Esercizi: Solidi di rotazione

Immagina di essere un grafico e di creare un logo in 3D. Per farlo, fai ruotare un rettangolo di base $5 \text{ cm}$ e altezza $12 \text{ cm}$ attorno a uno dei suoi lati più lunghi (il lato di $12 \text{ cm}$), come mostra la figura.

1. a) Disegna il solido di rotazione che si ottiene.

1. b) Individua come si chiamano i suoi elementi principali (base e altezza) e indica quanto misura ciascuno.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per una festa in maschera vuoi costruire un cappello conico. Hai misurato il raggio della base, che è $9 \text{ cm}$, e l'altezza del cappello, che sarà $12 \text{ cm}$. Usa il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza dell'apotema ($g$) che ti servirà per tracciare lo sviluppo sul cartoncino.

Una famosa marca di patatine utilizza barattoli cilindrici. Se il raggio della base del barattolo è $4 \text{ cm}$ e la sua altezza è $20 \text{ cm}$, calcola l'area dell'etichetta di carta che avvolge lateralmente il barattolo (area laterale). Prendi $\pi \approx 3,14$.

Un pallone da basket ha un diametro di $24 \text{ cm}$. Qual è la superficie totale di cuoio necessaria per fabbricarlo? Ricorda che il raggio è la metà del diametro e usa la formula dell'area della sfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Una lattina di bibita ha forma cilindrica. Il raggio della sua base misura $3 \text{ cm}$ e la sua altezza è $12 \text{ cm}$. Calcola il volume di bibita che può contenere se viene riempita completamente. Esprimi il risultato in centimetri cubi ($cm^3$).

Osserva le tre figure piane A, B e C. Ciascuna ruota di un giro completo attorno all'asse tratteggiato disegnato. Individua quale di esse dà origine a un tronco di cono. Spiega brevemente perché hai scelto quell'opzione.

Una cialda per gelato ha forma di cono. Se l'area della base è $25 \text{ cm}^2$ e l'altezza della cialda è $10 \text{ cm}$, calcola il suo volume. Ricorda che il volume di un cono è la terza parte del volume di un cilindro con la stessa base e la stessa altezza: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

In una lezione di geografia osserviamo un mappamondo. Se sappiamo che la lunghezza dell'equatore (circonferenza massima) è di circa $62,8 \text{ cm}$, qual è il raggio di quella sfera? (Usa $\pi \approx 3,14$).

Marco sta progettando un cappellino da festa a forma di cono per il compleanno di sua sorella. Sul quaderno annota quanto segue: «Il raggio della base circolare è $r = 5\text{ cm}$ e l'altezza del cappellino è $h = 12\text{ cm}$. Quindi, per tracciare il modello di cartoncino mi serve che l'apotema misuri esattamente $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$, dato che l'apotema unisce il bordo della base con la punta del cono sommando le due distanze».\n\na) Spiega in modo ragionato quale errore concettuale ha commesso Marco sulla geometria interna del cono. Quale figura geometrica piana mette realmente in relazione $r$, $h$ e $g$?\nb) Correggi il suo calcolo determinando la lunghezza reale che deve avere l'apotema $g$ del cappellino.

Un caseificio artigianale della Toscana produce formaggi a forma di cilindro retto. Ogni forma intera ha un diametro di $20\text{ cm}$ (raggio $r = 10\text{ cm}$) e un'altezza di $8\text{ cm}$. Per preparare una degustazione, il casaro esegue un taglio piano netto e verticale che va dall'alto in basso passando esattamente per il centro delle basi.\n\na) Prima di fare qualsiasi calcolo numerico, stima quale figura geometrica piana comparirà sulla superficie del taglio e se la sua area sarà maggiore, minore o uguale a $100\text{ cm}^2$. Giustifica la tua previsione a colpo d'occhio a partire dalle dimensioni date.\nb) Calcola con esattezza le misure dei lati di tale sezione piana e la sua area reale. Verifica se la tua stima era corretta e spiega perché un taglio perpendicolare alle basi che passa per l'asse produce sempre quella figura geometrica.

Un'azienda di bibite vuole progettare una nuova lattina cilindrica. Il raggio della base deve essere $3,5\text{ cm}$ e l'altezza della lattina $12\text{ cm}$. Calcola l'area totale della lamiera necessaria per fabbricare una lattina (senza contare le linguette di chiusura) e il volume di bibita che può contenere in millilitri ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

Si sta realizzando un tendone provvisorio per un evento a forma di cono perfetto. L'altezza del tendone dal suolo al vertice superiore è $4\text{ m}$ e il diametro della base circolare è $6\text{ m}$. Quanti metri quadrati di telo sono serviti per coprire solo la parte laterale del tendone? (Suggerimento: prima dovrai trovare l'apotema usando il teorema di Pitagora).

