Esercizi: Funzione di proporzionalità inversa

Un gruppo di amici vuole affittare un campo da padel che costa $20$ € in totale. Il prezzo che ognuno deve pagare dipende dal numero di persone che giocheranno. Osserva la seguente tabella che mette in relazione il numero di amici ($x$) e il denaro che paga ciascuno ($y$):

Calcola il prodotto delle due grandezze ($x \cdot y$) per ogni colonna e verifica che è sempre lo stesso. Come si chiama questo valore costante nelle funzioni di proporzionalità inversa?

Indica quale delle seguenti espressioni algebriche corrisponde a una funzione di proporzionalità inversa e spiega perché:

1. a) $y = 4x$
2. b) $y = \frac{4}{x}$
3. c) $y = x + 4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$

Completa la seguente tabella di valori sapendo che la funzione di proporzionalità inversa ha come costante $k = 12$. La formula della funzione è $y = \frac{12}{x}$.

Un'azienda di corrieri deve consegnare $60$ pacchi. Se assume più fattorini, ognuno dovrà portare meno pacchi. La relazione è data dalla funzione $y = \frac{60}{x}$, dove $x$ è il numero di fattorini e $y$ è il numero di pacchi per fattorino.

Se l'azienda decide di assumere $6$ fattorini, quanti pacchi porterà ciascuno?

Osserva il seguente grafico. Senza fare calcoli, identifica se rappresenta una funzione lineare (proporzionalità diretta) o una funzione di proporzionalità inversa (iperbole). Giustifica la risposta basandoti sulla forma della linea.

Trova la costante di proporzionalità inversa $k$ di una funzione sapendo che il suo grafico passa per il punto $P(3, 10)$. Una volta ottenuto $k$, scrivi l'equazione della funzione.

(Suggerimento: ricorda che in questo tipo di funzioni $k = x \cdot y$).

Vogliamo costruire rettangoli che abbiano tutti la stessa area: $24$ $cm^2$. La relazione tra la base ($x$) e l'altezza ($y$) di questi rettangoli segue una funzione di proporzionalità inversa. Nella figura puoi vedere il grafico di questa relazione e, come esempio, un rettangolo di base $6$ $cm$ e altezza $4$ $cm$.

1. a) Scrivi l'equazione che esprime l'altezza in funzione della base.
2. b) Se la base misura $8$ $cm$, quanto sarà alta?

Verifica se il punto $A(2, 9)$ appartiene alla funzione di proporzionalità inversa $y = \frac{18}{x}$. Spiega quale operazione hai eseguito per saperlo.

Un gruppo di amici vuole affittare un campo da padel per il fine settimana. Il prezzo totale della prenotazione è fisso, quindi il costo a persona dipende da quanti si iscrivono alla fine. Osserva la seguente tabella:

1. a) Verifica, motivando, se si tratta di una funzione di proporzionalità inversa.
2. b) Trova la costante di proporzionalità inversa $k$ e spiega che cosa rappresenta in questo contesto.
3. c) Scrivi l'equazione della funzione che mette in relazione le due grandezze.

Dato il seguente grafico, che rappresenta una funzione di proporzionalità inversa $y = \dfrac{k}{x}$:

1. a) A partire dal punto evidenziato $P(2, 12)$, calcola la costante $k$ della funzione.

1. b) Scrivi l'espressione algebrica della funzione.

1. c) Quale sarebbe il valore di $y$ quando $x = 6$? E il valore di $x$ quando $y = 3$?

Un monopattino elettrico deve percorrere una distanza fissa di $12$ km per andare dalla scuola al palazzetto dello sport comunale. Il tempo che impiega ($y$, in ore) dipende dalla velocità costante a cui viaggia ($x$, in km/h).

1. a) Completa la tabella di valori che mette in relazione velocità e tempo:

1. b) Scrivi l'equazione della funzione.
2. c) Se il comune limita la velocità dei monopattini a un massimo di $25$ km/h, qual è il tempo minimo (in minuti) necessario per effettuare il percorso?

Vogliamo progettare un orto rettangolare nel cortile della scuola che abbia sempre un'area fissa di $24\ \text{m}^2$.

1. a) Scrivi la funzione che esprime la lunghezza dell'altezza ($y$) in funzione della lunghezza della base ($x$).

1. b) Indica se la funzione è crescente o decrescente e giustifica la risposta basandoti sul contesto del problema.

1. c) Rappresenta graficamente la funzione per valori della base compresi tra $1$ e $12$ metri. Puoi aiutarti con una tabella di valori.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica quale delle seguenti situazioni si può modellizzare con una funzione di proporzionalità inversa e, in tal caso, scrivi la sua equazione:

1. Il numero di biglietti per un concerto che possiamo comprare con $100$ $€$ in base al prezzo di ogni biglietto.

2. La distanza percorsa da un'auto che viaggia a $90$ km/h costanti in base al tempo trascorso.

3. Il numero di operai necessari per costruire un muro in base ai giorni che impiegano a finirlo (lavorando allo stesso ritmo).

4. Il prezzo di un sacchetto di arance che costano $1,50$ $€$ al chilo.

Data la funzione di proporzionalità inversa $y = \frac{18}{x}$:

1. a) Indica qual è il suo dominio (tenendo conto che è una funzione matematica pura, non applicata a un contesto reale).
2. b) Calcola le immagini per $x = -3$, $x = 1$, $x = 2$ e $x = 9$.
3. c) Determina i punti del grafico in cui l'ordinata è uguale all'ascissa ($y = x$).

