Esercizi: Circonferenza e cerchio

Nel seguente disegno di una circonferenza di centro $O$, individua gli elementi indicati con lettere. Indica quale corrisponde al raggio, quale al diametro e quale alla corda.

Una giocatrice di pallacanestro si sta allenando sul tiro libero. Il cerchio dipinto nell'area ha un diametro di $3,6$ metri. Qual è la misura del raggio di quel cerchio?

Alex vuole mettere una striscia di luci LED intorno al bordo del suo specchio circolare. Se il raggio dello specchio è di $40$ cm, quanti centimetri di striscia LED dovrà comprare come minimo? (Utilizza $\pi \approx 3,14$).

Una pizzeria offre una pizza individuale di $20$ cm di diametro. Calcola la superficie (area) della pizza per sapere quanto spazio occuperà nella scatola. (Utilizza $\pi \approx 3,14$).

Osserva la posizione delle rette $r$, $s$ e $t$ rispetto alla circonferenza di centro $C$. Classifica ciascuna retta come tangente, secante o esterna.

Individua il nome delle seguenti regioni colorate all'interno o intorno al cerchio:

• A: Regione compresa tra due raggi.

• B: Regione compresa tra due circonferenze concentriche (come una ciambella).

• C: La metà di un cerchio.

Se una moneta da $2$ euro ha un raggio di $12,875$ mm, qual è il suo diametro? Esprimi il risultato in millimetri.

Data una circonferenza con centro nel punto $C$ e raggio di $5$ cm, indica se i seguenti punti sono interni, esterni o si trovano sulla circonferenza:

• Punto $P$: dista $3$ cm da $C$.

• Punto $Q$: dista $5$ cm da $C$.

• Punto $R$: dista $7$ cm da $C$.

Per una festa a scuola, Marco vuole calcolare la superficie di una tovaglia circolare che copra completamente un tavolo rotondo il cui diametro misura $120\text{ cm}$. Marco fa il seguente calcolo sul quaderno:

1. a) Individua quale errore concettuale ha commesso Marco applicando la formula dell'area.
2. b) Spiega la relazione che esiste tra diametro e raggio, e ragiona sul perché il risultato ottenuto da Marco è esattamente quattro volte maggiore di quello che dovrebbe essere.
3. c) Correggi il calcolo e trova l'area reale che deve avere la tovaglia (in $\text{cm}^2$, usando $\pi \approx 3,14$).

Il servizio parchi e giardini di un comune dispone di una recinzione flessibile lunga esattamente $31,4\text{ metri}$ per delimitare completamente un'aiuola circolare con dei fiori, senza che avanzi né manchi materiale.

1. a) Imposta la relazione matematica corrispondente e calcola quanto devono misurare il raggio e il diametro dell'aiuola (utilizza $\pi \approx 3,14$).
2. b) Se al centro esatto dell'aiuola si colloca un irrigatore, a quale distanza massima dall'irrigatore può nascere un fiore all'interno del recinto?
3. c) Ragiona geometricamente se sarebbe possibile tracciare all'interno dell'aiuola una corda che unisca due punti del bordo e che misuri $11\text{ metri}$.

Il logo di un nuovo marchio di abbigliamento sportivo consiste in una circonferenza di raggio $r = 5\text{ cm}$ attraversata da una retta. Se la retta passa a una distanza di $3\text{ cm}$ dal centro della circonferenza, disegna lo schema e rispondi:

1. a) Qual è la posizione reciproca della retta rispetto alla circonferenza?
2. b) Se tracciamo un'altra retta che passa esattamente a $5\text{ cm}$ dal centro, come si chiamerebbe quella retta?
3. c) Come si chiama il segmento della prima retta che resta all'interno della circonferenza?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una pizzeria propone due offerte per le sue pizze artigianali:

• Offerta A: Una pizza familiare di $40\text{ cm}$ di diametro.

• Offerta B: Due pizze medie di $20\text{ cm}$ di diametro ciascuna.

Se le due offerte costano lo stesso, calcola l'area della superficie di pizza in ciascuna opzione (usando $\pi \approx 3,14$) e ragiona su quale delle due offerte sia più conveniente per il cliente.