Una famosa marca di cioccolatini vende i suoi cioccolatini in una scatola a forma di sfera di diametro $10\text{ cm}$. Se la scatola è riempita fino al $75\%$ della sua capacità con cioccolato liquido, quanti centimetri cubi di cioccolato ci sono al suo interno? Esprimi il risultato arrotondando ai centesimi.

Calcola il volume di un pezzo di legno formato unendo un cilindro e una semisfera (mezza sfera). Il cilindro ha altezza $10\text{ cm}$ e il raggio della sua base è $4\text{ cm}$. La semisfera poggia esattamente sulla base superiore del cilindro.

Un gelato a cono ha forma di cono. La cialda ha una profondità (altezza) di $12\text{ cm}$ e il raggio dell'apertura è $3\text{ cm}$. Se il gelato riempie l'interno del cono e inoltre sporge una pallina perfetta nella parte superiore che ha lo stesso raggio del cono, calcola il volume totale del gelato.

Osserva lo sviluppo piano di un cilindro. Si sa che l'area di una delle sue basi circolari è $28,26\text{ cm}^2$ e che l'altezza del rettangolo laterale è $10\text{ cm}$. Calcola:

1. a) Il raggio della base.
2. b) L'area laterale del cilindro.
3. c) L'area totale.

(Usa $\pi \approx 3,14$).

Un serbatoio d'acqua ha forma di cilindro con altezza $5\text{ m}$. Se vogliamo che il serbatoio abbia una capacità di $100.000\text{ litri}$, quale raggio deve avere la base del serbatoio? (Ricorda che $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litri}$). Arrotonda il raggio a due cifre decimali.

Si taglia una sfera di legno di raggio $13\text{ cm}$ con un piano orizzontale. Se la distanza dal centro della sfera al taglio è $5\text{ cm}$, qual è il raggio del cerchio che si forma nella sezione del taglio? (Applica il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo che si forma).

In una lezione di Arte si modellano figure di rotazione con l'argilla. Tagliando un cono retto con un filo teso lungo un taglio piano verticale che passa per il suo vertice superiore e divide la base circolare in due metà simmetriche, la superficie del taglio che resta visibile è un triangolo isoscele di area $120\text{ cm}^2$ la cui base misura $16\text{ cm}$.\n\na) Ricostruisci le misure del cono originale: deduci in modo ragionato quanto misurano il raggio $r$ della sua base e la sua altezza $h$, spiegando a quale elemento del cono corrisponde ciascun lato e ciascuna dimensione del triangolo osservato.\nb) Calcola la misura esatta dell'apotema $g$ di tale cono.

L'Aeronautica Militare utilizza in molte delle sue stazioni pluviometri con un imbuto raccoglitore conico per raccogliere l'acqua piovana. La bocca circolare superiore dell'imbuto ha un diametro di $24\text{ cm}$ (raggio $r = 12\text{ cm}$) e il suo apotema misura $15\text{ cm}$.\n\na) Modella la sezione verticale dell'imbuto individuando il triangolo rettangolo caratteristico e calcola la profondità totale (altezza $h$) del cono.\nb) Durante un episodio di pioggia, l'acqua accumulata riempie l'imbuto fino a raggiungere un'altezza di $4,5\text{ cm}$ dal vertice inferiore (cioè esattamente la metà della sua altezza totale). Ragiona geometricamente su quale figura forma la superficie libera dell'acqua e argomenta perché il suo raggio deve essere esattamente la metà del raggio della bocca superiore ($6\text{ cm}$).

Un'azienda di interior design produce paralumi per lampade a forma di tronco di cono. Il raggio della base superiore è $12\text{ cm}$, quello della base inferiore è $20\text{ cm}$ e l'altezza del paralume è $15\text{ cm}$. Se il tessuto speciale costa $18,50\text{ €/m}^2$, calcola il costo del materiale necessario per fabbricare 25 paralumi uguali (tieni conto che il paralume non ha basi, è solo la superficie laterale).

Un rullo compressore d'acciaio ha forma di cilindro con diametro $1,2\text{ metri}$ e lunghezza $2,5\text{ metri}$. L'acciaio ha una densità di $7850\text{ kg/m}^3$. Se il rullo è cavo e lo spessore dell'acciaio è $10\text{ cm}$ lungo tutto il contorno (tranne nelle facce laterali, che si considerano trascurabili), calcola la massa totale del rullo in tonnellate.

Si vuole costruire un silo per cereali formato da un corpo cilindrico di altezza $4\text{ m}$ e raggio $3\text{ m}$, terminante nella parte inferiore con un cono dello stesso raggio e apotema $5\text{ m}$ per facilitare lo scarico. Calcola il volume totale di stoccaggio del silo e la superficie totale di lamiera necessaria per costruirlo (compreso il coperchio superiore piano del cilindro).

