Esercizi: Poliedri

Un architetto sta progettando un nuovo modello di vetrata per un centro commerciale a forma di prisma retto a base pentagonale. Osserva il disegno e rispondi alle seguenti domande per aiutarlo con l'inventario dei materiali:

1. a) Quante facce ha in totale il prisma?
2. b) Quanti vertici ha la figura?
3. c) Quanti spigoli ci sono in totale?

A lezione di Tecnologia, gli alunni stanno costruendo una struttura per un plastico. Hanno progettato un poliedro che ha $7$ facce e $10$ vertici. Usa il teorema di Eulero ($C + V = A + 2$) per calcolare quante asticelle (spigoli) serviranno per montare l'intera struttura.

I dadi usati nei giochi di ruolo hanno spesso la forma dei poliedri regolari. Se stai giocando con un dado a forma di ottaedro (osserva la figura, in cui gli spigoli nascosti sono tratteggiati):

1. a) Che forma hanno le sue facce?

1. b) Quante facce ha questo dado?

1. c) Quanti spigoli si incontrano in ciascuno dei suoi vertici?

Classifica le seguenti piramidi in base al poligono della loro base e determina se sono regolari o irregolari giustificando la tua risposta:

1. a) Una piramide la cui base è un quadrato di lato $5\text{ cm}$ e le cui facce laterali sono triangoli isosceli uguali.
2. b) Una piramide la cui base è un rettangolo di $4\text{ cm}$ per $6\text{ cm}$.

Marta vuole fabbricare una scatola di cartone per un regalo a forma di cubo. Per farlo, disegna diversi modelli sul suo quaderno. Indica con una motivazione quale dei due seguenti sviluppi piani permette di formare un cubo perfetto e quale no.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva intorno a te in classe o nella tua camera e indica:

1. a) Un oggetto che abbia la forma di un parallelepipedo rettangolo.
2. b) Quante facce ha quell'oggetto?
3. c) Le sue facce sono tutte uguali o ci sono facce diverse? Descrivi come sono.

Indica quale delle seguenti affermazioni sui poliedri è FALSA e spiega perché:

1. Un poliedro convesso è un poliedro che, se appoggiato su una qualsiasi faccia, non "si affonda".

2. Il tetraedro regolare è il poliedro che ha il minor numero possibile di facce.

3. In un poliedro regolare, in ogni vertice può concorrere un numero diverso di spigoli.

4. Il cubo è un tipo particolare di prisma quadrangolare.

Calcola l'area totale di un cubo di Rubik sapendo che la lunghezza di ciascuno dei suoi spigoli è $6\text{ cm}$. Ricorda che il cubo ha $6$ facce quadrate identiche.

Luca sta progettando in Tecnologia un plastico a forma di piramide ottagonale regolare. Sul quaderno ha scritto: «Poiché la base è un ottagono, la piramide ha $8$ facce in totale, $8$ vertici e $8 \cdot 2 = 16$ spigoli. Inoltre vale la formula di Eulero perché $8 + 8 = 16$». Individua i tre errori concettuali commessi da Luca, spiega in modo ragionato come si contano in realtà gli elementi di una piramide a partire dai lati della sua base e ottieni i valori corretti di facce ($C$), vertici ($V$) e spigoli ($A$), verificando con essi il teorema di Eulero.

Per una mostra di geometria a scuola devi classificare vari pezzi di legno in base alle loro proprietà. Hai un pezzo che è un poliedro e sai che ha esattamente $18$ spigoli e $8$ facce, ma non sei sicuro se si tratti di un prisma o di una piramide. Determina in modo ragionato di che tipo di solido si tratta e quale poligono forma la sua base. Poi rispondi giustificando: sarebbe possibile costruire una piramide che avesse esattamente $15$ spigoli in totale?

Un poliedro convesso ha lo stesso numero di facce di un ottaedro regolare e lo stesso numero di vertici quanti sono gli spigoli di un cubo. Usa il teorema di Eulero per determinare quanti spigoli ha questo solido. Rappresenta in modo schematico un poliedro che abbia queste caratteristiche (per esempio, un prisma esagonale).

Una nota marca di cioccolatini vende i suoi prodotti in scatole a forma di prisma triangolare regolare. Se il lato del triangolo di base misura $6 \text{ cm}$ e l'altezza del prisma è $20 \text{ cm}$, calcola l'area totale di cartone necessaria per fabbricare una scatola. (Ricorda che devi prima trovare l'altezza del triangolo di base usando il teorema di Pitagora).

Calcola il volume di una piramide quadrangolare regolare il cui spigolo di base misura $10 \text{ cm}$ e il cui spigolo laterale misura $13 \text{ cm}$. Per risolverlo, dovrai prima calcolare l'apotema della piramide e poi la sua altezza usando il teorema di Pitagora.