Un irrigatore da giardino ruota descrivendo un settore circolare di $120^\circ$. Se il getto d'acqua raggiunge una distanza di $6\text{ metri}$, calcola:

1. a) La lunghezza dell'arco di prato che viene bagnato sul bordo esterno.
2. b) L'area totale di prato irrigata dall'irrigatore.

(Utilizza $\pi \approx 3,14$ e arrotonda a due cifre decimali).

Nel progetto di una finestra circolare (rosone) è stato inscritto un quadrato di diagonale $8\text{ decimetri}$, come mostrato in figura. Calcola l'area della superficie del vetro (cerchio) che rimane fuori dal quadrato (le zone colorate nel disegno).

La ruota di una mountain bike ha un raggio totale di $35\text{ cm}$. Se il ciclista percorre una distanza di $1,1\text{ chilometri}$ in linea retta:

1. a) Quanti metri percorre la bicicletta in un solo giro di ruota?
2. b) Quanti giri completi avrà compiuto la ruota al termine del percorso?

(Dato: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$; considera $\pi \approx 3,14$).

Osserva la seguente figura che rappresenta uno "spinner" circolare con un cuscinetto centrale e un anello esterno. Il raggio del cerchio interno è $2\text{ cm}$ e il raggio del cerchio esterno è $5\text{ cm}$. Calcola l'area della corona circolare (la zona azzurrina) compresa tra i due.

In una piazza circolare è stata installata una struttura con dei cavi. Uno dei cavi forma un angolo alla circonferenza di $35^\circ$ rispetto a un arco della piazza.

1. a) Calcola quanto misura l'angolo al centro che insiste su quello stesso arco.
2. b) Se l'angolo al centro fosse di $110^\circ$, quanto misurerebbe un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco?

Un segnale stradale di "Divieto di accesso" ha la forma di un cerchio con diametro $60\text{ cm}$. Al suo interno c'è una fascia rettangolare bianca di $50\text{ cm}$ di lunghezza e $10\text{ cm}$ di larghezza. Calcola l'area della parte rossa del segnale (la zona del cerchio non occupata dal rettangolo bianco).

In una piazza verrà costruita una fontana circolare di $8\text{ metri}$ di diametro. Si collocherà un bordo di pietra lungo tutto il suo contorno e si impermeabilizzerà il fondo (l'intera superficie circolare).

1. a) Prima di operare con i decimali, fai una stima mentale della lunghezza del bordo approssimando $\pi \approx 3$. Ragiona se la misura reale sarà maggiore o minore della tua stima.
2. b) Immagina un quadrato circoscritto alla fontana (i cui quattro lati toccano la circonferenza dall'esterno). Quanto misura il lato di quel quadrato? Qual è il suo perimetro? Giustifica perché il perimetro di quel quadrato funge da limite superiore per la lunghezza della circonferenza.
3. c) Calcola con precisione la lunghezza del bordo e l'area del fondo della fontana usando $\pi \approx 3,14$, e verifica se entrambi i valori sono coerenti con le deduzioni fatte nei punti precedenti.

Nel servizio pubblico di biciclette di una città italiana, le ruote dei veicoli hanno un raggio di $30\text{ cm}$. Un utente compie un tragitto in linea retta lungo la pista ciclabile da una stazione a un'altra, percorrendo una distanza totale di $1\,130,4\text{ metri}$.

1. a) Modellizza la situazione calcolando quanti metri avanza la bicicletta ogni volta che la ruota compie un giro completo sull'asfalto (utilizza $\pi \approx 3,14$).
2. b) Determina quanti giri completi avrà compiuto ciascuna ruota al termine dell'intero tragitto.
3. c) Durante una revisione, un operaio annota di aver cambiato un raggio della ruota di $30\text{ cm}$ e un rinforzo metallico rettilineo (corda) che unisce due punti del bordo esterno del cerchione e misura $65\text{ cm}$. Basandoti sulla definizione di corda e diametro, spiega perché la misura di quel rinforzo è fisicamente impossibile in quella ruota.

Nel progetto di un nuovo logo per un'azienda tecnologica è stato disegnato un quadrato di lato $L = 10 \text{ cm}$. In ciascuno dei suoi vertici è stato tracciato un arco di circonferenza con raggio uguale alla metà del lato del quadrato ($5 \text{ cm}$), in modo che i quattro archi si tocchino nei punti medi dei lati. Calcola l'area della regione colorata che rimane al centro del quadrato (la zona che non appartiene a nessuno dei quattro settori circolari).