Un'autocisterna della capacità di $15.000$ litri viene svuotata da diverse pompe di estrazione identiche. Se si usano $2$ pompe, la cisterna si svuota in $6$ ore.

1. a) Quanto tempo ci vorrebbe se si usassero $4$ pompe?
2. b) E se volessimo svuotarla in sole $2$ ore, di quante pompe avremmo bisogno?
3. c) Individua la variabile indipendente e quella dipendente e scrivi la formula della funzione che le mette in relazione.

Un gruppo di studenti di seconda media ha vinto un premio condiviso di $600$ $€$ in un concorso di robotica. Il premio viene diviso in parti uguali tra tutti i membri della squadra.

1. a) Costruisci una tabella che metta in relazione il numero di studenti che formano la squadra ($x$) e la somma di denaro che riceve ciascuno ($y$).

1. b) Rappresenta graficamente la funzione. È una funzione continua o discontinua? Giustifica la risposta.

1. c) Se ogni studente vuole ricevere almeno $75$ $€$, qual è il numero massimo di alunni che possono formare la squadra?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un server di videogiochi ha una capacità di trasferimento dati fissa per scaricare un aggiornamento di $1,2$ GB ($1228,8$ MB). La velocità di download $v$ (in MB/s) e il tempo necessario $t$ (in secondi) sono grandezze inversamente proporzionali.

1. a) Scrivi la funzione che esprime il tempo $t$ in funzione della velocità $v$.
2. b) Se un utente ha una connessione limitata a $4$ MB/s, quanti minuti impiegherà a scaricare l'aggiornamento?
3. c) Se vogliamo che il download non duri più di $2$ minuti, qual è la velocità minima che deve avere la nostra connessione?

In una riserva di animali è stata acquistata una partita di mangime che dura esattamente $24$ giorni per nutrire i $80$ lupi del recinto. A causa di un salvataggio, il numero di lupi sta per cambiare.

1. a) Determina la costante di proporzionalità inversa $k$ e spiega che cosa rappresenta in questo contesto.
2. b) Esprimi la funzione che mette in relazione il numero di giorni $d$ di durata del mangime con il numero di lupi $n$.
3. c) Se dopo il salvataggio il mangime dura solo $15$ giorni, quanti nuovi lupi sono arrivati nella riserva?

Osserva il seguente grafico che rappresenta una funzione di proporzionalità inversa del tipo $y = \frac{k}{x}$. A partire dalle informazioni visive:

1. a) Trova il valore della costante $k$ sapendo che la curva passa esattamente per il punto evidenziato in arancione.
2. b) Calcola il valore dell'ordinata $y$ quando l'ascissa è $x = -2,5$.
3. c) Il punto $P(12, -0,5)$ appartiene alla funzione? Giustifica la tua risposta.

Un gruppo di amici vuole affittare una casa in campagna per il ponte di dicembre che costa $720$ € in totale. Il prezzo a persona dipende dal numero di amici che alla fine partecipano al viaggio.

1. a) Scrivi l'equazione della funzione.
2. b) Se inizialmente erano $6$ amici ma alla fine si aggiungono $3$ persone, quanto denaro risparmia ciascuno dei $6$ amici iniziali?
3. c) Se il budget massimo di ciascun amico è di $50$ €, qual è il numero minimo di persone necessario per poter affittare la casa?

Considera un rettangolo la cui area è costante e uguale a $48$ cm². La base del rettangolo è $x$ e l'altezza è $y$.

1. a) Esprimi l'altezza in funzione della base. Che tipo di funzione è?

1. b) Se aumentiamo la base di $4$ cm, la nuova altezza è di $4$ cm. Qual era la lunghezza della base originale?

1. c) Rappresenta graficamente la situazione per valori della base compresi tra $2$ e $16$ cm.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due grandezze $A$ e $B$ sono inversamente proporzionali. Si sa che quando $A$ aumenta di $5$ unità, il valore di $B$ si riduce alla metà del valore originale (che era $B = 20$).

1. a) Calcola il valore iniziale della grandezza $A$.
2. b) Determina la costante di proporzionalità inversa $k$.
3. c) Scrivi l'espressione analitica della funzione che mette in relazione le due grandezze.

Un ingranaggio è formato da due ruote dentate, $R_1$ e $R_2$. Il numero di denti e la velocità di rotazione (in giri/min) sono grandezze inversamente proporzionali. La ruota $R_1$ ha $40$ denti e gira a $120$ giri/min.

1. a) Se la ruota $R_2$ gira a $300$ giri/min, quanti denti ha?
2. b) Se vogliamo che la seconda ruota giri il più lentamente possibile, ma deve avere al massimo $80$ denti, qual è la sua velocità di rotazione minima?
3. c) Trova la funzione che dà la velocità di rotazione $y$ in funzione del numero di denti $x$.

Data la seguente tabella di valori di una funzione di proporzionalità inversa, scopri i valori nascosti indicati con lettere e rispondi alle domande:

1. a) Calcola i valori di $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. b) Indica se la funzione è crescente o decrescente nel primo quadrante.
3. c) Per quale valore di $x$ si ottiene un'immagine pari a $y = 0,01$?