Uno scultore vuole creare un pezzo scolpendo un cubo di legno di spigolo $10 \text{ cm}$. Se toglie i quattro angoli superiori tagliando per i punti medi degli spigoli che concorrono in ciascun vertice (nella figura i tagli appaiono in arancione), conta con attenzione quante facce, vertici e spigoli avrà la figura risultante. Verifica se continua a valere il teorema di Eulero.

In una mostra di arte moderna c'è una teca a forma di parallelepipedo rettangolo le cui dimensioni sono $80 \text{ cm}$ di lunghezza, $60 \text{ cm}$ di larghezza e $1 \text{ m}$ di altezza. L'artista vuole collocare un'asta metallica che attraversi la teca da un vertice inferiore al vertice opposto superiore. Qual è la lunghezza esatta dell'asta?

Si vuole dipingere l'esterno di un tendone pubblicitario a forma di piramide esagonale regolare. Il lato dell'esagono di base misura $4 \text{ m}$ e l'apotema della faccia laterale misura $7 \text{ m}$. Se un barattolo di vernice copre $10 \text{ m}^2$ e il pavimento del tendone non si dipinge, quanti barattoli di vernice bisogna comprare come minimo?

Calcola il volume di un prisma a base trapezoidale (un serbatoio d'acqua). Le basi del trapezio misurano $2 \text{ m}$ e $3 \text{ m}$, la sua altezza è $1,5 \text{ m}$ e la lunghezza totale del serbatoio (altezza del prisma) è $5 \text{ m}$. Se il serbatoio è pieno a metà, quanti litri d'acqua contiene?

È possibile costruire un poliedro regolare le cui facce siano esagoni regolari? Giustifica la tua risposta analizzando quanti gradi sommerebbero gli angoli delle facce che concorrono in uno stesso vertice. Ripeti il ragionamento per spiegare perché esistono solo cinque poliedri regolari convessi.

Per le feste patronali di un comune del Molise, l'amministrazione comunale ordinerà un tendone per le bancarelle di artigianato a forma di prisma decagonale regolare (base di $10$ lati). La struttura si monta con barre di alluminio per gli spigoli e pezzi di ancoraggio sferici nei vertici. Prima di consultare il catalogo tecnico, l'assessore afferma a occhio: «Per quel tendone ci serviranno circa $40$ ancoraggi e circa $50$ barre di alluminio». Per prima cosa, fai una rapida stima mentale e spiega se le cifre dell'assessore ti sembrano coerenti o sproporzionate. Poi calcola con esattezza quante facce ($C$), vertici ($V$) e spigoli ($A$) ha tale prisma, verifica che vale il teorema di Eulero e valuta l'errore della stima iniziale dell'assessore.

Uno studio di architettura di Napoli progetta un padiglione bioclimatico per un parco pubblico. L'edificio ha la forma di un prisma esagonale retto sormontato nella parte superiore da un tetto a forma di piramide esagonale, la cui base coincide esattamente con la base superiore del prisma (così che quella superficie resta all'interno e non conta come faccia esterna). Modella matematicamente questo edificio come un unico poliedro e rispondi:

1. a) Quante facce esterne ha in totale e che forma geometrica ha ciascuna?
2. b) Quanti vertici e quanti spigoli compongono l'intera struttura esterna?
3. c) Verifica se questo poliedro composto soddisfa il teorema di Eulero ($C + V = A + 2$) e spiega perché.

Uno studio di design di videogiochi sta creando un nuovo "power-up" a forma di poliedro convesso. Gli artisti hanno deciso che l'oggetto abbia esattamente $14$ facce e $24$ spigoli.

1. a) Secondo il teorema di Eulero ($C + V = A + 2$), quanti vertici deve avere il modello 3D perché sia geometricamente possibile?

1. b) Se il poliedro finale risulta essere un cubottaedro (un poliedro formato da quadrati e triangoli equilateri) e sappiamo che in ciascuno dei suoi vertici concorrono esattamente $4$ spigoli, verifica se il risultato del punto a) coincide con la struttura reale di questo solido. Per farlo, conta gli spigoli a partire dal numero di vertici e dagli spigoli che arrivano in ciascuno.

Stai montando un computer a pezzi e vuoi installare una scheda grafica di ultima generazione. Il case del computer (la torre) è un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $45\text{ cm}$ di altezza, $20\text{ cm}$ di larghezza e $40\text{ cm}$ di lunghezza. La scheda grafica è molto lunga e vuoi sapere se entrerebbe collocandola in diagonale, unendo un vertice inferiore della parte anteriore con il vertice superiore opposto della parte posteriore. Calcola la lunghezza della diagonale del parallelepipedo e determina se una scheda lunga $62\text{ cm}$ entrerebbe al suo interno.

