Esercizi: Lo spazio

Nel mondo del design dei videogiochi, gli oggetti sono definiti dalle loro dimensioni. Indica quante dimensioni ($0$, $1$, $2$ o $3$) hanno i seguenti elementi che troviamo in una stanza:

1. a) Il cavo di un paio di auricolari teso.

1. b) Lo schermo piatto di un monitor (senza considerarne lo spessore).

1. c) Una scatola in cui conservi i giochi della console.

1. d) Un punto luce sul soffitto.

Osserva gli spigoli di questo cubo e determina la posizione reciproca (parallele, incidenti o sghembe) delle seguenti coppie di rette che contengono gli spigoli:

1. a) La retta che passa per i punti $A$ e $B$ rispetto a quella che passa per $C$ e $D$.
2. b) La retta che passa per $A$ e $B$ rispetto a quella che passa per $B$ e $C$.
3. c) La retta che passa per $A$ e $B$ rispetto a quella che passa per $G$ e $H$.

Immagina che le pareti, il pavimento e il soffitto della tua classe siano piani. Indica la posizione reciproca di:

1. a) Il piano del pavimento e il piano del soffitto.
2. b) Il piano della parete della lavagna e il piano della parete della finestra (che è accanto).
3. c) Una retta formata dall'angolo tra due pareti e il piano del pavimento.

Sappiamo che per due punti dello spazio passa una sola retta.

1. a) Quante rette possono passare per un solo punto dello spazio?
2. b) Quanti piani possono contenere una sola retta?
3. c) Quanti punti, non allineati, servono come minimo per determinare un unico piano?

Nello spazio esistono rette che non sono parallele ma non si incontrano mai. Queste rette si chiamano rette sghembe. Osserva il disegno della rampa da skate e indica quale posizione reciproca hanno:

1. a) Il bordo superiore della rampa ($r$) e la linea di base sul pavimento ($s$).
2. b) Il bordo verticale della ringhiera ($t$) e la retta $s$.

Disegna sul quaderno (o descrivi) la situazione di una retta e di un piano nei seguenti casi:

1. a) La retta è parallela al piano (pensa a un neon del soffitto e al pavimento).
2. b) La retta è contenuta nel piano (pensa a una linea dipinta sul pavimento).
3. c) La retta è incidente al piano (pensa a una matita che attraversa un foglio di carta).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Molti solidi geometrici si ottengono facendo ruotare una figura piana attorno a un asse. Questi si chiamano solidi di rotazione. Nel disegno vedi tre oggetti con il loro asse di rotazione. Individua quale figura (rettangolo, triangolo rettangolo o semicerchio) ha generato ciascuno di essi ruotando attorno a quell'asse:

1. a) Una lattina cilindrica di bibita.
2. b) Un cono stradale.
3. c) Una boccia da bocce.

I solidi geometrici le cui facce sono tutte poligoni si chiamano poliedri. In ogni poliedro semplice vale una famosa relazione detta formula di Eulero: $Caras + Vértices = Aristas + 2$.

Verifica se questa formula vale per un cubo, sapendo che ha $6$ facce, $8$ vertici e $12$ spigoli. Scrivi l'operazione matematica.

Lucia sta osservando la struttura di uno scaffale metallico nella sua aula e afferma: «L'asta verticale anteriore sinistra e l'asta orizzontale posteriore del ripiano superiore non si toccano in nessun punto; quindi devono essere obbligatoriamente rette parallele, esattamente come le linee che disegno sul mio quaderno». Individua e spiega l'errore di ragionamento di Lucia, indica la posizione reciproca reale che hanno quelle due aste nello spazio tridimensionale e chiarisci perché la sua deduzione sarebbe stata corretta su un foglio di carta bidimensionale.

Un palazzetto dello sport ha una copertura a forma di prisma esagonale regolare, le cui basi superiore e inferiore sono esagoni e le cui facce laterali sono rettangoli.

1. a) Prima di contare gli spigoli o applicare qualsiasi formula, stima ragionando a colpo d'occhio se questo solido avrà più spigoli della somma di facce e vertici insieme, o se accadrà il contrario.
2. b) Conta in modo ordinato il numero di facce ($C$), vertici ($V$) e spigoli ($A$) del prisma e verifica se la tua stima iniziale era corretta mediante la formula di Eulero ($C + V = A + 2$).
3. c) Giustifica perché il numero totale di spigoli ottenuto è ragionevole considerando quanti spigoli fornisce ciascuna base e quanti spigoli verticali uniscono le due basi.

