Esercizi: Solidi di rotazione

Immagina di incollare le seguenti figure piane a uno stuzzicadenti e di farle ruotare rapidamente attorno ad esso. Identifica quale solido di rotazione si genera in ogni caso:

1. a) Un rettangolo che ruota attorno a uno dei suoi lati.
2. b) Un triangolo rettangolo che ruota attorno a uno dei suoi cateti.
3. c) Un semicerchio che ruota attorno al suo diametro.

Nel seguente disegno di un cono, identifica il nome degli elementi indicati con le lettere $r$, $h$ e $g$. Spiega brevemente che cosa rappresenta ciascuno di essi.

Una lattina di bibita cilindrica ha un'altezza di $12$ cm e il raggio della sua base misura $3$ cm. Disegna in modo schematico il suo sviluppo piano (le figure che otterresti tagliando la lattina e stendendola su un tavolo) e indica nel disegno le misure note.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per realizzare un cappellino da festa a forma di cono, dobbiamo conoscere il suo apotema ($g$). Se il cappellino ha un'altezza di $8$ cm e un raggio di base di $6$ cm, usa il teorema di Pitagora per calcolare quanto deve misurare l'apotema.

Calcola il volume di una palla da bowling (che è una sfera perfetta) sapendo che il suo raggio misura $11$ cm. Usa la formula $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ e prendi come valore di $\pi \approx 3,14$.

Un barattolo di palline da tennis ha forma di cilindro. La base ha un diametro di $7$ cm e l'altezza del barattolo è di $22$ cm. Calcola l'area della superficie laterale del barattolo (senza contare i coperchi).

Identifica quale di questi sviluppi piani non potrebbe mai formare un cilindro e spiega perché.

Hai un cilindro e un cono retti. Nella figura compare, con linea tratteggiata arancione, un taglio orizzontale (parallelo alla base) e, con linea tratteggiata rossa, un taglio verticale che passa per il centro delle basi (l'asse del solido).

1. a) Se eseguiamo il taglio orizzontale (parallelo alla base) su un cilindro e su un cono, quale figura geometrica piana otterremo nella sezione del taglio in ciascuno?

1. b) Otterremo la stessa figura in ciascun solido se il taglio è verticale e passa per il centro delle basi? Indica quale figura si ottiene nel cilindro e quale nel cono.

Marco vuole costruire con il cartoncino un cappellino da festa a forma di cono per la festa di fine anno della sua scuola. Sul quaderno scrive: «Siccome il cono si genera ruotando un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, per fare la superficie laterale ritaglierò un triangolo isoscele la cui base misuri la lunghezza della circonferenza di base e la cui altezza sia quella del cono; poi unirò i due lati uguali». Spiega in modo ragionato quale errore geometrico commette Marco e che cosa accadrebbe se provasse ad arrotolare quel triangolo. Poi nomina la figura geometrica piana che costituisce realmente lo sviluppo laterale di un cono e spiega quale elemento del cono (raggio, altezza o apotema) coincide con il raggio di tale figura piana.

Staccando con cura l'etichetta di carta che avvolge completamente e senza sovrapposizioni la parete laterale di un barattolo cilindrico di passata di pomodoro, si verifica che ha forma di rettangolo con misure di $31,4\text{ cm}$ di base e $10\text{ cm}$ di altezza. Sapendo che tale cilindro si genera facendo ruotare un rettangolo attorno a un asse che coincide con uno dei suoi lati, deduci in modo ragionato le dimensioni esatte (base e altezza) di quel rettangolo generatore originale (prendi $\pi \approx 3,14$). Se volessimo fabbricare anche i due coperchi metallici circolari del barattolo, quale deve essere il raggio esatto di ciascuno perché chiudano perfettamente il cilindro?

Disegna sul quaderno il solido di rotazione che si genera facendo ruotare la seguente figura piana attorno all'asse indicato. Come si chiama il solido ottenuto? Descrivi i suoi elementi principali (basi, altezza e generatrice).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una marca di bibite vuole progettare una nuova lattina cilindrica. Il raggio della base deve essere di $3,5\text{ cm}$ e l'altezza della lattina di $12\text{ cm}$. Calcola la quantità di metallo (superficie totale) necessaria per fabbricare una di queste lattine. Arrotonda il risultato a due decimali.

Per una festa in maschera, Lucia sta realizzando dei cappelli a forma di cono. Se ogni cappello ha un apotema di $25\text{ cm}$ e il diametro della base è di $14\text{ cm}$, quanto sarà alto il cappello? Usa il teorema di Pitagora per trovarlo.

Calcola il volume di una pallina di gelato perfettamente sferica con raggio di $3\text{ cm}$. Se il gelato si scioglie dentro un recipiente cilindrico con la stessa base e la stessa altezza della sfera, che altezza raggiungerà il gelato liquido? (Supponi che il volume non cambi sciogliendosi).

