Esercizi: Misura del volume

Converti nelle unità indicate:

a) $3\ \text{m}^3$ in decimetri cubi.

b) $4\,500\ \text{dm}^3$ in metri cubi.

c) $0,75\ \text{dm}^3$ in centimetri cubi.

Esprimi in decimetri cubi: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.

Esprimi in forma complessa: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.

Completa sul tuo quaderno:

a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$

b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litri

c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ litri

In quale unità esprimeresti il volume di ciascuno di questi oggetti? Scegli tra $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ e $\text{hm}^3$, e giustifica la tua scelta:

a) Una zolletta di zucchero.

b) Uno zaino.

c) L'acqua di un bacino artificiale.

d) Una piscina comunale.

Tra i tre valori proposti per ciascun volume, solo uno è ragionevole. Scegli quello giusto e giustifica la risposta:

a) Una lattina di bibita: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ o $3,3\ \text{dm}^3$.

b) Una lavatrice: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ o $2,5\ \text{m}^3$.

c) Un bicchiere d'acqua: $25$ ml, $250$ ml o $2,5$ l.

Osserva la scala delle unità di volume nella figura.

a) Per quale numero si moltiplica scendendo di un gradino? E per quale si divide salendo?

b) Usando la scala, esprimi $2,4\ \text{m}^3$ in decimetri cubi e in centimetri cubi.

Un serbatoio d'acqua ha un volume di $2,5\ \text{m}^3$. Quanti litri d'acqua contiene? Quante taniche da $5$ litri si potrebbero riempire?

Nerea deve convertire $3,4\text{ m}^3$ in litri per sapere quanta acqua serve a una piscina gonfiabile per bambini. Sul quaderno ha scritto il seguente procedimento:

«Poiché $1\text{ dm}^3$ equivale a $1\text{ litro}$, passo prima ai decimetri cubi: $3,4\text{ m}^3 = 340\text{ dm}^3$, perché dai metri ai decimetri si scende di un gradino e nella tabella si aggiunge uno zero o si sposta la virgola di un posto per ogni dimensione del piano, cioè due zeri. Quindi ne entrano $340\text{ litri}$».

a) Individua l'errore commesso da Nerea nel cambio di unità di volume.

b) Aiutandoti con l'idea di un cubo di $1\text{ m}$ di spigolo formato da cubetti di $1\text{ dm}$, spiega perché scendendo di un gradino di volume si moltiplica per $1\,000$ e non per $10$ né per $100$.

c) Correggi i calcoli di Nerea e determina la capacità reale della piscina in litri.

Nel laboratorio di scienze c'è un acquario a forma di parallelepipedo rettangolo le cui misure interne sono $60\text{ cm}$ di lunghezza, $30\text{ cm}$ di larghezza e $40\text{ cm}$ di altezza.

a) Prima di fare calcoli dettagliati, fai una stima rapida: pensando che $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$, credi che per riempirlo serviranno più di $100$ bottiglie d'acqua da $1,5\text{ litri}$ o meno di $100$? Scrivi la tua previsione motivata.

b) Converti mentalmente le tre dimensioni in decimetri e calcola il volume esatto dell'acquario in decimetri cubi e la sua capacità in litri.

c) Calcola quante bottiglie da $1,5\text{ litri}$ servono esattamente per riempirlo completamente e confronta questo valore con la tua stima iniziale. La tua intuizione era corretta?

Esprimi in metri cubi e calcola: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Esprimi il risultato anche in ettolitri.

Durante un temporale sono caduti $45$ litri per metro quadrato.

a) A quanti millimetri di altezza d'acqua equivale questa pioggia?

b) Quanti litri sono caduti su un giardino di $60\ \text{m}^2$?

c) Quanti metri cubi sono?

Un serbatoio contiene $1,2\ \text{m}^3$ di acqua. Quante bottiglie da $750$ ml si possono riempire con essa?

Una piscina smontabile misura $3\ \text{m}$ di lunghezza, $2\ \text{m}$ di larghezza e $0,75\ \text{m}$ di profondità.

a) Quanti litri d'acqua entrano nella piscina?

b) Se la si riempie con un tubo che versa $15$ litri al minuto, quante ore ci vogliono per riempirla?

Un serbatoio vuoto pesa $12$ kg e, pieno di gasolio, pesa $522$ kg. Se la densità del gasolio è $0,85\ \text{kg/dm}^3$, quanti litri di gasolio contiene il serbatoio?

Per misurare il volume di un sasso, lo immergiamo in un bicchiere cilindrico con acqua, come mostrato in figura. Il diametro interno del bicchiere è $8$ cm e il livello dell'acqua sale da $5$ cm a $8$ cm.

a) Di quanto è salito il livello dell'acqua?

b) Calcola il volume del sasso in centimetri cubi (prendi $\pi \approx 3,14$).