Considera un cubo o esaedro regolare con base inferiore $ABCD$ e base superiore $EFGH$, dove gli spigoli verticali sono $AE$, $BF$, $CG$ e $DH$. Individua le posizioni reciproche degli spigoli indicati:

1. a) Lo spigolo $AB$ rispetto allo spigolo $EF$.
2. b) Lo spigolo $AD$ rispetto allo spigolo $CG$.
3. c) Lo spigolo $GH$ rispetto allo spigolo $AB$.

Nella progettazione di una tenda pubblicitaria a forma di prisma retto a base triangolare, ci interessa analizzare la relazione tra i suoi piani. Se consideriamo il piano $\pi$ che contiene la base inferiore del prisma:

1. a) Indica quali facce del prisma generano piani incidenti al piano $\pi$.
2. b) Indica quali spigoli del prisma sono paralleli al piano $\pi$.
3. c) Quale figura geometrica si forma nell'intersezione di una faccia laterale con il piano della base?

Un architetto sta progettando un monumento d'avanguardia che è un poliedro convesso. Per verificarne la struttura, deve controllare il teorema di Eulero. Il monumento ha $8$ facce esagonali e $6$ facce quadrate.

1. a) Calcola il numero totale di spigoli ($A$) del poliedro.
2. b) Utilizzando il teorema di Eulero, determina il numero di vertici ($V$) che avrà il monumento.

Immagina di avere un pezzo metallico piatto a forma di trapezio rettangolo, come quello mostrato in figura. Se facciamo ruotare questa figura $360^{\circ}$ attorno al lato che misura $8$ cm (l'asse verticale):

1. a) Quale solido di rotazione si genera?
2. b) Disegna in modo schematico il solido risultante indicandone gli elementi fondamentali (raggi e altezza).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una stanza con pareti perpendicolari, consideriamo uno degli angoli del soffitto come origine dei punti. Se tracciamo una linea immaginaria che attraversi la stanza da quell'angolo fino all'angolo opposto del pavimento (diagonale della stanza):

1. a) Qual è la posizione reciproca di quella linea rispetto al piano del pavimento?
2. b) Quella linea incontra la retta formata dall'unione di due pareti laterali? Giustifica la tua risposta.
3. c) Quanti punti in comune ha la diagonale con il piano di una delle pareti?

Si taglia con un piano un cilindro retto di raggio $r = 4$ cm e altezza $h = 10$ cm. Descrivi quale figura piana si ottiene se:

1. a) Il piano è parallelo alle basi del cilindro.
2. b) Il piano è perpendicolare alle basi e passa per il centro di esse.
3. c) Il piano è obliquo alle basi e non arriva a tagliarle.

Data una piramide quadrangolare regolare, indichiamo i suoi spigoli di base con $b_1, b_2, b_3, b_4$ e i suoi spigoli laterali con $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, spiegando il perché:

1. a) Qualsiasi coppia di spigoli laterali è formata da rette sghembe.
2. b) Uno spigolo di base e lo spigolo laterale che parte da uno dei suoi estremi sono rette incidenti.
3. c) Due spigoli di base opposti sono paralleli tra loro.

Osserva lo sviluppo piano di questo solido geometrico. Senza eseguire calcoli, rispondi:

1. a) Quale poliedro si otterrà piegandolo? Classificalo in modo completo.
2. b) Quanti angoli diedri avrà il solido una volta montato?
3. c) Qual è l'ordine di ciascuno dei suoi vertici (quante facce concorrono in essi)?

Nel centro di controllo del traffico aereo ENAV di Roma si supervisiona la traiettoria di due aeromobili che sorvolano una zona pianeggiante, il cui suolo consideriamo come un piano orizzontale $\pi$. Le traiettorie di entrambi gli aerei sono rettilinee:

• Il volo A viaggia stabilizzato a una quota costante di $9\,500\text{ m}$ seguendo una rotta fissa verso nord.

• Il volo B esegue una manovra di salita continua da $3\,000\text{ m}$ fino a $11\,000\text{ m}$ con rotta verso est, attraversando lo stesso settore geografico.

1. a) Modella la traiettoria del volo A come una retta $r$. Qual è la posizione reciproca della retta $r$ rispetto al piano del suolo $\pi$? Giustifica la tua risposta.
2. b) Proiettando le due rotte sullo schermo piano del radar (due dimensioni), le tracce si incrociano in un punto comune sullo schermo. Tuttavia, sulla verticale di quel punto il volo B passa a una quota di $7\,000\text{ m}$, quindi gli aerei non arrivano mai a scontrarsi in aria. Modella entrambe le rotte come due rette $r$ e $s$ nello spazio e determina la loro posizione reciproca reale, giustificando se esiste o no un piano comune che possa contenerle entrambe.

