Esercizi: Espressione algebrica di una funzione

Associa ciascuna delle seguenti frasi alla sua espressione algebrica corrispondente, dove $x$ rappresenta un numero qualsiasi e $y$ il risultato della funzione:

• a) Il risultato è il triplo di un numero.

• b) Il risultato è il doppio di un numero più cinque unità.

• c) Il risultato è la metà di un numero.

• d) Il risultato è un numero sottratto da dieci.

• $y = \frac{x}{2}$

• $y = 10 - x$

• $y = 3x$

• $y = 2x + 5$

In un videogioco per cellulari, ogni "forziere di diamanti" costa $1,50$ €. Se vogliamo comprare $x$ forzieri, la funzione che ci dà il prezzo totale da pagare è $y = 1,5x$. La figura mostra il suo grafico.

Calcola quanto denaro spenderemmo se decidessimo di comprare:

1. a) $2$ forzieri.

1. b) $5$ forzieri.

1. c) $10$ forzieri.

Trova il valore della variabile dipendente $y$ per i valori della variabile indipendente $x$ indicati nella seguente funzione:

$y = 4x - 3$

• a) Per $x = 0$

• b) Per $x = 1$

• c) Per $x = 2$

• d) Per $x = 5$

Vogliamo circondare con una corda elastica alcuni cartelloni quadrati per una fiera scolastica. La relazione tra la lunghezza del lato del quadrato ($x$) e il perimetro totale di corda necessario ($y$) è data da una funzione.

• a) Scrivi l'espressione algebrica di questa funzione.

• b) Se il lato del quadrato misura $12$ cm, quanta corda ci servirà?

Copia e completa sul quaderno la seguente tabella di valori per la funzione la cui espressione algebrica è $y = -2x + 1$:

Un tecnico riparatore di computer fa pagare $20$ € per lo spostamento a domicilio e $15$ € per ogni ora di lavoro.

• a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo totale della fattura ($y$) con il numero di ore lavorate ($x$).

• b) Quanto costerà una riparazione che è durata $3$ ore?

Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione il numero di biglietti per un concerto e il prezzo totale. Trova l'espressione algebrica che rappresenta questa funzione:

Data la funzione $f(x) = x^2 + 1$:

• a) Calcola l'immagine di $x = 3$. Cioè, calcola $f(3)$.

• b) Calcola l'immagine di $x = -2$. Cioè, calcola $f(-2)$.

• c) Calcola l'immagine di $x = 0$. Cioè, calcola $f(0)$.

Una piattaforma di musica in streaming offre un piano mensile che costa $12\,€$ di quota fissa e, inoltre, fa pagare $0,50\,€$ per ogni brano che l'utente decide di scaricare per ascoltarlo offline. Nella figura puoi vedere il grafico di questa situazione.

a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il numero di brani scaricati, $x$, con il costo totale mensile, $y$.

b) Indica che tipo di funzione è (lineare, affine o di proporzionalità inversa).

c) Se in un mese un utente paga in totale $24,50\,€$, quanti brani ha scaricato?

Trova l'espressione algebrica della funzione affine il cui grafico passa per i punti $A(1, 4)$ e $B(3, 10)$. Spiega passo passo come calcoli il coefficiente angolare ($m$) e l'ordinata all'origine ($n$).

In un laboratorio di fisica si osserva come varia la temperatura di un liquido mentre viene riscaldato. All'inizio dell'esperimento il liquido è a $15^\circ C$ e la sua temperatura aumenta a un ritmo costante di $3^\circ C$ per ogni minuto che passa.

a) Determina l'espressione algebrica che permette di calcolare la temperatura $T$ in funzione del tempo $t$ (in minuti).

b) Quale temperatura raggiungerà il liquido dopo un quarto d'ora di riscaldamento?

c) Quanto tempo deve passare perché il liquido raggiunga i $60^\circ C$?

Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione due grandezze, $x$ e $y$:

a) Verifica se si tratta di una funzione di proporzionalità inversa.

b) Scrivi la sua espressione algebrica.

c) Calcola il valore dell'immagine per $x = 10$.

Un giardiniere fa pagare una somma fissa di $20€$ per lo spostamento e $15€$ per ogni ora di lavoro. Il suo concorrente non fa pagare lo spostamento, ma la sua tariffa è di $22€$ all'ora.

a) Scrivi l'espressione algebrica del costo del servizio di ciascun giardiniere ($y_1$ e $y_2$) in funzione delle ore lavorate ($x$).

b) Se abbiamo bisogno di un lavoro che durerà esattamente $4$ ore, quale dei due giardinieri ci costa meno?

c) Esiste un numero di ore di lavoro per il quale entrambi fanno pagare lo stesso importo?

Data la funzione la cui espressione algebrica è $f(x) = \frac{2x - 6}{3}$:

a) Calcola i valori di $f(0)$, $f(3)$ e $f(-3)$.

b) Determina il punto di intersezione della funzione con l'asse delle ascisse (asse $X$).

c) Rappresenta i punti ottenuti in un sistema di coordinate come quello della figura (ogni tacca è un'unità) e uniscili per disegnare la funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole costruire una cornice rettangolare per un poster utilizzando un listello di legno della lunghezza totale di $120 cm$. Se chiamiamo $x$ la lunghezza della base del rettangolo:

a) Scrivi l'espressione algebrica che mette in relazione l'altezza del rettangolo ($y$) con la sua base ($x$). Suggerimento: ricorda che il perimetro è la somma di tutti i lati.

b) Scrivi l'espressione algebrica che permette di calcolare l'area ($A$) del rettangolo in funzione della sua base ($x$).

c) Se la base misura $25 cm$, quanto sarà l'area della cornice?

Individua quale delle seguenti espressioni corrisponde a ciascuno dei grafici descritti di seguito:

1. $y = 3x$

2. $y = -2x + 4$

3. $y = 5$

4. $y = \frac{4}{x}$

a) Una retta orizzontale che passa per il punto $(0, 5)$.

b) Una funzione di proporzionalità diretta che passa per il punto $(2, 6)$.

c) Una funzione affine decrescente che interseca l'asse $Y$ nel punto $(0, 4)$.

d) Un'iperbole che passa per il punto $(1, 4)$.

Una piattaforma di streaming di videogiochi offre due piani mensili per i creatori di contenuti. Con il Piano Pro, il creatore riceve una somma fissa di $15\ €$ al mese e, inoltre, $0,20\ €$ per ogni nuovo iscritto. Con il Piano Partner non c'è una somma fissa; al contrario, la piattaforma trattiene $5\ €$ al mese per spese di gestione e il creatore riceve $0,35\ €$ per ogni nuovo iscritto.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che rappresenta i guadagni netti mensili per ciascun piano, dove $x$ è il numero di iscritti e $y$ il denaro totale ricevuto (in euro).

1. b) Se uno streamer stima di ottenere tra $60$ e $70$ iscritti questo mese, quale piano è per lui più conveniente? Giustifica la tua risposta calcolando i valori di $y$ di ciascun piano per $x=60$ e per $x=70$ e confrontandoli.

Si vuole progettare un cartellone rettangolare la cui area totale sia sempre $36\ m^2$.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che permette di calcolare l'altezza ($y$) del cartellone in funzione della lunghezza della sua base ($x$).
2. b) Se per normativa il cartellone non può avere una base minore di $2\ metros$ né maggiore di $12\ metros$, qual è il dominio di questa funzione in questo contesto reale?
3. c) Che tipo di funzione è? Spiega che cosa succede all'altezza man mano che la base diventa estremamente grande.

Un drone di sorveglianza decolla dal terrazzo di un edificio che si trova a una certa altezza sul livello del mare. Dopo $4\ segundos$ di volo verticale costante, il drone si trova a $52\ metros$ di altezza. Dopo $10\ segundos$ di volo, raggiunge i $88\ metros$.