Un serbatoio d'acqua ha la forma di un cilindro con raggio di $2\text{ metri}$ e altezza di $5\text{ metri}$. Se il serbatoio è pieno per i tre quarti della sua capacità, quanti litri d'acqua contiene? (Ricorda che $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litri}$).

Un cono segnaletico stradale ha un'altezza di $60\text{ cm}$ e un raggio di base di $15\text{ cm}$. Calcola la sua area laterale (la superficie da dipingere di arancione). Per farlo, devi prima trovare l'apotema del cono usando il teorema di Pitagora.

Si taglia un'arancia sferica di $10\text{ cm}$ di diametro con un piano che passa a una distanza di $3\text{ cm}$ dal centro. Separando i due pezzi, la sezione del taglio è un cerchio. Calcola il raggio di quel cerchio di taglio applicando il teorema di Pitagora nel triangolo ombreggiato.

Abbiamo un pezzo di cartoncino a forma di settore circolare come quello nell'immagine. Unendo i bordi rettilinei, formiamo la superficie laterale di un cono. Calcola l'area totale di tale cono sapendo che il raggio del settore (che sarà l'apotema) è di $10\text{ cm}$ e che la lunghezza dell'arco è di $18,84\text{ cm}$.

Hai a disposizione un cartoncino rettangolare che misura esattamente $10\text{ cm}$ di larghezza per $20\text{ cm}$ di lunghezza. Immagina di farlo ruotare $360^\circ$ nello spazio: prima attorno al suo lato di $10\text{ cm}$ (ottenendo il cilindro $A$) e, in una seconda prova, attorno al suo lato di $20\text{ cm}$ (ottenendo il cilindro $B$). Prima di fare qualsiasi calcolo, stima in modo ragionato: quale dei due cilindri pensi che avrà la superficie laterale maggiore? E quale pensi che racchiuderà un volume interno maggiore? Annota la tua intuizione iniziale. Poi verifica la stima calcolando l'area laterale di entrambi i cilindri (lascia il risultato espresso in funzione di $\pi$) e il volume di ciascuno con la formula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Infine, confronta i risultati con la tua previsione e spiega matematicamente perché il raggio ha un impatto maggiore dell'altezza sul volume di un cilindro.

In una classe di tecnologia si vuole costruire in scala un cono segnaletico stradale la cui base circolare abbia raggio di $9\text{ cm}$ e la cui altezza sia di $12\text{ cm}$. Per ritagliare nel cartoncino il pezzo corrispondente alla superficie laterale, due studentesse propongono strade diverse: Irene calcola prima l'apotema $g$ con il teorema di Pitagora e applica direttamente la formula ridotta dell'area laterale: $A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g$; Alba, invece, calcola anch'essa l'apotema $g$, ma poi trova l'angolo al centro $\alpha$ che deve avere il settore circolare sviluppato risolvendo la proporzione $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{g}$, e poi calcola l'area con la formula generale del settore circolare: $A_{sector} = \frac{\pi \cdot g^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$. Esegui i calcoli passo dopo passo con entrambi i metodi (prendi $\pi \approx 3,14$). Dimostra algebricamente perché la formula diretta di Irene è equivalente al procedimento di Alba. Se devi disegnare lo sviluppo sul cartoncino con righello, compasso e goniometro per montarlo fisicamente, quale dei due metodi ti fornisce l'informazione indispensabile per il tracciato? Giustifica la risposta.

Un'azienda di profumi sta progettando un nuovo flacone di vetro. Il flacone ha una base cilindrica di raggio $3 \text{ cm}$ e altezza $6 \text{ cm}$. Su questa base poggia un tronco di cono la cui base superiore ha raggio $1 \text{ cm}$ e il cui apotema misura $5 \text{ cm}$. Sapendo che il tappo è una semisfera perfetta che combacia esattamente con l'apertura superiore di raggio $1 \text{ cm}$, calcola la superficie totale esterna del flacone (senza contare la base di appoggio).

Un rullo industriale d'acciaio ha forma di cilindro cavo. Il diametro esterno del rullo è $20 \text{ cm}$, il diametro interno è $16 \text{ cm}$ e la sua lunghezza totale è $50 \text{ cm}$. Se la densità dell'acciaio è $7,85 \text{ g/cm}^3$, calcola la massa totale del rullo in chilogrammi. (Ricorda che per trovare il volume del cilindro cavo devi sottrarre il volume del cilindro interno a quello esterno).