Un laboratorio di design artigianale riceve l'incarico di realizzare un poliedro chiuso per una lampada. Il cliente richiede che la struttura abbia esattamente $15$ spigoli ($A = 15$) e che sia un poliedro classico (un prisma retto o una piramide regolare).

1. a) Applicando la formula di Eulero ($C + V = A + 2$), imposta l'uguaglianza numerica e determina quanto deve valere esattamente la somma del numero di facce e di vertici ($C + V$).
2. b) Se la struttura fosse una piramide la cui base ha $n$ lati, ragiona su quanti spigoli avrebbe in totale in funzione di $n$. A partire da questa deduzione, spiega perché è matematicamente impossibile costruire una piramide che soddisfi l'incarico di avere esattamente $15$ spigoli.
3. c) Svolgi la stessa deduzione per un prisma la cui base ha $n$ lati. Determina quale tipo di prisma soddisfa le condizioni, indicando quante facce e quanti vertici avrà infine la lampada.

Immagina di progettare una struttura per un parco avventura. Hai un cubo gigante i cui vertici sono denominati $A, B, C, D$ (base inferiore) e $E, F, G, H$ (base superiore, in modo che $E$ sia sopra $A$, $F$ sopra $B$, ecc.).

Se tracciamo una retta che passa per i punti medi degli spigoli $AE$ e $CG$, e un'altra retta che unisce i vertici $B$ e $H$:

1. a) Indica qual è la posizione reciproca di queste due rette nello spazio. Giustifica se sono incidenti, parallele o sghembe.
2. b) Se tracciamo un piano che passa per i punti $B$, $D$ e $H$, che tipo di sezione (figura piana) si forma tagliando il cubo?
3. c) Quanti spigoli del cubo sono incidenti al piano definito dalla faccia $ADHE$?

Un archeologo ha trovato un pezzo di cristallo a forma di ottaedro regolare perfetto. Per proteggerlo, decide di costruire una cassa di legno a forma di cubo che aderisca esattamente ai vertici dell'ottaedro.

1. a) Se ogni spigolo dell'ottaedro misura $10 \text{ cm}$, calcola il numero di facce, vertici e spigoli della figura e verifica se vale il teorema di Eulero.
2. b) Spiega in modo motivato quale relazione esiste tra i centri delle facce del cubo di legno e i vertici dell'ottaedro.
3. c) Se tagliamo l'ottaedro con un piano parallelo a una delle sue facce che passi esattamente per il centro del solido, quale poligono otterremo nella sezione?

In una classe di tecnologia stanno costruendo un plastico di un edificio moderno. Il pezzo centrale è un prisma retto a base esagonale regolare. Per dargli un tocco artistico, vogliono eseguire dei tagli piani con un seghetto elettrico.

1. a) Se il piano di taglio passa per tre vertici non consecutivi della base superiore, descrivi la forma della sezione ottenuta.
2. b) È possibile eseguire un taglio in modo che la sezione risultante sia un rettangolo? E un quadrato? Descrivi come dovrebbe essere il piano in ciascun caso.
3. c) Se il prisma ha $12$ spigoli di base e $6$ spigoli laterali, quante diagonali totali (che non passano per le facce) ha questo poliedro?

Un produttore di scatole regalo vuole creare un modello speciale «duale». Prima realizza un tetraedro regolare di spigolo $L$. Poi unisce tra loro i punti medi di tutti gli spigoli del tetraedro.

1. a) Quale poliedro si forma all'interno unendo quei punti medi?
2. b) Calcola il numero di facce, vertici e spigoli del nuovo poliedro risultante.
3. c) Se il tetraedro originale soddisfa il teorema di Eulero ($C + V = A + 2$), dimostra se lo soddisfa anche il poliedro interno.

Un arredatore d'interni vuole posizionare un cavo di luci led che attraversi una stanza rettangolare lunga $6 \text{ m}$, larga $4 \text{ m}$ e alta $3 \text{ m}$. Il cavo deve andare da un angolo del pavimento ($A$) all'angolo opposto del soffitto ($G$).

1. a) Calcola la lunghezza minima del cavo se deve essere teso all'interno della stanza (la diagonale del parallelepipedo).
2. b) Se l'arredatore decide di far passare il cavo lungo le pareti (senza attraversare l'aria), quale sarebbe la distanza più breve tra quei due stessi punti? (Suggerimento: pensa allo sviluppo piano della stanza).
3. c) Indica quanti spigoli della stanza sono paralleli alla retta che contiene lo spigolo dell'altezza in cui si trova il punto $A$.