Un'azienda di gioielleria artigianale vuole realizzare un ciondolo d'argento a forma di ottaedro regolare. Se ogni spigolo dell'ottaedro misura $12\text{ mm}$, calcola la superficie totale d'argento necessaria per rivestire il ciondolo (l'area totale). Suggerimento: ricorda che un ottaedro regolare è formato da otto triangoli equilateri uguali. Dovrai prima calcolare l'altezza di uno di quei triangoli usando il teorema di Pitagora.

Un architetto ha progettato un lucernario per un centro commerciale a forma di piramide quadrangolare regolare. La base è un quadrato di lato $6\text{ m}$. Se l'area della superficie di vetro (l'area laterale della piramide) è $60\text{ m}^2$, calcola l'altezza reale della piramide dal centro della base al vertice. Nota: fai attenzione, dovrai prima trovare l'apotema della piramide tramite l'area laterale e poi applicare Pitagora per trovare l'altezza.

Immagina un tetraedro regolare e un ottaedro regolare, entrambi con la stessa lunghezza di spigolo $a$. Uno scienziato afferma che, se uniamo due di questi poliedri per una delle loro facce, il numero di facce esposte all'esterno del nuovo solido sarà sempre la somma delle facce di entrambi meno due.

1. a) Calcola il numero di facce, vertici e spigoli del solido ottenuto unendo due tetraedri per una faccia.
2. b) Il teorema di Eulero continua a valere in questo nuovo poliedro? Giustifica la tua risposta.

Per un progetto di tecnologia devi costruire un altoparlante a forma di prisma esagonale regolare. Il perimetro della base esagonale è $42\text{ cm}$ e l'altezza dell'altoparlante è $30\text{ cm}$. Perché il suono sia ottimale, devi rivestire le pareti laterali con un tessuto speciale che costa $15\text{ €/m}^2$. Calcola il costo totale del tessuto necessario per rivestire la superficie laterale di cinque altoparlanti uguali. (Ricorda di eseguire le conversioni di unità da $\text{cm}^2$ a $\text{m}^2$).

Un cristallografo sta studiando una pietra preziosa a forma di tronco di piramide quadrangolare regolare. La base inferiore è un quadrato di lato $10\text{ cm}$, la base superiore è un quadrato di lato $4\text{ cm}$ e l'altezza del tronco (distanza tra le basi) è $4\text{ cm}$.

1. a) Calcola la lunghezza dell'apotema delle facce laterali (che sono trapezi).
2. b) Calcola l'area totale della pietra preziosa.

Si vuole fabbricare una scatola metallica senza coperchio a forma di cubo la cui diagonale misuri esattamente $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calcola quanto deve misurare lo spigolo di tale scatola.
2. b) Se il metallo utilizzato pesa $2,5\text{ grammi}$ per ogni $\text{cm}^2$, qual è la massa totale della scatola una volta fabbricata? (Ricorda che la scatola non ha il coperchio superiore).

Il Museo della Scienza di Bologna commissiona una scultura poliedrica cava formata da $32$ facce: $12$ pentagoni regolari e $20$ esagoni regolari. In ogni vertice del poliedro concorrono esattamente $3$ spigoli. Per calcolare la quantità di barre (spigoli) e connettori (vertici) da ordinare in fabbrica, due studenti propongono metodi diversi:

• Metodo A (Sofia): calcolare prima gli spigoli moltiplicando il numero di facce per i loro lati e dividendo per $2$ perché ogni spigolo appartiene a due facce: $A = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 2$. Poi ricavare i vertici usando la relazione di Eulero ($C + V = A + 2$).

• Metodo B (Marco): calcolare prima i vertici tenendo conto che ogni pentagono fornisce $5$ angoli e ogni esagono $6$, ma ogni vertice è condiviso tra $3$ facce: $V = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 3$. Poi calcolare gli spigoli moltiplicando $V$ per $3$ e dividendo per $2$.

Valuta la validità di entrambi i metodi e spiega quale ti sembra più sicuro se non ricordassi la formula di Eulero. Infine, calcola il numero esatto di facce, spigoli e vertici della scultura e verifica che entrambi i procedimenti portano allo stesso risultato.

In una gara scolastica di robotica a Roma, una squadra presenta la relazione tecnica di un involucro protettivo. Sostiene di aver progettato un poliedro convesso chiuso composto esclusivamente da $7$ facce triangolari.

1. a) Sapendo che ogni triangolo ha $3$ lati e che ogni spigolo del poliedro è condiviso da esattamente due facce adiacenti, calcola quanti spigoli dovrebbe avere questo presunto solido. Quale problema matematico trovi nel risultato ottenuto?
2. b) Se l'involucro viene riprogettato con $8$ facce triangolari, quanti spigoli avrà? Calcola quanti vertici deve avere obbligatoriamente applicando il teorema di Eulero.
3. c) Generalizza il ragionamento: dimostra perché è geometricamente impossibile costruire un poliedro chiuso le cui facce siano esclusivamente un numero dispari di triangoli.