Una sfera di vetro di raggio $15\text{ cm}$ viene immersa in un recipiente cilindrico di diametro $32\text{ cm}$ contenente acqua. Se la sfera si immerge completamente fino al fondo, di quanti centimetri salirà il livello dell'acqua nel recipiente? Esprimi il risultato arrotondando ai centesimi.

Calcola l'area della superficie di un "cono gelato" composto da un cono retto di altezza $12\text{ cm}$ e raggio di base $5\text{ cm}$, sormontato da una semisfera perfetta che combacia esattamente con la base del cono. Se vogliamo avvolgere il gelato (cono e semisfera) con una carta protettiva, quale superficie minima di carta ci servirà?

Una sfera di legno di raggio $20\text{ cm}$ è stata tagliata da un piano situato a $12\text{ cm}$ dal centro. Separando i due frammenti si ottengono due calotte sferiche. Calcola l'area totale (superficie curva più la base circolare piana del taglio) della calotta sferica più piccola.

(Suggerimento: usa il teorema di Pitagora per trovare il raggio del cerchio della sezione).

Una confezione di profumo ha forma di cilindro di altezza $10\text{ cm}$. All'interno, il vetro ha una forma conica rovesciata che arriva esattamente fino al fondo e la cui base coincide con il coperchio del cilindro. Se il raggio della confezione è $3\text{ cm}$, calcola quale percentuale del volume totale del cilindro è occupata dal profumo quando la confezione è piena. Questa percentuale dipende dal raggio e dall'altezza scelti? Motiva la tua risposta.

Si genera un solido di rotazione facendo ruotare un triangolo rettangolo di cateti $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$ attorno alla sua ipotenusa.

1. a) Descrivi il solido ottenuto (puoi disegnarlo).
2. b) Calcola l'area totale della superficie del solido generato.

(Aiuto: il solido è formato da due coni uniti per la base. Dovrai calcolare l'altezza del triangolo relativa all'ipotenusa).

Un'officina di lavorazione meccanica di precisione a Bologna deve fabbricare un pezzo conico in acciaio temprato. La specifica tecnica richiede che l'apotema misuri esattamente $g = 10\text{ cm}$ e che l'altezza del pezzo sia esattamente il doppio del raggio della sua base ($h = 2\cdot r$). Per calcolare il raggio $r$ necessario, due membri del team tecnico discutono su quale strada seguire:\n\n- Sergio propone il metodo per tentativi numerici: provare valori decimali successivi per $r$ ($4,1\text{ cm}$; $4,2\text{ cm}$; $4,3\text{ cm}$...), calcolare in ogni caso $h = 2\cdot r$ e verificare con il teorema di Pitagora quale dà un risultato più vicino a $g = 10\text{ cm}$.\n- Irene propone il metodo algebrico: sostituire la condizione $h = 2\cdot r$ direttamente nella relazione pitagorica del cono ($g^2 = r^2 + h^2$), ottenendo un'equazione con una sola incognita ($10^2 = r^2 + (2\cdot r)^2$) per ricavare $r$ in modo diretto.\n\na) Confronta in modo ragionato i due metodi: quale dei due è preferibile in un ambiente professionale di ingegneria e quali limiti presenta l'altro metodo?\nb) Applica il metodo algebrico proposto da Irene: risolvi l'equazione passo dopo passo, ottieni il raggio $r$ arrotondato a due cifre decimali e calcola l'altezza $h$ del pezzo.

Sulle coste liguri si usano boe marine sferiche di segnalazione il cui raggio esterno è $R = 50\text{ cm}$. Quando galleggia sull'acqua con mare calmo, il piano orizzontale della superficie marina taglia la sfera formando un cerchio che delimita la linea di galleggiamento. In condizioni normali, il centro della boa si trova a una distanza verticale di $30\text{ cm}$ sopra il livello dell'acqua.\n\na) Modella la situazione con una sezione verticale passante per il centro della sfera e calcola il raggio esatto della circonferenza di galleggiamento che l'acqua disegna sulla boa.\nb) Con il passare dei mesi, l'accumulo di alghe e molluschi appesantisce la boa, facendola affondare di più, così che la distanza verticale del centro della boa dall'acqua passa da $30\text{ cm}$ a solo $14\text{ cm}$. Un tecnico della manutenzione afferma: «Poiché la distanza del centro dall'acqua si è ridotta a meno della metà, il raggio del cerchio di galleggiamento sulla superficie marina sarà diventato più del doppio». Dimostra algebricamente se la sua affermazione è vera o falsa calcolando il nuovo raggio, e spiega come cambia la dimensione di una sezione piana di una sfera man mano che il piano si avvicina al suo centro.