Considera un cubo di formaggio di lato $4 \text{ cm}$. Vogliamo tagliarlo con un coltello molto sottile in modo che la sezione sia un esagono regolare.

1. a) Descrivi con precisione per quali punti degli spigoli del cubo deve passare il piano per ottenere tale esagono.
2. b) Quante diagonali di faccia ha il cubo in totale? E quante diagonali del solido (interne)?
3. c) Se chiamiamo $P$ il piano che contiene l'esagono, esiste qualche spigolo del cubo parallelo a tale piano o sono tutti incidenti? Giustifica la tua risposta.

Un'azienda di logistica utilizza contenitori a forma di prisma retto a base trapezoidale (la base è un trapezio isoscele).

1. a) Determina il numero di angoli diedri retti di questo solido.
2. b) Se prolunghiamo le due facce laterali non parallele, spiega cosa accadrebbe: si incontrerebbero in una retta? Sarebbero parallele? Quale solido geometrico si formerebbe se tagliassimo quella nuova struttura con un piano parallelo alla base?
3. c) Verifica se un prisma con basi di $5$ lati (se fosse un prisma pentagonale irregolare) soddisfa sempre il teorema di Eulero.

Stiamo studiando le posizioni reciproche nello spazio all'interno di un poliedro complesso: un dodecaedro regolare (12 facce pentagonali).

1. a) Scegli una faccia qualsiasi come piano $\pi$. Quante facce del dodecaedro sono parallele a $\pi$?
2. b) Quanti spigoli del dodecaedro sono paralleli a uno spigolo dato?
3. c) Se in ogni vertice del dodecaedro si uniscono 3 facce e ogni faccia ha 5 vertici, ragiona tramite il calcolo sul numero totale di vertici del solido (tenendo conto che ogni vertice è condiviso).

In una sala espositiva a forma di cubo con vertici inferiori $A, B, C, D$ (pavimento) e vertici superiori $E, F, G, H$ (soffitto, situati direttamente sopra $A, B, C$ e $D$ rispettivamente), vengono installati due cavi tenditori rettilinei:

• Cavo 1: unisce il vertice $A$ con il vertice opposto superiore $G$ (diagonale principale del cubo).

• Cavo 2: unisce il punto medio dello spigolo verticale $BF$ con il punto medio dello spigolo verticale $DH$.

Per scoprire se i due cavi si toccano al centro della sala o si incrociano a diversa altezza, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo di Sergio: cercare se esiste un piano diagonale che contenga i quattro punti estremi ($A, G$, e i punti medi di $BF$ e $DH$). Se tale piano esiste e le rette non sono parallele, allora si incontrano.

• Metodo di Irene: determinare la posizione del punto medio del Cavo 1 e del Cavo 2 rispetto al pavimento e alle pareti, verificando se entrambi i segmenti condividono esattamente lo stesso punto centrale nelle tre dimensioni dello spazio.

1. a) Confronta i due metodi: spiega quale dei due ti sembra più chiaro e diretto per giustificare il risultato senza commettere errori di percezione visiva.
2. b) Applica il metodo che hai ritenuto migliore per concludere in modo motivato se i due cavi sono incidenti (si incontrano in un punto) o se sono sghembi nello spazio.

Le Torri KIO di Madrid sono note per essere edifici a forma di prisma le cui facce laterali sono inclinate rispetto al suolo orizzontale (piano $\pi$). Considera una delle facciate inclinate della torre, che chiamiamo piano $\alpha$.

1. a) Determina la posizione reciproca tra il piano della facciata $\alpha$ e il piano del suolo $\pi$. Se prolungassimo entrambi i piani indefinitamente nello spazio, quale sarebbe la figura geometrica risultante dalla loro intersezione?
2. b) In un plastico poliedrico della torre che parte da un prisma quadrangolare chiuso ($6$ facce, $8$ vertici e $12$ spigoli), un modellista decide di troncare (tagliare) uno degli angoli superiori con un taglio piano che passa vicino a un vertice senza toccare nessuno degli altri sette vertici originali, eliminando quell'angolo e creando al suo posto una nuova faccia piana triangolare.

Calcola in modo motivato il numero di facce ($C'$), vertici ($V'$) e spigoli ($A'$) che avrà il plastico dopo questo taglio.

1. c) Verifica se il nuovo solido modificato continua a soddisfare la formula di Eulero ($C' + V' = A' + 2$) e giustifica matematicamente perché tagliare un angolo in questo modo non altera l'equilibrio della formula.