1. a) Determina l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il tempo di volo ($x$, in secondi) con l'altezza del drone ($y$, in metri).
2. b) A che altezza si trova il terrazzo dell'edificio?
3. c) Se il drone ha una quota massima di volo di $150\ metros$, utilizza l'espressione algebrica per calcolare per quanti secondi può salire prima di raggiungere quel limite.

Un'azienda di corrieri fa pagare per la spedizione dei pacchi una somma fissa per il ritiro più un costo per ogni chilometro di distanza. Sappiamo che una spedizione verso una città situata a $120\ km$ costa $15,40\ €$, e una spedizione verso un'altra città a $200\ km$ costa $21,80\ €$.

1. a) Trova il coefficiente angolare della funzione e indica che cosa significa in questo contesto.
2. b) Trova l'espressione algebrica della funzione $y = f(x)$.
3. c) Quanto farebbe pagare l'azienda per un pacco consegnato nello stesso punto di ritiro ($0\ km$)? Come si chiama questo valore nella funzione?

In un laboratorio di fisica si sta studiando come varia la pressione di un gas al cambiare del volume del recipiente che lo contiene, mantenendo costante la temperatura (legge di Boyle). Si è osservato che quando il volume è $2\ litros$, la pressione è $6\ atmósferas$.

1. a) Sapendo che la relazione è di proporzionalità inversa, scrivi l'espressione algebrica che mette in relazione la pressione ($y$) con il volume ($x$).
2. b) Calcola, mediante l'espressione algebrica, quale volume dovrebbe avere il recipiente perché la pressione si riduca a $1,5\ atmósferas$.
3. c) Rappresenta graficamente la funzione per valori del volume compresi tra $1$ e $12\ litros$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due serbatoi d'acqua identici, della capacità di $500$ litri, si trovano in situazioni diverse. Il serbatoio A è pieno e si svuota a un ritmo costante di $8$ litri al minuto. Il serbatoio B contiene $120$ litri e si sta riempiendo a un ritmo costante di $12$ litri al minuto.

Indica con $t$ il tempo in minuti, contato dal momento in cui iniziano a svuotarsi e a riempirsi, e con $y$ il volume d'acqua in litri.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione volume-tempo di ciascun serbatoio ($y_A$ e $y_B$).

1. b) Utilizzando le espressioni precedenti, calcola l'istante esatto in cui i due serbatoi conterranno la stessa quantità d'acqua.

1. c) Quale volume d'acqua ci sarà in ciascun serbatoio in quell'istante?

Trova l'espressione algebrica di una funzione affine il cui grafico è parallelo alla retta che passa per i punti $P(1, 5)$ e $Q(3, 1)$, e che inoltre interseca l'asse delle ordinate ($Y$) nello stesso punto della funzione $g(x) = 4x - 7$.

1. a) Calcola prima il coefficiente angolare della retta che passa per $P$ e $Q$.
2. b) Individua l'ordinata all'origine di $g(x)$.
3. c) Scrivi l'espressione finale della funzione richiesta.

Un gruppo di studenti di seconda media vuole noleggiare un autobus per una gita di fine anno che costa $840\ €$.

1. a) Scrivi l'espressione algebrica che mette in relazione il prezzo che deve pagare ogni alunno ($y$) in funzione del numero di alunni che si iscrivono alla fine ($x$).
2. b) Inizialmente si iscrivono $30$ alunni, ma una settimana prima se ne ritirano $5$. Utilizza l'espressione algebrica per calcolare di quanto aumenta il prezzo per gli alunni che vanno effettivamente alla gita.
3. c) Se gli alunni decidono di non poter pagare più di $35\ €$ ciascuno, qual è il numero minimo di persone che devono partecipare perché il viaggio si faccia? Spiega come lo hai ottenuto a partire dall'espressione algebrica.