Una vasca da bagno è piena d'acqua fino all'orlo. Marta vi entra e traboccano $35$ litri d'acqua.

a) Qual è il volume, in decimetri cubi, della parte del corpo di Marta che resta immersa?

b) Se Marta pesa $32$ kg, qual è la densità media del suo corpo in $\text{kg/dm}^3$? Confrontala con la densità dell'acqua ($1\ \text{kg/dm}^3$) e spiega perché può galleggiare.

Un blocco di sughero ha un volume di $25\ \text{dm}^3$ e una densità di $0,24\ \text{kg/dm}^3$.

a) Qual è la sua massa?

b) Galleggerà in acqua? Giustifica la risposta confrontando le densità.

c) Quale volume di sughero servirebbe per avere una massa di $30$ kg?

Una cooperativa di succhi progetta una confezione di cartone a forma di parallelepipedo rettangolo. Per rispettare la normativa commerciale, la confezione deve contenere esattamente $1\text{ litro}$ di succo e avere inoltre uno spazio libero superiore di $50\text{ cm}^3$ affinché non si versi quando viene aperta.

a) Qual è il volume interno totale della confezione espresso in centimetri cubi ($\text{cm}^3$)?

b) Se per ragioni ergonomiche la base della confezione deve essere un rettangolo di $7\text{ cm}$ di larghezza per $10\text{ cm}$ di lunghezza, quale altezza esatta deve avere la scatola?

c) Se la macchina confezionatrice non accetta scatole più alte di $12\text{ cm}$, proponi nuove dimensioni interne intere per lunghezza, larghezza e altezza (in centimetri) che mantengano esattamente il volume totale necessario.

Per riempire il serbatoio di irrigazione dell'orto scolastico è stata raccolta acqua da tre fonti diverse: un bidone ne fornisce $0,45\text{ m}^3$, un altro recipiente ne contiene $280\text{ dm}^3$ e un collettore pluviale ne fornisce $70\,000\text{ cm}^3$. Vogliamo sapere quanti annaffiatoi da $8\text{ litri}$ si possono riempire con tutto il volume raccolto. Due alunni propongono strade diverse:

• Strada di Clara: Convertire prima ciascuna delle tre quantità in decimetri cubi (litri), sommarle e dividere il totale per $8$.

• Strada di Davide: Esprimere tutte le quantità in metri cubi con numeri decimali, sommarle, trasformare la somma finale in centimetri cubi e dividere per $8\,000\text{ cm}^3$.

a) Esegui i calcoli seguendo passo passo entrambi i metodi e verifica che si arrivi alla stessa soluzione.

b) Quale dei due metodi ritieni più efficiente e sicuro per non sbagliare spostando virgole o aggiungendo zeri? Giustifica la tua scelta basandoti sulle equivalenze tra le unità del Sistema Metrico Decimale e quelle di capacità.

Un consorzio di irrigazione consuma in una settimana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ di acqua.

a) Esprimi questa quantità in litri.

b) Se il consumo è ripartito in parti uguali tra i $7$ giorni della settimana, quanti litri si consumano al giorno?

c) Esprimi il consumo giornaliero in metri cubi.

Un blocco di calcestruzzo di $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ ha una densità di $2\,400\ \text{kg/m}^3$.

a) Calcola il suo volume e la sua massa.

b) Una gru può sollevare fino a $1,5$ tonnellate. Può spostare il blocco?

c) Potrebbe spostare due blocchi contemporaneamente? Giustifica la risposta.

Narra la leggenda che Archimede scoprì come verificare se la corona del re fosse d'oro puro misurando l'acqua che spostava quando veniva immersa. Nella figura, una corona di $750$ g viene immersa in un cilindro graduato con acqua.

a) Qual è il volume della corona?

b) Calcola la sua densità in $\text{g/cm}^3$.

c) Sapendo che la densità dell'oro è $19,3\ \text{g/cm}^3$ e quella dell'argento è $10,5\ \text{g/cm}^3$, la corona potrebbe essere d'oro massiccio? Giustifica la risposta.

Un bacino idrico ha una capacità di $0,45\ \text{km}^3$. Dopo un anno di siccità è al $62\%$ della sua capacità.

a) Quanti ettometri cubi d'acqua contiene?

b) Quanti litri sono? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

c) Quanti ettometri cubi mancano per riempirlo completamente?

Convertendo $2,5\ \text{m}^3$ in centimetri cubi, Mihai scrive sul quaderno: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.

a) Spiega l'errore che ha commesso.

b) Esegui la conversione corretta.

c) Quanti litri sono $2,5\ \text{m}^3$?

Un garage di $45\ \text{m}^2$ di superficie si è allagato e l'acqua raggiunge $0,6\ \text{m}$ di altezza. L'acqua viene estratta con una pompa che aspira $45$ litri al minuto.

a) Quanti litri d'acqua ci sono nel garage?

b) Quanto tempo impiegherà la pompa a svuotarlo? Esprimi il risultato in ore.