Per una mostra d'arte è stato costruito un pezzo di metallo formato da un cono che si inserisce perfettamente dentro un cilindro della stessa altezza ($12 \text{ cm}$) e con lo stesso raggio di base ($5 \text{ cm}$). Il cono è capovolto, così che il suo vertice tocca il centro della base inferiore del cilindro. Calcola il volume d'acqua che servirebbe per riempire lo spazio vuoto che resta tra le pareti del cilindro e il cono.

Un gelato a cono ha forma di cono di altezza $15 \text{ cm}$ e raggio $3 \text{ cm}$ nell'apertura superiore. Si colloca una pallina di gelato che è una sfera perfetta di raggio $3,5 \text{ cm}$. A causa della dimensione, parte della pallina resta fuori dal cono e parte dentro. Se la pallina poggia proprio sul bordo circolare del cono, quale distanza c'è dal punto più basso della pallina di gelato al vertice inferiore del cono? (Usa il teorema di Pitagora).

Una boa marittima è formata dall'unione di due coni identici per le basi. La lunghezza totale della boa da punta a punta è $2 \text{ metri}$ e il diametro della sezione circolare centrale in cui si uniscono è $120 \text{ cm}$. Calcola il volume totale della boa in litri e la sua superficie esterna totale.

Si taglia una sfera di raggio $13 \text{ cm}$ con un piano orizzontale che passa a una distanza di $5 \text{ cm}$ dal centro. Questo taglio genera un cerchio (sezione). Calcola l'area di quel cerchio di taglio e l'area della calotta sferica superiore risultante, sapendo che la superficie di una calotta sferica si calcola come $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, dove $h$ è l'altezza della calotta.

Un serbatoio d'acqua ha la forma di un tronco di cono rovesciato. Il raggio della base superiore (aperta) è di $4 \text{ metri}$ e quello della base inferiore (fondo) è di $2 \text{ metri}$. L'altezza totale del serbatoio è di $6 \text{ metri}$. Se il serbatoio viene riempito fino a metà della sua altezza ($3 \text{ metri}$), usa la similitudine dei triangoli per trovare il raggio della superficie dell'acqua in quel momento e calcola il volume d'acqua accumulato.

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione $360^\circ$ del seguente poligono irregolare attorno all'asse verticale indicato. Il poligono è formato da un rettangolo di $2 \times 4 \text{ cm}$ e da un triangolo rettangolo di base $3 \text{ cm}$ unito al suo lato.

Un'azienda di forniture agricole di Tomelloso (Ciudad Real) commissiona il progetto di un silo verticale per lo stoccaggio del grano. La struttura completa è un solido di rotazione formato da un cilindro inferiore di $4\text{ m}$ di diametro esterno e $6\text{ m}$ di altezza, sormontato da una copertura conica superiore con la stessa base circolare e un'altezza di $1,5\text{ m}$. Per prima cosa, modella geometricamente la sezione piana: descrivi con precisione quale figura piana poligonale (indicando le misure di tutti i suoi lati) genera questo solido completo ruotando $360^\circ$ attorno all'asse verticale di simmetria del silo. In secondo luogo, per impermeabilizzare l'esterno, si applicherà una resina protettiva sulla parete cilindrica verticale e sul tetto conico (il suolo e l'unione orizzontale interna tra cilindro e cono non vengono trattati). Calcola i metri quadrati totali di superficie da impermeabilizzare (prendi $\pi \approx 3,14$). Infine, se ogni barattolo di resina costa $45\text{ €}$, basta esattamente per coprire $12\text{ m}^2$ e non si vendono barattoli frazionati, determina il budget minimo necessario se è obbligatorio applicare due mani complete su tutta la superficie.

Un laboratorio di design educativo realizza modelli per spiegare la geometria del pianeta Terra e le proiezioni cartografiche. Per costruire la superficie laterale di una cupola conica protettiva, ritagliano da un foglio di plastica un settore circolare con raggio di $20\text{ cm}$ e angolo al centro di $144^\circ$. Imposta e risolvi il problema inverso: curvando il settore circolare e unendo i bordi rettilinei per formare il cono, calcola il raggio della base circolare che si ottiene e l'altezza verticale che raggiungerà il cono (arrotonda l'altezza ai decimi di centimetro). Inoltre, per il modello sferico del globo terrestre, uno studente del gruppo propone: «Perché le scuole possano ritagliare e montare in classe una sfera perfetta di cartoncino, possiamo stampare il suo sviluppo piano su un unico foglio rettangolare continuo, come facciamo con il cilindro e il cono». Analizza e spiega in dettaglio perché la proposta dello studente è un errore geometrico insanabile, basandoti sulle proprietà dello sviluppo piano della sfera e spiegando che cosa accade inevitabilmente a qualsiasi mappa piana del mondo quando cerca di rappresentare la superficie terrestre senza deformarla.