Un ingegnere sta progettando un pezzo meccanico che consiste in un disco metallico di raggio $R = 12 \text{ cm}$. Per alleggerire il pezzo, deve eseguire un taglio rettilineo (una corda) che si trovi a una distanza esatta di $7,2 \text{ cm}$ dal centro del disco. Utilizzando il teorema di Pitagora, determina quale sarà la lunghezza totale di tale taglio (la corda) per poter programmare la macchina da taglio.

In un parco divertimenti, una ruota panoramica ha un raggio di $15 \text{ metri}$. Un sensore rileva che una delle cabine ha percorso un arco di circonferenza la cui lunghezza è $23,55 \text{ metri}$. Di quale angolo, espresso in gradi sessagesimali, è ruotata la ruota da quando la cabina si trovava nel punto più basso? Considera il valore $\pi \approx 3,14$.

Un braccialetto circolare d'argento ha un diametro esterno di $8 \text{ cm}$ e interno di $7 \text{ cm}$. Se vogliamo dorare solo la parte superiore del braccialetto (un settore della corona circolare che abbraccia un angolo di $120^\circ$), qual è l'area della superficie che sarà dorata? Arrotonda il risultato a due cifre decimali.

Osserva un orologio da parete alle $10:00$ del mattino. Le lancette (dei minuti e delle ore) formano un angolo al centro. Se tracciamo una corda che unisca le estremità di entrambe le lancette, supponendo che entrambe misurino $10 \text{ cm}$, qual è la misura di tale corda? (Suggerimento: analizza il tipo di triangolo che si forma tra il centro dell'orologio e i numeri 10 e 12).

Al centro di una rotonda circolare di raggio $R = 10\text{ metri}$ c'è uno stagno anch'esso circolare di raggio $r = 6\text{ metri}$. La fascia restante tra lo stagno e il bordo della rotonda (una corona circolare) verrà coperta con erba artificiale. Per calcolare la superficie di erba, tre componenti del gruppo tecnico propongono metodi diversi:

• Metodo di Clara: Calcola l'area di tutta la rotonda ($A_1 = 3,14 \cdot 10^2$), l'area dello stagno ($A_2 = 3,14 \cdot 6^2$) e sottrae i due risultati: $A_1 - A_2$.

• Metodo di Bruno: Sottrae direttamente i raggi ($10 - 6 = 4\text{ metri}$) e calcola l'area di un cerchio con il raggio risultante: $A = 3,14 \cdot 4^2$.

• Metodo di Sara: Raccoglie a fattor comune $\pi$ applicando la proprietà distributiva: $A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = 3,14 \cdot (100 - 36)$.

1. a) Spiega quale dei metodi è errato e dimostra geometricamente perché sottrarre i raggi prima di calcolare l'area porta a un risultato sbagliato.
2. b) Confronta i due metodi validi e giustifica quale è più consigliabile per commettere meno errori di arrotondamento e risparmiare passaggi di calcolo.
3. c) Se lo stagno venisse ampliato fino a un raggio di $8\text{ metri}$ mantenendo il raggio esterno della rotonda a $10\text{ metri}$, applica il metodo che hai scelto come ottimale per calcolare la nuova area di erba necessaria.

Un'azienda pubblica dell'acqua deve sostituire due tubature di scarico identiche, ciascuna di sezione circolare con diametro $20\text{ cm}$, con una unica tubatura circolare nuova che abbia esattamente la stessa capacità di smaltimento (cioè la cui area della sezione coincida con la somma delle aree delle due vecchie tubature insieme).

1. a) Un tecnico afferma: «Poiché sostituiamo due tubature da $20\text{ cm}$, la nuova deve avere un diametro di $40\text{ cm}$ per smaltire la stessa quantità». Dimostra, calcolando le aree delle sezioni, se l'affermazione del tecnico è corretta o errata.
2. b) Ragiona in modo algebrico a partire dalla formula $A = \pi \cdot r^2$ sul perché, raddoppiando il diametro di un qualsiasi cerchio, la sua area si moltiplica per $4$ e non per $2$.
3. c) Imposta l'equazione che mette in relazione l'area della tubatura nuova con la somma delle due vecchie e calcola quanto deve misurare, approssimativamente, il diametro reale della tubatura sostitutiva (arrotonda il risultato a una cifra decimale).