Stabilisci se queste affermazioni sono vere o false, giustificando la risposta:

a) $1\ \text{dm}^3$ equivale a $1$ litro.

b) $1\ \text{m}^3$ equivale a $100$ litri.

c) $1\ \text{cm}^3$ d'acqua ha una massa di $1$ grammo.

d) Per passare da $\text{m}^3$ a $\text{cm}^3$ si moltiplica per $1\,000$.

Un blocco di ghiaccio di $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ ha una densità di $0,92\ \text{kg/dm}^3$.

a) Calcola il suo volume in decimetri cubi.

b) Qual è la sua massa?

c) Sciogliendosi, l'acqua risultante ha una densità di $1\ \text{kg/dm}^3$. Che volume occuperà? Occupa più o meno del ghiaccio? A cosa pensi sia dovuto?

Il servizio meteorologico registra durante una tempesta autunnale una precipitazione cumulata di $65\text{ l/m}^2$ in una località. Il tetto del palazzetto dello sport comunale è piano e ha una superficie rettangolare di $40\text{ m}$ di lunghezza per $25\text{ m}$ di larghezza. Tutta l'acqua che cade su questo tetto viene convogliata in una cisterna sotterranea cubica di $4\text{ m}$ di spigolo che, prima dell'inizio della pioggia, conteneva già $12\,000\text{ litri}$ di acqua.

a) Dimostra in modo ragionato, usando il cambio di unità di volume e di superficie, perché una precipitazione di $1\text{ l/m}^2$ equivale esattamente a uno strato d'acqua di $1\text{ mm}$ di spessore.

b) Modellizza matematicamente la situazione e calcola il volume di acqua piovana, in metri cubi, che cadrà sul tetto durante la tempesta.

c) Stabilisci se la cisterna traboccherà o se avrà capacità sufficiente per immagazzinare tutta l'acqua raccolta. Giustifica la risposta indicando quanti litri mancheranno per riempirla o quanti litri traboccheranno.

Per calcolare il volume di una scultura di bronzo massiccia e di forma molto irregolare, la si immerge completamente in un serbatoio pieno d'acqua fino all'orlo e si raccoglie tutto il liquido che trabocca in un recipiente cubico ausiliario di $20\text{ cm}$ di spigolo interno.

a) Sapendo che l'acqua raccolta riempie esattamente tre quarti del recipiente ausiliario, calcola il volume della scultura in decimetri cubi ed esprimilo anche in litri.

b) Pesando su una bilancia l'acqua spostata dalla scultura, lo strumento segna una massa di $6\text{ kg}$. Spiega perché questa misura di massa conferma che i calcoli di capacità e volume del punto precedente sono corretti.

c) Si progetta di realizzare una replica in scala $2:1$ di tale scultura (cioè raddoppiando ciascuna delle sue dimensioni lineari: lunghezza, larghezza e altezza). Un membro del laboratorio afferma: «Essendo grande il doppio, immergendola sposterà $12\text{ litri}$ di acqua, che peseranno $12\text{ kg}$». Giustifica, a partire da come si calcola il volume in tre dimensioni, perché questa affermazione è errata e determina il volume reale (in $\text{dm}^3$) e la massa d'acqua che sposterà la replica.

Sfida del tema. Verifica geometrica e sostenibilità nella tua dispensa.

1. Raccolta dati: Scegli a casa due confezioni di uso quotidiano: un poliedro (come un brick o una scatola di cereali) e un solido di rotazione (una lattina cilindrica o un barattolo). Misura con un righello le loro dimensioni in centimetri e annota la capacità netta indicata sull'etichetta (in $ml$ o $cl$).

2. Calcolo ed equivalenze: Modella entrambi in GeoGebra 3D o registra i dati in un foglio di calcolo. Trova l'area totale ($cm^2$) e il volume teorico ($cm^3$) di ciascun solido. Converti tale volume in litri ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$) e confrontalo con il valore dell'etichetta, giustificando eventuali discrepanze dovute allo spessore o allo spazio di sicurezza.

3. Proposta motivata: Calcola il rapporto $\text{Area}/\text{Volume}$ per entrambe le confezioni. Scrivi una breve relazione (una pagina) proponendo quale sia la forma più efficiente per commercializzare $0,5\text{ L}$ di prodotto usando la minore quantità possibile di materiale e riducendo al minimo l'impatto ambientale.

Verranno valutati:

• Precisione nelle misurazioni reali, calcolo algebrico di aree e volumi, e corretta equivalenza tra unità di capacità e di volume.

• Uso rigoroso di strumenti digitali (foglio di calcolo o GeoGebra) per rappresentare e analizzare i solidi tridimensionali.

• Qualità della proposta finale e giustificazione matematica sull'ottimizzazione dell'imballaggio.