

1. a) Calcula el radio de su trayectoria circular, $r = \frac{m\times v}{q\times B}$, y exprésalo en centímetros.
2. b) ¿Qué ocurriría con el radio si el protón entrara con la mitad de velocidad? Razona con la fórmula.

Un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) gira en un campo magnético uniforme $B = 2\times10^{-3}\ \text{T}$, con velocidad perpendicular al campo.

1. a) Iguala la fuerza de Lorentz a la fuerza centrípeta y, usando $v = \frac{2\pi\times r}{T}$, demuestra que el período de giro es $T = \frac{2\pi\times m}{q\times B}$.
2. b) Calcula su valor.
3. c) El resultado no contiene $v$ ni $r$: explica qué significa eso físicamente.

Un conductor recto de $L = 40\ \text{cm}$, colocado perpendicularmente a un campo magnético uniforme $B = 0.1\ \text{T}$, lleva una corriente $I = 5\ \text{A}$. La fuerza magnética sobre él es $F = B\times I\times L$.

1. a) Calcula su módulo.
2. b) Representa la situación en tu cuaderno y determina, con la regla de la mano derecha, la dirección y el sentido de la fuerza respecto a la corriente y al campo.
3. c) Si el conductor formara $30^\circ$ con el campo, la fuerza sería $F = B\times I\times L\times\sen 30^\circ$; calcúlala.

Un protón ($m_p = 1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) y un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$) entran con la misma velocidad, perpendicularmente, en el mismo campo magnético uniforme.

1. a) Escribe el cociente $\frac{r_p}{r_e}$ de los radios de sus trayectorias y calcula su valor.
2. b) Teniendo en cuenta que $T = \frac{2\pi\times m}{q\times B}$, calcula también el cociente de sus períodos y comenta qué partícula da vueltas más rápido.

Un protón ($m_p = 1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) entra con $v = 2\times10^{6}\ \text{m/s}$ en un campo magnético uniforme $B = 0.1\ \text{T}$, formando un ángulo de $60^\circ$ con él, de modo que describe una trayectoria helicoidal ($\sen 60^\circ \approx 0.87$; $\cos 60^\circ = 0.5$). Observa el esquema:

1. a) Descompón la velocidad en sus componentes paralela y perpendicular al campo.
2. b) Calcula el radio de la hélice, determinado por la componente perpendicular.
3. c) Calcula el período de giro, $T = \frac{2\pi\times m}{q\times B}$, y el paso de rosca (la distancia que avanza en la dirección del campo en cada vuelta).

Una varilla horizontal de $L = 50\ \text{cm}$ y masa $m = 25\ \text{g}$ se encuentra en un campo magnético horizontal uniforme $B = 0.5\ \text{T}$, perpendicular a la varilla. Se quiere que la fuerza magnética sobre la varilla, $F = B\times I\times L$, compense exactamente su peso (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). La situación se representa en la figura.

1. a) Plantea la condición de equilibrio entre la fuerza magnética y el peso, y calcula la corriente necesaria.
2. b) Determina, con la regla de la mano derecha, qué orientación relativa deben tener la corriente y el campo para que la fuerza sea vertical hacia arriba.
3. c) Razona qué ocurriría si la corriente aumentara un $10\ \%$: ¿se movería la varilla? ¿Hacia dónde y con qué fuerza neta inicial?

Los cinturones de Van Allen atrapan partículas cargadas en el campo magnético terrestre, mucho más débil que los campos de laboratorio. Un electrón ($m_e = 9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6\times10^{-19}\ \text{C}$) se mueve a $v = 3\times10^{7}\ \text{m/s}$ en la región ecuatorial, donde $B = 3\times10^{-5}\ \text{T}$, con velocidad perpendicular al campo.

1. a) Calcula el radio de su trayectoria, $r = \frac{m\times v}{q\times B}$.
2. b) En latitudes próximas a los polos el campo es el doble, $B = 6\times10^{-5}\ \text{T}$; calcula allí el radio.
3. c) Relaciona los resultados con el hecho de que las trayectorias de las partículas atrapadas se «enrollen» más apretadamente al acercarse a los polos.

Un protón ($m_p$, $q_p = e$) y una partícula alfa ($m_\alpha = 4\times m_p$, $q_\alpha = 2\times e$) entran con la misma velocidad, perpendicularmente, en el mismo campo magnético uniforme.

1. a) Calcula el cociente $\frac{r_\alpha}{r_p}$ de los radios de sus trayectorias.
2. b) Calcula el cociente $\frac{T_\alpha}{T_p}$ de sus períodos de giro.
3. c) Repite el cociente de radios suponiendo que ambas partículas entran con la misma energía cinética (usa $v = \sqrt{\frac{2\times E_c}{m}}$ en la expresión del radio) y comenta si un espectrómetro de masas podría separarlas en cada uno de los dos casos.